Một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Hồng Thị Phương Thảo Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án Tiến sĩ nhận nhiều giúp đỡ từ thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp gia đình tơi Người tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành PGS TS Trần Hùng Thao, người Thày hướng dẫn, đào tạo nghiên cứu khoa học nhiệt tình Thày khơng giúp tơi ngày có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học, thày cịn cho tơi nhiều lời khuyên sống Tiếp theo muốn bày tỏ lời cảm ơn tới thành viên Bộ mơn Xác suất Thống kê , Khoa Tốn Cơ Tin học thường xuyên giúp tôi, cho lời khuyên chân thành trình làm luận án Đặc biệt tham gia xê mi na Bộ môn Xác suất Thống kê, qua xê mi na trau dồi, mở rộng thêm kiến thức thầy môn cho tơi lời nhận xét q báu q trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu tốt giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận án Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn đến người thân gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, người bên cạnh động viên giúp đỡ tơi, để tơi hồn thành luận án Hà nội, 01/2015 NCS: Hoàng Thị Phương Thảo Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 12 Quá trình điểm 12 1.1.1 Quá trình điểm biến 13 1.1.2 Quá trình điểm nhiều biến 13 1.1.3 Quá trình Poisson ngẫu nhiên kép hay trình Poisson có điều kiện 14 Đặc trưng Wantanabe 15 1.2 Quá trình Poisson 16 1.3 Quá trình Poisson phức hợp 18 1.4 Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy 21 1.5 Cơng thức Itơ q trình có bước nhảy 22 1.1.4 1.6 1.5.1 Công thức Itô q trình Poisson tiêu chuẩn 23 1.5.2 Cơng thức Itơ q trình Poisson phức hợp 23 1.5.3 Trong trường hợp tổng quát 24 Quá trình ngẫu nhiên phân thứ 26 1.6.1 26 Chuyển động Brown phân thứ 1.6.2 Xấp xỉ L2 -semimartingale 27 1.6.3 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ 28 Q trình có bước nhảy tốn rủi ro tín dụng 2.1 Mơ hình có bước nhảy điều khiển martingale Poisson 32 Phá sản thời điểm t cơng ty có khoản nợ L 33 Phá sản có n khoản nợ L1 , L2 , , Ln 34 Mô hình có bước nhảy điều khiển chuyển động Brown trình Poisson 36 2.2.1 Xác suất phá sản cơng ty có khoản nợ 38 2.2.2 Phá sản cơng ty có nhiều khoản nợ 39 Mơ hình có bước nhảy điều khiển chuyển động Brown trình Poisson phức hợp 42 2.3.1 Cơng ty có khoản nợ 44 2.3.2 Trường hợp cơng ty có nhiều khoản nợ 47 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Q trình có bước nhảy q trình phân thứ 3.1 Các q trình phân thứ có bước nhảy 3.1.1 55 55 Chuyển động Brown phân thứ hình học có bước nhảy 56 Q trình Ornstein-Uhlenbeck phân thứ có bước nhảy 59 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có bước nhảy 61 Ước lượng độ biến động ngẫu nhiên phân thứ với quan sát q trình có bước nhảy 66 3.2.1 67 3.1.2 3.1.3 3.2 30 3.2.2 Xấp xỉ ngẫu nhiên phân thứ Ước lượng Vt ,1 70 3.2.3 Ước lượng Vt ,2 Vt 73 3.2.4 3.2.5 Sự hội tụ Vt tới nghiệm Vt Ước lượng độ biến động Vt 74 75 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 78 Tài liệu tham khảo 79 Bảng ký hiệu P- h.c.c Sự hội hầu chắn L2 (Ω, F, P ) Tập hợp lớp tương đương hàm bình phương khả tích Γ(α) N (0, 1) L2 − lim Chuẩn không gian L2 (Ω, F, P ) Hàm Gamma Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Sự hội tụ L2 C(S) Không gian hàm ngẫu nhiên liên tục không gian S Không gian hàm ngẫu nhiên bị chặn S Phần nguyên x C b (S) [x] Mở đầu Một trình có bước nhảy q trình ngẫu nhiên mà quỹ đạo bị gián đoạn bước nhảy Về mặt lịch sử đầu tiên, người ta nghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên điều khiển chuyển động Brown mà lời giải q trình có quỹ đạo liên tục Tuy nhiên ứng dụng thực tế nhiều hệ động lực không phản ánh thực kiện quan sát Thay vào người ta nhận thấy q trình có bước nhảy đáp ứng tốt mơ tả tượng Chẳng hạn, q trình có bước nhảy đóng vai trò quan trọng tất lĩnh vực tài Đóng góp cho phát triển mơ hình ngẫu nhiên có bước nhảy phải kể đến thành tựu lý thuyết Semimartingale lực tính tốn đại cơng nghệ thơng tin Q trình có bước nhảy đơn giản q trình có bước nhảy Gọi T thời điểm ngẫu nhiên, thơng thường thời điểm dừng ứng với lọc (Ft , t ≥ 0) Xt = 1{T ≤t} , (1) q trình có giá trị trước kiện xảy thời điểm T sau Nó mơ tả thời điểm phá sản công ty việc mơ hình hóa rủi ro tín dụng Tiếp theo q trình có giá trị ngun có cỡ bước nhảy 1, gọi trình đếm (Xt , t ≥ 0) Đó q trình mơ tả số biến cố xảy khoảng thời gian từ đến t Quá trình đếm điển hình trình Poisson (Nt , t ≥ 0), Nt có phân phối Poisson với tham số λt Người ta mơ tả q trình cách cho khoảng thời gian hai bước nhảy biến ngẫu nhiên độc lập phân bố mũ với tham số λ Sự mở rộng trình Poisson phức hợp (Xt , t ≥ 0), tức trình với gia số độc lập, dừng có cỡ bước nhảy khơng phải mà biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất µ Nt Yk , Xt = (2) k=1 (Y1 , Y2 , ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối µ Một ứng dụng điển hình q trình Poisson phức hợp mơ tả tổng số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả cho khách hàng thời điểm t, thời điểm số khách hàng địi trả bảo hiểm biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson Bên cạnh người ta ý đến trình đối trọng Xt , tức trình Xt − E[Xt ] Nếu phân phối µ có kỳ vọng hữu hạn Xt có gia số độc lập, dừng nên ta có E[Xt ] = tE[X1 ] ta có biểu diễn Xt = (Xt − E[Xt ]) + tE[X1 ] (3) Quá trình đối trọng (Xt − E[Xt ]) martingale nên tổng (3) tổng martingale dịch chuyển tuyến tính tE[X1 ] Biểu diễn (3) gợi ý đến định nghĩa tổng quát trình semimartingale Xt = X0 + Vt + Mt , (4) V = (Vt , t ≥ 0) q trình thích nghi, càdlàg có biến phân hữu hạn, cịn M = (Mt , t ≥ 0) martingale địa phương Cũng có q trình khơng phải semimartingale, ví dụ quan trọng q trình chuyển động Brown phân thứ Hệ thức (4) nói chung khơng phải nhất, với f hàm liên tục bị chặn, f ∈ Cb (R) Như ta biết (xem [31]) trình mt xác định sau t mt = Yt − π(λs )ds gọi trình tin từ trình quan sát Yt Thực tế mt trình điểm FtY -martingale với t, σ− trường σ(mt − ms , t ≥ s) độc lập với FtY Quá trình tin mt biểu diễn dạng t mt = m0 + Ks dms Kt trình FtY −đo thỏa mãn t Ks π(λs )ds > P − h.c.c (ii) Giả sử độ đo xác suất P thu từ độ đo xác suất Q cách biến đổi liên tục Q → P cho µt = Yt − t (Q, FtY )martingale Với t ≥ 0, kí hiệu Pt Qt hạn chế P Q không gian (Ω, Ft ), ta có Pt