Đang tải... (xem toàn văn)
Hơn nửa số sinh viên chọn câu thứ nhất. Những sinh viên này nghĩ rằng sự ngẫu nhiên thực sự là có tồn tại trong những cái gì đó và người ta sẽ không thể biết hoặc tính toán [r]
(1)NHỮNG CHƯỚNG NGẠI, KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM XÁC SUẤT
LÊ THỊ HỒI CHÂU*
TĨM TẮT
Cùng với Thống kê, Xác suất nội dung toán học có tác động hầu như đến lĩnh vực khoa học sống Thế nhưng, việc chiếm lĩnh khái niệm xác suất sử dụng thực tế ln phải đương đầu với nhiều khó khăn khác Bài báo phân tích khó khăn đó, rõ nguồn gốc chúng, với mong muốn mang lại cho nhà nghiên cứu giáo viên số yếu tố khơng tính đến dạy học xác suất Những khó khăn đến từ nhiều phía: từ đặc trưng khoa học luận tri thức, từ quan niệm giáo viên từ quan niệm học sinh Kết trình bày bài báo cho phép ta đặt dấu hỏi đào tạo giáo viên trường sư phạm
ABSTRACT
Difficulties and obstacles in teaching probability concepts
Together with Statistics, Probability is one of mathematic branches influencing virtually all areas of science and life However, mastering probability concept and using it in reality is always a challenge in various difficult ways This article analyzes those difficulties and traces their roots with the aim of making teachers and researchers aware of indispensible factors in teaching probability Those difficulties come from various sources: characteristics of epistemology of knowledge, teachers’ and students’ viewpoints The results in the article also raise a question about teacher training quality in training teachers’ colleges
Một số nghiên cứu nước cho thấy việc dạy học xác suất phải đối diện với nhiều chướng ngại, khó khăn, dù bậc học nào, đất nước Học sinh gặp lập luận theo kiểu lạ lẫm với kiểu họ biết từ trước, cịn giáo viên bối rối phần không “dễ chịu” phần khác chương trình
Các chướng ngại, khó khăn có nhiều nguồn gốc Chúng rõ chướng ngại, khó khăn rút từ số nghiên cứu tri thức
*
PGS TS, Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM
luận thực tế dạy học mà khn khổ có hạn báo khơng cho phép trình bày chi tiết
Trước phân tích khó khăn, chướng ngại mà việc dạy học xác suất phải đương đầu, chúng tơi trình bày một phân biệt hai khái niệm khó khăn và chướng ngại
(2)thủ ràng buộc thời gian khó khăn dạy học nội dung phức tạp
Thuật ngữ chướng ngại nhà nghiên cứu didactic sử dụng theo nghĩa hẹp hơn: khơng phải khó khăn xem chướng ngại Cụ thể, đặc trưng chướng ngại Brousseau xác định rõ qua điểm sau:
- Một chướng ngại kiến thức, quan niệm thiếu kiến thức
- Kiến thức, quan niệm tạo câu trả lời phù hợp tình mà ta thường hay gặp - Nhưng vượt khỏi tình sản sinh câu trả lời sai Để có câu trả lời cho (hay những) tình tổng qt cần có thay đổi đáng kể kiến thức hay quan niệm Nói cách khác, việc loại bỏ kiến thức, quan niệm cần thiết, yếu tố cấu thành nên tri thức
- Thế nhưng, kiến thức, quan niệm lại cản trở thiết lập kiến thức hoàn thiện
- Hơn thế, chủ thể ý thức khơng xác kiến thức hay quan niệm ấy, tiếp tục xuất dai dẳng tình
Các chướng ngại Brousseau (1976) phân loại theo nguồn gốc chúng Chướng ngại sinh từ chuyển hóa sư phạm gọi chướng ngại sư phạm Chướng ngại khoa học luận chướng ngại gắn liền với tri thức,
đó mà việc dạy học khơng thể tránh khỏi, dù với cách chuyển hóa sư phạm
Dưới chúng tơi phân tích chướng ngại, khó khăn gặp phải dạy học xác suất bậc trung học
1 Chướng ngại khoa học luận gắn
liền với khái niệm xác suất
· Chướng ngại liên quan đến khái niệm ngẫu nhiên
Làm việc với đại lượng ngẫu nhiên đơn giản Trước hết phải thừa nhận tồn ngẫu nhiên Thế nhưng, lịch sử toán học cho thấy tồn khơng phải hiển nhiên người Chẳng hạn, Poincare cho rằng:
“Sự ngẫu nhiên thể chỗ người ta khơng thể nói trước điều tình phụ thuộc nhiều vào điều kiện “nhạy cảm” ban đầu, nghĩa thay đổi khó nhận thấy điều kiện ban đầu gây nên khác lớn tình trạng cuối.” (J-C Girard, tr 216)
Laplace có quan điểm: ngẫu nhiên “chỉ hệ việc không biết” mà quan sát, “ta phải xem xét tình trạng giới hệ tình trạng trước ngun nhân tình trạng tiếp theo”
Người ta thăm dò ý kiến số sinh viên Pháp câu hỏi:
“Trong số ba câu sau, câu tương ứng với quan điểm bạn ?
- Ngẫu nhiên hệ
(3)- Ngẫu nhiên tạo giới theo trật tự mà ta nhìn thấy.”
Hơn nửa số sinh viên chọn câu thứ nhất Lập luận chủ yếu họ “mọi đều phải có nguyên nhân nó” Non nửa chọn câu thứ ba Những sinh viên nghĩ ngẫu nhiên thực có tồn người ta khơng thể biết tính tốn điều Họ nhắc đến lý thuyết Mendel, Darwin để minh họa cho ý kiến Chỉ có vài người “dũng cảm” chọn câu thứ hai (tham khảo J-C Girard, tr 216)
Các tình chứa tính ngẫu nhiên, bấp bênh xuất bậc Tiểu học Trung học sở Điều khiến cho học sinh khó chấp nhận ngẫu nhiên Cũng mà số nhà nghiên cứu cho trước đề cập khái niệm Xác suất nên đưa vào vài hoạt động nhằm có khơng phải chắn xảy tượng – xã hội, vật lý học, sinh học, di truyền học, … tồn biến đổi ngẫu nhiên
· Chướng ngại thứ hai thân khái niệm xác suất
“Ở thế, trước hết phải thừa nhận tồn (xác suất).” (J-C Girard, tr 216)
Mở đầu cho sách Tính tốn xác suất xuất năm 1908, Poincare vào chương thứ với câu: “Hầu người ta đưa định nghĩa hoàn hảo cho xác suất” Tất nhiên trước chưa có định nghĩa theo tiên đề Kolmogorov (1933) Thế
nhưng, vào năm 1970, mà định nghĩa tiên đề Kolmogorov đưa ra, Finetti viết (bằng chữ in) lời đề tựa cho sách Lý thuyết xác suất ơng “KHƠNG TỒN TẠI XÁC SUẤT”
Hiểu khái niệm xác suất dễ
Phải xác suất phần đối tượng vật chất cụ thể mà người ta cầm nắm? Hiển nhiên khơng Đó khái niệm để giải thích cho điều “nhận thức” hay “tri giác” Ở Emile BOREL lưu ý “phải xem xác suất tương tự số đo đại lượng vật lý, nghĩa thể biết cách xác mà với một xấp xỉ đó”
Như vậy, nghĩ cách đơn giản khái niệm xác suất mà ta dạy cho học sinh không cần xa cách tiếp cận đại số tổ hợp, bao gồm việc liệt kê hội xuất biến cố sau cho biến cố đồng khả xảy Và khơng thể nghĩ việc dạy học xác suất khơng có vấn đề
2 Khó khăn chuyển hóa sư
phạm: khơng lối
(4)một kiến thức hay quan niệm cản trở xây dựng kiến thức học sinh
· Nhiều chương trình (chẳng hạn chương trình bậc Trung học áp dụng từ năm 1991 Pháp) ưu tiên cách tiếp cận tần số
Liệu điều có tự nhiên, có thỏa đáng khơng?
Trước hết, cách tiếp cận áp dụng cho biến cố lặp lại
Mặt khác, làm để hiểu nghĩa “giới hạn” cách tiếp cận này: khơng phải hội tụ túy (của dãy số), theo nghĩa cổ điển mà học sinh biết Giải tích, xảy tượng sau: với N1, N2, …, Nk (khá
lớn) phép thử, người ta thấy tần suất dao động lân cận bán kính e cho trước giá trị p đó, thực thêm số phép thử tần suất lại vượt khỏi lân cận
‘‘Cuối cùng, định nghĩa (nối liền tần suất quan sát với xác suất lý thuyết) dựa việc hiểu cách trực giác luật số lớn mà muốn chứng minh lại phải dùng định nghĩa Laplace xác suất Một vòng tròn luẩn quẩn !’’ ((J-C Girard, tr 216)
· Một định nghĩa khác dựa nguyên tắc đối xứng – “hình học ngẫu nhiên” – theo cách nói Pascal Với cách lập luận đối xứng tung súc sắc mặt, mặt có xác suất xuất 1/6
“Nhưng, tiếc xúc sắc hoàn toàn cân đối lại khơng tồn tại, khơng có kiến dài 18 mét, khơng
có tam giác vng thực Mặt khác, để biết xem súc sắc hoàn toàn cân đối không thực số lớn lần tung quan sát xem có phải tần suất xuất mặt xấp xỉ với 1/6 hay không ? Lại vòng luẩn quẩn khác.” (J-C Girard, tr 217)
Hai cách tiếp cận khái niệm xác suất nêu gọi khách quan theo nghĩa người ta giả định tồn xác suất gắn liền với phép thử ngẫu nhiên hoàn toàn độc lập với người quan sát Nhưng điều dễ dàng người chấp nhận
· Đối với người không thừa nhận tồn xác suất khách quan đưa định nghĩa khác, gọi xác suất chủ quan: xác suất biến cố số đo chắn mà ta có thực phép thử Định nghĩa kéo xác suất lại gần với ước lượng mà người ta “đốn” trước thực phép thử Và xác định xác suất biến cố mà không thiết phải chấp nhận việc lặp lại phép thử
Chẳng hạn, Kinh tế học, người ta gán cho biến số sơ cấp xác suất tiên nghiệm dùng định lý cổ điển để tính xác suất biến cố khác, từ đưa định sở xem bấp bênh
(5)Khó khăn nằm chỗ gán số cho xác suất tiên nghiệm biến cố sơ cấp? Dựa vào đâu?” (J-C Girard, tr 218)
· Cách định nghĩa cuối - tiên đề - cho phép xác định số quy tắc tốn học gắn bó với khơng có mâu thuẫn
“Lúc chẳng cần biết xác suất gì, khơng cần biết có tồn hay khơng Giống người ta khơng có nhu cầu biết điểm gì, có tồn hay khơng dựa vào để xây dựng hình học Eucilde; hay khơng cần biết có hay khơng tam giác vuông thực chứng minh định lý Pythagore.” (J-C Girard, tr 218)
Chỉ có vài ý tưởng trực giác ban đầu, lại lý thuyết tốn học hình thức xây dựng theo logic tốn học Cách trình bày khơng phù hợp với học sinh phổ thơng q trừu tượng
3 Chướng ngại gắn với quan niệm
của học sinh
· Dễ dàng chấp nhận biến cố trống Ỉ có xác suất xảy 0, để chấp nhận biến cố với xác suất lại xuất hiện?
Một ví dụ cho tượng này: biến ngẫu nhiên liên tục lấy giá trị thực, xác suất xuất giá trị 0, có giá trị xuất phép thử ngẫu nhiên !
· Quan niệm sai lầm thứ hai người ta thường có khuynh hướng gán vô ý thức giá trị lớn cho xác suất biến cố hệ (tích cực tiêu cực) việc xuất
quan trọng, chẳng hạn xác suất trúng xổ số hay nguy có tai nạn máy bay (trong theo kết điều tra thống kê lại phương tiện vận tải an toàn nhất)
· Một quan niệm khác gắn liền với chất ngẫu nhiên Khi lặp lại phép thử ngẫu nhiên, người ta nghĩ biến cố gặp nhiều lần tiếp tục xuất hiện, đồng thời muốn để tạo biến cố từ lâu không thấy Hai quan niệm sai lầm luật số lớn hoàn toàn mâu thuẫn với nhau, hai nghĩ đến tình Chẳng hạn: đốn kết xổ số, nhiều người nghĩ cần phải đưa vào số từ lâu khơng trúng (vì chúng phải xuất hiện), đồng thời số thường trúng trước
· Cịn có quan niệm sai lầm khác cho biến cố ln ln có 1/2 hội xảy Học sinh thường nói: “bao có hai trường hợp có thể: biến cố xảy khơng xảy ra” Khơng người đưa số 1/2 hỏi “xác suất ngày mai trời nắng bao nhiêu” với lập luận nắng hay khơng nắng
4 Khó khăn gắn với quan niệm
giáo viên
(6)toán khái niệm phần trăm – cách tiếp cận xác suất theo tần suất ưu tiên, hay khai thác kiến thức đại số tổ hợp – định nghĩa cổ điển xác suất giữ vị trí trung tâm dạy học
“Một số giáo viên cho dạy xác suất cách thực trường phổ thơng, học sinh chưa học “Lý thuyết độ đo” Người ta không tự hỏi liệu dạy chứng minh hình học trước logic hình thức khơng, dạy cộng số ngun trước biết tiên đề Piano khơng, tính chu vi đường trịn trước chứng minh tính siêu việt số p khơng? Những ví dụ kiểu vơ số
Hơn nữa, giáo viên gặp khó khăn việc tìm ví dụ “cụ thể” có nguy bị thể diện trước học sinh họ liên hệ với môn học khác mà họ khơng nắm vững tốn học.” (J-C Girard, tr 221)
Chính quan niệm giáo viên khó khăn việc tìm ví dụ cụ thể cản trở việc dạy học xác suất theo chất Một số giáo viên nghĩ lợi ích phần xác suất khó Ấy mà, theo J-C Girard, khả lập luận theo tư thống kê xác suất lại biểu lực trí tuệ Thật sai lầm học sinh không đào tạo khả
5 Khó khăn gắn với vấn đề mơ hình
hóa thực tế
Xác suất - Thống kê phần hoi toán học người ta quan tâm nhiều đến thực tế Trong dạy học, để học sinh hiểu
nghĩa khái niệm tốn học cần phải tìm mơ hình thực tế trước vào mơ hình tốn học
“ Cần phải tìm mơ hình tốt để áp dụng vào thực tế, nói cách khác tìm mơ hình cho phép ta nhận thức thực tế trước vào áp dụng tốn học Thế người ta lại khơng mơ hình thích đáng hay khơng Mỗi lý thuyết áp dụng phạm vi xác định (vì mà có việc sáng tạo Hình học khác hay Logic mờ) lý thuyết xem tốt tận người ta tìm thấy điểm yếu nó.” (J-C Girard, tr 222)
Chẳng hạn, ta gặp vấn đề cần phải làm cho học sinh hiểu mơ hình gắn với thực nghiệm tung hai súc sắc nghiên cứu tổng số chấm xuất Một số học sinh nghĩ kết + và + phải xem khác nhau, số khác lại đồng chúng Sự mập mờ lớn học sinh nghĩ đến có nhiều thực tế, tùy theo chỗ hai súc sắc màu hay khác màu, điều có làm thay đổi tổng số chấm đâu Nguyên nhân người ta nghĩ làm việc thực tế, thực lại mơ hình Nhiều mơ hình gắn với thực tế, có thực tế thơi Như thế, ta không làm việc với xác suất mà cịn với vấn đề mơ hình hóa
(7)khuynh hướng đánh giá thấp khó khăn liên quan đến quan niệm ngẫu nhiên xác suất? Đó sai lầm Những chướng ngại, khó khăn việc
chiếm lĩnh khái niệm xác suất cần phải tính đến thiết kế tình dạy học
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Lê Thị Hoài Châu (2010), Dạy học Xác suất - Thống kê trường phổ thông, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, Đại học Sư phạm TP HCM
2 GIRARD Jean-Claude (1997), « Quelques hypothèses sur les difficultés rencontrées dans l’enseignement des probabilités », Enseigner les probabilités au lycée, Commission Inter-IREM Statistique et Probabilités
3 GUY Brousseau (1976), « Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques », In: (1983) Recherches en didactique des mathématiques, n°4(2), pp 164-198
4 HENRY Michel (1994), L’enseignement du calcul des probabilités dans le second degré, perspectives historiques, épistémologiques et didactiques, Editions IREM de Besanỗon
5 PARZYSZ Bernard (2003), ô L'enseignement des probabilités et de la statistique en France: évolution au cours d’une carrièe d’enseignant (période 1965-2002).» Probabilité au lycée, Commission Inter-IREM Statistique et Probabilités, Brochure APMEP n°143