toan xac suat thong ke 2

Một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng Ω là một tập vô hạn không đếm được. Thời gian chúng đến cảng là độc lập nhau trong 24 giờ. Hãy tính xác suất để chiếc nọ phả[r]

CHƯƠNG

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1)Phép thử

Phép thử hay thí nghiệm ngẫu nhiên thực bộ điều kiện xác định quan sát kết cho kết quả phép thử xẩy không xác định trước được.

2) Biến cố liên kết với phép thử

Định nghĩa : Xét phép thử, Ω tập tất khả xẩy đơi xung khắc với cho thực phép thử kết thuộc Ω Khi Ω gọi không gian biến cố sơ cấp.Tập A Ω gọi biến cố liên kết với phép thử

Ví dụ 2: Gieo đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt S,N Không gian biến cố sơ cấp ( Các khả có thể) tâp Ω =

(S,N); biến cố xuất mặt sấp A = (S) ,biến cố xuất mặt ngửa B = (N) biến cố liên kết với phép thử

Ví dụ 3: Gieo xúc xắc đồng chất việc xuất mặt

3) Các loại biến cố

•Biến cố chắn biến cố ln xẩy theo phép thử Ví dụ 4: Ω biến cố chắn

•Biến cố bất khả biến cố khơng xẩy Kí hiệu Ø Ví dụ : Biến cố xuất mặt M7 trong ví dụ bất khả

•Biến cố ngẫu nhiên biến cố xẩy không xẩy

4) Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển )

Xác suất biến cố A số không âm Kí hiệu P(A) biểu thị khả xẩy biến cố A xác định như sau :

( m khả thuận lợi cho A, n khả thực phép thử)

n m A

P( ) 

Ví dụ 6: 1) Tìm xác suất xuất mặt sấp ( ví dụ 1)

5) Định nghĩa xác suất theo hình học

Một phép thử có khơng gian biến cố sơ cấp đồng khả Ω tập vô hạn không đếm A biến cố biểu diễn miền của

Ω

( m số đo miền A, n số đo Ω )

n m A

P( ) 

Ví dụ 7: Hai tàu thủy đến cầu cảng trả hàng Thời gian chúng đến cảng độc lập 24

Giải:

Gọi x, y thời điểm tàu thứ thứ hai cập cảng Ω = {(x;y)|0≤ x ≤ 24; 0≤ y ≤ 24}

a.Chiếc thứ tới trước thứ hai đợi Khi x≤ y ≤x+2 (*)

b Chiếc thứ hai đến trước;

Khi y ≤ x ≤ y+4 => x-4 ≤ y < x (**)

E biến cố để chờ xác định(*) (**)

Ω =ABNO; E = HOKMB

S(Ω)= 242; S(E) =242-[(222 +202):2]

P(E) =242 :{242-[(222+202):2]}

H

x y

2

4

A B

N O

Y =x

Y= x-4 Y=x+2

K

M 24

6) Định nghĩa xác suất theo thống kê

a) Tần suất phép thử : A biến cố liên kết với

phép thử Lặp lại phép thử n lần có m lần xuất A Khi f(A) = gọi tần suất xẩy biến cố A

b) Định nghĩa: Tần suất biến cố A phép thử số lần thử lớn thi f(A) = P(A)

n m

Ví dụ 8: Một xạ thủ bắn 1000 phát vào bia, có 800 phát trúng bia, A biến cố bắn trúng bia Vậy

7) Mối quan hệ biến cố

a) Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B ký hiệu AB

nếu A xẩy B xẩy

b) Quan hệ tương đương , biến cố A B tường đương ký hiệu A=B chi AB B A

c) Tổng hai biến cố : Tổng hai biến cố A B biến cố ký hiệu A  B biến cố tổng xẩy A xẩy B xẩy

d) Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A B ký hiệu AB biến

cố mà biến cố tích xẩy A B đồng thời xẩy

e) Biến cố xung khắc: A B hai biến cố xung khắc A B

= Ø

f) Hiệu hai biến cố biến cố kí hiệu A\ B biến cố cho biến cố hiệu xẩy A xẩy mà khơng có B

g) Biến cố đối lập A gọi biến cố đối lập biến cố Akhi

8) Một số định lý xác suất

a) Định lý cộng xác suất:A B hai biến cố xung khắc biến cố liên kết phép thử ta có P(AU B) = P(A) + P(B)

Giải:Các khả

A biến cố viên màu đỏ, khả thuận lợi cho A

B biến cố viên màu xanh Khả thuận lợi cho B

Vậy P(AUB) =P(A)+P(B)=

15 )! !.( !

6  

  C )! !.( ! 4    C 45 10 )! 10 !.( ! 10

10  

Hệ quả: A biến cố đối lập biến cố A P(A )

= 1-P(A)

Ví dụ 10: Trong hộp đựng 20 sản phẩm, biết có sản phẩm bị hỏng Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để có sản phẩm hỏng

*Gọi A biến cố sản phẩm tốt, A biến cố

nhất sản phẩm hỏng sản phẩm lất Vậy P(A ) = 1- P(A)= 1-

20 14

b) Định lý nhân xác suất:

1 Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B xẩy ra, ký hiệu P(A/B), biểu thị khả xẩy biến cố A biến cố B xẩy ra

-Số kết có phép thử thực n -Số khả thuận lợi cho biến cố B nB

Ví dụ11:Một hộp có bi đỏ; bi xanh, giả thiết chúng đồng chất , khối lượng, hình dàng Lấy viên Tìm xác suất để viên thứ bi đỏ, biết

viên thứ bi đỏ Giải :

Ai biến cố viên lấy thứ i bi đỏ( i=1,2) Xác suất để viên thứ bi đỏ

Gọi A sinh viên chọn nữ;

Gọi B sinh viên chọn thuộc nhóm Ta có

P(A) = ; P(A/B)= ; P(A)

Ví dụ 12: Chia lớp sinh viên thực tập Nhóm có 30 sinh viên có 10 nữ, nhóm có 25 sinh viên có 10 nữ, nhóm có 25 sinh viên có nữ Chọn ngẫu nhiên lớp ta sinh viên

35 , 80

28

 0,4

25 10

 P(A/ B)

2) Hai biến cố độc lập:

A B độc lập P(A/B)=P(A) P(B/A) = P(B)

* Tính chất xác suất có điều kiện 1)0≤ P(A/B)≤1

2) P(B/B) =

3) Nếu AC =Ø P( AC/B) =P(A/B) +P(C/B)

4) P(A/B) = 1- P(A/B)

*Công thức nhân xác suất:

Ví dụ 14:Một hộp đựng sản phẩm, biết có phẩm, phế phẩm Lần thứ lấy sản phẩm

phẩm trả lạivà thêm vào phẩm Lần thứ lấy sản phẩm.Tìm xác suất để sản phẩm lấy hai lần phẩm

Gọi A i biến cố lấy phẩm( i = 1,2)

A biến cố cà hai lần lấy phẩm Khi A = A1.A2 Vậy P(A)= P(A1.A2) = P(A1) P(A2/A1)=

13

* Công thức nhân mở rộng: Các biến cố A1,A2,…,An biến cố liên kết phép thử Khi P( A A2 …An) =P(A1).P(A2/A1)…(PAn/A1, A2, …An-1)

Ví dụ 15: Một hộp đựng sản phẩm có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm không bỏ lại để kiểm tra hết phế phẩm thơi.Tìm xác suất :

Giải: Gọi A i là biến cố kiểm tra lần thứ i phế phẩm; Khi Ai biến cố đối lập với Ai (i= 1,2,3) A biến cố

kiểm tra dừng lại sau hai lần kiểm tra

a)A = A1.A2; P(A) = P(A1.A2)=P(A1) P(A2/A1)= = 2/6.1/5=1/15

b) Gọi B biến cố kiểm tra dừng lại kiểm tra sản phẩm thứ Khi B = (A1.A2.A3)( A1.A2.A3) Ta có

biến cố (A1.A2.A3), ( A1.A2.A3) xung khắc nên

P(B) = P (A1.A2.A3)( A1.A2.A3)=P(A1.A2.A3) + P(

* P (A1.A2.A3) =P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1,A2) =

*P( A1.A2.A3) =

Vậy P(B) =

15  15 15 15  

9)Cơng thức xác suất tồn phần định lý Bayses

A-Cơng thức xác suất tồn phần : Giả sử B1,B2,…Bn nhóm đầy đủ biến cố Biến cố A xẩy biến cố B1,B2,…Bn xẩy Nói cách khác A xẩy biến cố Bi xẩy Khi : P(a) = 

B- Công thức Bayes :    n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / (

Ví dụ 16: Ba hộp đựng sản phẩm hoàn toàn giống hình thức

Giải: Gọi Ai biến cố hộp thứ i lấy ( i = 1,3) P(A1) = ; P(A2) = ; P(A3) =

Các biến cố A1, A2, A3 tạo nên hệ đầy đủ

Gọi A biến cố sản phẩm lấy phẩm

P(A) = P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)= =

3

3

3

3

5

3

4

 

Ví dụ 17:Một cửa hàng bán bóng đèn loại, nhận sản phẩm sở sản xuất khác nhau: Cơ sở cung cấp 40%, sở cung cấp 35%, sở cung cấp 25% Biết tỷ lệ bóng hỏng sở 1,2,3 sản xuất hỏng tương ứng là2%,,2%,3% Ta mua ngẫu

nhiên bóng đèn cửa hàng:

a)Tìm xác suất để bóng ta mua bị hỏng;

Giải: a) Gọi Ai bóng đèn mua thuộc sở I sản xuất( I = 1;2,3)

Các Ai lập thành hệ đầy đủ P(A1) = 0,4; P(A2)= 0,35; P(A3)=0,25

Gọi A bóng đèn bị hỏng Áp dụng cơng thức tồn phần : P(A) = P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)

Giải: b) Giả sử bóng ta mua bị hỏng để tìm khả bóng hỏng thuộc sở ta áp dụng cơng thức

Bayes , xác định xác suất bóng đèm hỏng sở sán xuất cửa hàng :

P(A1/A)= =

P(A2/A) = P(A3/A) =

Vậy khả sở nhiều

C- Các phép thử độc lập công thức Bernoulli

1 Định nghĩa: Tiến hành n phép thử độc lập kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử gọi n phép thử Bernoulli( lược đồ Bernulli) thỏa mãn hai điều kiện sau :

a) Mọi phép thử có hai kết quả: A vàA

b) P(A) = p; P(A) với phép thử.

Ví dụ : Gieo đồng xu 10 lần 10 phép thử Bernoulli

2 Tần số xuất biến cố

Tìm xác suất để n phép thử Bernoulli biến cố A xuất m lần Kí hiệu P( m,p)= Cnm pm p n m

 )

1 .( .

3 Số có khả nhất:

Ví dụ 18 :Ta gieo đồng xu có A = ( S,N), A = ( xuất

hiện S); P(A) = Số mặt sấp xuất từ đến tương ứng với xác suất Trong khả lần gieo khả lớn ? Áp dụng công thức : Pn(m0, P) = max0 ≤ m ≤ nPn(m0,P)

m0 = [np+p-1]+1 ([x] hàm phần nguyên

m m C m P  

 51

Ví dụ 19: Gieo đồng xu( ví dụ 18) tìm khả xuất nhiều lấn gieo

M0= [5.0,5+0,5-1]+1 => Khả đến lần Ví dụ 20 : Một xạ thủ bắn vào bia liên tục 10 phát Tìm xác suất để bắn trúng phát , biết xác suất trúng bia 0,8

Giải : Bắn 10 phát độc lập nên theo lược đồ Bernulli ta có P(6,0,8)= 106 0,86 (1 0,8)10



Ví dụ 19: Cho biết xác suất khách vào cửa hiệu có mua hàng 0,3 Có 20 người vừa vào cửa hiệu Hỏi khả số người mua nhiều nhất?

Giải: Cửa hiệu có 20 khách vào 20 phép thử Bernoulli Gọi số người mua có khả m

Ví dụ 20 : Một cơng nhân quản lý máy dệt Biết thời gian T xác suất để máy phải chăm sóc 0,3

Tìm xác suất để thời gian T : a)Có máy phải chăm sóc;

b) Có máy phải chăm sóc

Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n =6; p = 0,3;

P(4,0.3)=

P(4≤ k≤ 6) =

4

4

6 0.3 .(1 0.7)

  C 6 6 6 5 6 4

6 0.3 (1 0.3) 0.3 (1 0.3) 0.3 (1 0.3)

      

 C C