ÑN: Moät chænh hôïp n chaäp k (chænh hôïp chaäp k cuûa n) laø 1 caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau (coù ñeå yù thöù töï, traät töï saép xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau.. a) Coù bao nhi[r]
(1)1
PHẦN 1: XÁC SUẤT
2
Chương học số quy tắc đếm thơng dụng
CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
0)Nguyên lý cộng
Một cơng việc để thực ta phải phân trường hợp, giả sử có trường hợp A, B, C
Nếu xảy trường hợp A khơng thể xảy trường hợp B C
Nếu xảy trường hợp B khơng thể xảy trường hợp A C
Tương tự cho C
Trường hợp A có mAcách làm
Trường hợp B có mBcách làm
Trường hợp C có mCcách làm
Vậy số cách để hồn thành cơng việc mA+mB+mC
3
0)Nguyên lý cộng Ví dụ 1:
Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng
Phương tiện cá nhân gồm có: xe đạp, xe gắn máy, xe
Phương tiện công cộng gồm có: xe bus, xe taxi, xe ơm, xe xích lơ
(Sinh viên phải chọn loại phương tiện trên, không xét Bồ chở!!!)
Câu hỏi:
Có cách để sinh viên đến lớp? Có tất 3+4 = cách
(2)0)Nguyên lý cộng Ví dụ 2:
Có loại lựa chọn cho việc mua bàn ăn Hoặc bàn gỗ, bàn inox, bàn sắt
Bàn gỗ có kiểu Bàn inox có kiểu Bàn sắt có kiểu Câu hỏi:
Có cách để mua bàn ăn? Có tất 2+4+5 = 11 cách
5
Ví dụ 3:
Cửa hàng bán loại hoa: hoa Lan hoa Hồng Lan gồm có: lan Hồng hơn, lan Hồ điệp
Hồng gồm có: hồng Đỏ thổn thức, hồng Xanh huyền bí, hồng Trắng trinh nguyên
Chàng SV đến cửa hàng mua hoa tặng nàng. Có cách lựa chọn để chàng mua bơng hoa?
Giải:
Số cách laø 2+3 =
6
7
I) NGUYÊN LÝ NHÂN
Một cơng việc để thực phải qua giai đoạn A, B Giai đoạn A có m cách thực hiện, giai đoạn B có n cách thực
Hỏi có cách thực xong công việc?
Giải: Ứng với cách giai đoạn A, ta có n cách thực giai đoạn B
A
m B B
n n
Vậy: Có m*n cách để thực cơng việc
Ví dụ 1:
A1 A2 A3
Đi từ A1 đến A3 phải qua A2 Từ A1 đến A2 có đường đi, từ A2 đến A3 có đường Có cách để từ A1 đến A3?
Giaûi:
(3)9
VD2:
A1 A2 A3
Đi từ A1 đến A3 có lựa chọn: * Đi trực tiếp từ A1 đến A3
* Đi gián tiếp từ A1 qua A2 tới A3 Có cách để từ A1 đến A3? Giải:
Số cách từ A1 đến A3 2+3*2 =
10
Ví dụ 3:
Một người có áo, quần Hỏi có cách mặc đồ?
HD:
Cơng việc mặc đồ có giai đoạn ta phải thực là: mặc áo, mặc quần
Mặc áo: có cách Mặc quần: có cách Vậy ta có: 6*5 = 30 cách Mở rộng:
Một cơng việc để thực có nhiều giai đoạn
11
Ví dụ 4:
Một người có áo, quần, nón Hỏi có cách mặc đồ đội nón?
HD:
Cơng việc mặc đồ đội nón có giai đoạn ta phải thực là: mặc áo, mặc quần, đội nón Mặc áo: có cách
Mặc quần: có cách Đội nón: có cách
Vậy ta có: 4*3*3 = 36 cách
12
II) CHỈNH HỢP
Ví dụ 1: Có tranh móc treo tường Có cách treo tranh (mỗi móc treo tranh)?
HD: Cơng việc treo tranh có giai đoạn sau:
gđ1: treo tranh thứ Ta chọn móc treo từ cái móc treo, có cách chọn (cịn lại móc treo)
gđ2: cách Còn móc gđ3: cách Còn móc gđ4: cách Còn móc gđ5: cách
(4)Một số cách treo cụ thể:
Móc 7 Caùch 1:
Caùch 2: Caùch 3:
.
Lấy móc có thứ tự (có để ý trật tự lấy).
13
3
1 2 4 5
3
2 1 4 5
5
1 2 3 4
14
Nhận xét
Mỗi cách treo tranh cách lấy móc treo từ móc treo Đây cách lấy có thứ tự, trật tự lấy móc khác cho ta cách treo tranh khác
Vậy số cách lấy có thứ tự phần tử từ phần tử tính nào?
15
ĐN: Một chỉnh hợp n chập k (chỉnh hợp chập k n) cách lấy k phần tử khác (có để ý thứ tự, trật tự xếp) từ n phần tử khác
Số chỉnh hợp : A(k,n)=
)! (
!
k n
n k
n A
Với n!=1*2*3* *n , quy ước 0!=1
Ví dụ: Theo ví dụ ta có: Một cách treo tranh cách chọn móc treo khác từ móc treo (có để ý đến vị trí chúng)
Mỗi cách treo chỉnh hợp chập 5:
A(5,7)=7*6*5*4*3 16
Nhận xét:
Mỗi k phần tử lấy từ n phần tử tạo thành nhóm Các nhóm khác do:
- Các phần tử nhóm khác Vd: 1234 khác 3456
- Thứ tự, trật tự xếp phần tử nhóm khác
(5)Ví dụ 2:
Có 10 người có chức vụ: TP, PP, TL, TKR Hỏi có cách chọn người bố trí chức vụ?
Giải:
Số cách A(4,10)= 5040 Ví dụ 3:
Tập có chữ số A= {1,2,….,9}
Có số nguyên dương số có chữ số khác nhauđược tạo từ tập A?
Giải:
Có A(4,9)= 3024 số
17 18
3) Hốn vị:
Có n phần tử khác
Một hoán vị n phần tử cách xếp n phần tử theo thứ tự xác định
NX:
Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp, với k = n Số hoán vị: P(n)= n! (= A(n,n))
Ví dụ 1: Có người
Có cách xếp người này: a) ngồi thành hàng dài
b) ngồi vào bàn trịn có đánh số c) ngồi thành vòng tròn
19
HD:
a) A B C D
Mỗi cách xếp người hoán vị người
có 4! Cách
b) 4!
c)
Chọn người làm mốc, ta thấy vị trí bắt đầu người khơng quan trọng (ví dụ: A làm mốc, A vị trí tương tự A vị trí 2)
Chỉ xếp người lại : có 3! cách
Lưu ý:
Nếu ngồi thành hàng dài có đánh số ta xếp canh theo số, có 4! cách xếp
Vậy ngồi thành hàng dài mà khơng đánh số cũng là 4! hay 3! (giống ngồi thành vòng tròn khơng đánh số)? HD:
TráiA B C D Phải
(6)Ví dụ 2:
Có nam nữ Có cách bắt đơi? (Một đôi nam với nữ, không xét đơimơi của
Mr ĐVH – tin hot 11/2012)
Giaûi:
Cố định nữ, cho nam chọn nữ Có 4! cách
21 22
4) Tổû hợp:
Một tổ hợp n chập k cách lấy k phần tử khác (không để ý thứ tự xếp) từ n phần tử khác Số tổ hợp :
C(k,n)=
)! ( !
!
k n k
n k
n C
VD: Một phòng làm việc cơng ty có 30 nhân viên a) Có cách giám đốc chọn BLĐ phòng gồm 3 người
b) BLĐ phòng gồm: trưởng phòng, phó phịng, thư ký Hỏi có cách chọn BLĐ phòng
23
HD:
a) Một BLĐ phòng cách chọn người từ 30 người (chọn tùy ý, không quan tâm thứ tự xếp)
Mỗi cách chọn tổ hợp Số cách chọn C(3,30) b) Cách 1:
Vì người BLĐ có chức vụ rõ ràng: TP, PP, TK có để ý thứ tự xếp
Số cách chọn A(3,30)
24
Cách 2: Chia thành gđ:
gđ1: chọn tùy ý người từ 30 người: có C(3,30) cách gđ2: ứng với người chọn, định người làm TP, người làm PP, người làm TK: có 3! Cách Vậy có: C(3,30)*3! Cách
NX:
A(k,n) = C(k,n)*k! C(k,n) = A(k,n) / k!
NX:
(7)25
Bình loạn:
Qua VD bạn có cảm nhận “vơ thường” đời! Ta có cách chọn:
C1: Chọn người có định chức vụ từ đầu C2: Chọn tùy ý người, sau định chức vụ cho người
Theo baïn cách chọn có cho kết nhau?!
Dưới góc độ khoa học tự nhiên: c1 c2 cho kết
26
Bình loạn: (tt)
Dưới góc độ khoa học xã hội: c1 c2 cho kết khác “1 trời vực”! Tại ư?!
Khi GĐ chọn người, thời gian chuẩn bị chỉ định chức vụ cho người người lo “vận động hậu trường” cho chức vụ rồi, vận động “mạnh hơn” làm TP
Bạn nói: “Khờ quá! Ai lại c2 xảy Khi GĐ chỉ dự định chọn BLĐ thơi phải lo vận động cho chức vụ TP chứ”
???????!!!!!!! Ừ! Khờ thiệt!
Ví dụ 2:
Một ngân hàng đề thi có 10 câu hỏi tự luận Mỗi lần thi lấy ngẫu nhiên câu để tạo thành đề thi Có đề thi khác tạo từ ngân hàng đề thi?
Giaûi:
Số đề thi C(4,10)= 210
Tự xem:
Chỉnh hợp lặp Hoán vị lặp
27 28
Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức tính tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị
Xem hướng dẫn sử dụng trang web tác giả Bài tập 1
Lớp có 30 sinh viên, có 20 nam Trong buổi khiêu vũ, có cách:
a) Chọn đôi b) Chọn nam, nữ c) Chọn đôi