Cấu trúc hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức poincare có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CĨ TRỌNG Chun ngành: Mã số: TỐN GIẢI TÍCH 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn TS.Nguyễn Thạc Dũng Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới Thầy Người cho tơi biết muốn làm khoa học phải học, phải đọc Được làm việc hướng dẫn Thầy, tơi thấy trưởng thành nhiều Thầy Người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy khoa Tốn Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội kiến thức, điều tốt đẹp mà tơi nhận suốt q trình học tập Khoa Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối cùng, muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân tơi có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng năm 2016 Phùng Thị Diệu Tuyền Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.0.1 Định nghĩa đa tạp tô pô, đa tạp trơn 1.0.2 Ví dụ đa tạp trơn 1.1 Các tensơ phân thớ vectơ 1.1.1 Định nghĩa tensơ hiệp biến, tensơ phản biến tensơ thay phiên 1.1.2 Phân thớ vectơ 1.2 Các số thăng giáng 1.3 Liên thông độ cong 1.4 Đạo hàm hiệp biến trường vectơ 1.5 Liên thông Levi - Civita Hình học đa tạp đầy với bất đẳng trọng 2.1 Một số bổ đề phụ trợ 2.2 Tính liên thơng vơ hạn M 2.3 Các định lí triệt tiêu 6 10 11 14 15 17 thức Poincare có 21 21 25 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Trong giải tích hình học, người ta biết khơng gian dạng vi phân điều hòa lý thuyết hàm điều hịa đa tạp Riemann đầy đủ có mối liên hệ mật thiết với cấu trúc hình học topo đa tạp Chẳng hạn, nghiên cứu Witten - Yau [10], tác giả chứng minh M n đa tạp Einstein compact có biên, n chiều (n ≥ 3) có số Yamabe dương đa tạp M có end, tức đa tạp M liên thông vơ hạn Kết Witten-Yau sau cải tiến Cai Galloway [1], với điều kiện biên M có số Yamabe khơng âm Trong [9], X.Wang tổng quát hóa kết chứng minh kết sau Giả sử M đa tạp Riemann compact, bảo giác, n chiều với n ≥ 3, với độ cong Ricci bị chặn số thích hợp Nếu giá trị riêng thứ λ1 (M ) tốn tử Laplace có cận phù hợp M liên thơng vơ hạn có cấu trúc topo giống hình trụ Ngay sau cơng bố Wang, Li Wang tiếp tục phát triển ý tưởng Wang chứng minh kết mạnh đa tạp đầy đủ không thiết compact, bảo giác (xem [6]) Do λ1 (M ) > 0, nguyên lý biến phân cho λ1 (M ) bất đẳng thức Poincare sau |∇φ|2 , φ2 ≤ λ1 (M ) M M với hàm φ ∈ Co ∞ (M ) hàm trơn có giá compact Trong tài liệu [4], tác giả xét đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng khái quát nhiều kết họ [6] cho đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng Nhắc lại rằng, đa tạp Riemann M n nói thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ(x) dương |∇φ|2 dV , ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤ M M với hàm φ ∈ Co∞ (M ) hàm trơn có giá compact Đặc biệt, ρ(x) = λ1 (M ) số dương M đa tạp với phổ dương thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ ≡ λ1 (M ) Chúng ta nói đa tạp Riemann đầy đủ M có tính chất (Pρ ) bất đẳng thức Poincare có trọng, với hàm trọng ρ không âm xảy metric cảm sinh ρ định nghĩa dsρ = ρdsM metric đầy Ta định nghĩa S(R) = sup √ ρ, Bρ (R) với Bρ (R) cầu trắc địa bán kính R metric ds2ρ Trong tài liệu [7], tác giả chứng minh định lí sau Định lý 0.1 (Li -Wang) Cho M n đa tạp đầy với số chiều n ≥ Giả sử M thỏa mãn tính chất (Pρ ) với hàm trọng, khác không, ρ > Giả sử RicM (x) ≥ − n−1 ρ(x), ∀x ∈ M n−2 Nếu ρ thỏa mãn ước lượng lim inf R→∞ với F (R) = exp n−3 n−2 R R S(R) = 0, F (R) n ≥ Khi đó, n = M có end nonparabolic; M có hai end nonparabolic xác định M = R × N với warped metric product sau dsM = dt2 + η (t)dsN , đó, η(t) hàm dương N đa tạp compact Hơn nữa, ρ(t) hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ lim infρ(x) > 0; R→∞ M có end parabolic end nonparabolic, cho M = R × N với warped metric product dsM = dt2 + η (t)dsN , đó, η(t) hàm dương N đa tạp compact Hơn nữa, ρ(t) hàm số phụ thuộc t thỏa mãn η η −1 = ρ lim infρ(x) > R→∞ Từ kết trên, câu hỏi thú vị đặt liệu có định lý tương tự định lý trên, với giả thiết tương tự định lý lại thỏa mãn tập compact M Trong báo [3], Lam nghiên cứu toán chứng minh độ cong Ricci M bị chặn bên tập compact K ⊂ M hàm λ1 (M ) đa tạp M có hữu hạn end tích vơ hạn Bên cạnh đó, tác giả chứng minh với điều kiện phù hợp cận đo cong Ricci độ tăng hàm trọng khơng gian 1-dạng vi phân bình phương khả tích tầm thường Hệ là, đa tạp có thành phần liên thông vô hạn Mục tiêu luận văn nghiên cứu cách chi tiết hệ thống kiến thức liên quan đến toán nói Lam Luận văn trình bày lại cách tường minh tính tốn lại cách cẩn thận lập luận, chứng minh kết báo [3] Với mục tiêu vậy, luận văn viết thành hai chương Trong chương một, chúng tơi trình bày lại kiến thức đa tạp Riemann, toán tử Laplace-Beltrami đa tạp Riemann, khái niệm liên thông Levi-Civita độ cong Ricci Chương hai phần luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lại cách chi tiết kết chứng minh báo nói Chương hai bắt đầu vài bổ đề phụ trợ, đó, chúng tơi trình bày lại ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới, trình bày ước lượng liên quan đến cơng thức Bochner cho hàm điều hòa.Trong phần thứ hai, chúng tơi trình bày lại kết báo Lam tính hữu hạn end đa tạp Riemann đầy đủ với độ cong Ricci bị chặn bên tập compact Phần cuối chương này, chúng tơi dùng để trình bày lại vài định lý kiểu triệt tiêu cho lớp 1-dạng vi phân điều hòa với lượng hữu hạn đa tạp Riemann thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.0.1 Định nghĩa đa tạp tô pô, đa tạp trơn Định nghĩa 1.1 Cho M không gian tô pô Đa tạp M đa tạp tô pô M không gian Hausdorff; M thuộc phạm trù đếm thứ hai ; Với p ∈ M cố định, tồn đồ địa phương (ϕ, U, V ) U ⊂ M tập mở, V tập mở nằm Rn , p ∈ U ϕ : U → V đồng phôi Định nghĩa 1.2 Hai đồ địa phương (ϕ1 , U1 , V1 ) , (ϕ2 , U2 , V2 ) gọi tương thích hàm chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ V2 ) vi phôi Đa tạp tô pô M đa tạp trơn tồn Atlas cực đại gồm họ đồ {(ϕ, U, V )} cho ∪U = M đồ tương thích 1.0.2 Ví dụ đa tạp trơn Ví dụ 1.1 Mặt cầu n chiều Sn = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , n+1 xi = i=1 đa tạp trơn với Atlas A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± Thật vậy, đặt Ui + = x = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi > 0, i = 1, 2, n + Ui − = x = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Rn+1 , xi < 0, i = 1, 2, n + Khi đó, Ui + Ui − tập mở Rn+1 , với i = 1, 2, , n Từ ta có Ui ∩ Sn tập mở Sn , với i = 1, 2, , n Xét hình cầu n n B = ui < n u = (u1 , u2 , , un ) ∈ R , , i=1 ánh xạ f xác định f : Bn → R − |u|2 u→ Sử dụng hàm f , ta xây dựng đồ địa phương sau ϕi ± : Ui ± ∩ Sn → Bn (x1 , , xi−1 , ±f (x1 , , xi , , xn+1 ) , xi+1 , , xn+1 ) → (x1 , , xi , , xn+1 ) , ánh xạ đồng phôi tập mở Rn , với Ui ± ∩ Sn = {(x1 , x2 , , xi−1 , ±f (x1 , , xi , , xn+1 ) , xi+1 , , xn+1 )} Ta chứng minh Ui ± ∩ Sn , ϕi ± gồm đồ tương thích Thật vậy, xét hai đồ địa phương Ui + ∩ Sn , ϕi + Uj + ∩ Sn , ϕj + , với i = j Ta chứng minh hai đồ tương thích với Lấy x ∈ Ui + ∩ Sn ∩ Uj + ∩ Sn Khi đó, xi > 0, xj > Bởi định nghĩa + −1 : Bn → U + ∩ Sn xác định ϕ+ j j , ta có ϕj ϕj + −1 (x1 , x2 , , xn ) = (x1 , , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) Tương tự, định nghĩa ϕi + : Uj + ∩ Sn → Bn xác định (x1 , , xj−1 , f (x1 xn ) , xj , xn ) → (x1 , xi , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) hàm trơn từ Bn sang Bn Khi đó, ta có hàm chuyển tọa độ ϕi + ◦ ϕj + −1 (x1 , x2 , , xn ) = (x1 , xi , xj−1 , f (x1 xn ) , xj+1 , xn ) , −1 hàm trơn với i = j Tương tự, ta có ánh xạ ϕi + ◦ ϕj − −1 − − ϕi ◦ ϕj hàm trơn Do đó, A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± Atlas trơn nên xác định cấu trúc trơn Sn Vì vậy, Sn đa tạp trơn Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp trơn, p ∈ M cố định Ánh xạ ω : C ∞ (M ) → R gọi phép lấy đạo hàm p C ∞ (M ) thỏa mãn tính chất sau với hàm trơn f, g ∈ C ∞ (M ), với a, b ∈ R, ω ánh xạ tuyến tính, tức ω(af + bg) = aω(f ) + bω(g); ω thỏa mãn luật Leibnitz ω (f g) = f (p) ω (g) + g (p) ω (f ) Tập hợp phép lấy đạo hàm không gian C ∞ (M ) p gọi không gian tiếp xúc với M p kí hiệu Tp M Người ta chứng minh Tp M không gian vectơ dim Tp M = n Ta định nghĩa không gian đối ngẫu Tp M không gian đối tiếp xúc với M p ký hiệu Tp ∗ M Tp M , ta hiểu phép hợp hợp rời rạc phần tử Đặt T M = p∈M Tp M Khi đó, người ta trang bị cấu trúc tô pô T M để T M đa tạp trơn, T M gọi không gian tiếp xúc M Định nghĩa 1.4 Cho M, N hai đa tạp trơn có biên khơng có biên ánh xạ F : M → N ánh xạ trơn Khi đó, với p ∈ M , vi phân ánh xạ F p ánh xạ dFp : Tp M → TF (p) N v → dFp (v) ∈ TF (p) N xác định dFp (v) f := vp (f ◦ F ), với f ∈ C ∞ (N ) Chú ý 1.1 Cho F : M → Rn với M đa tạp trơn có biên khơng có biên Nếu đồng TF (p) R với R dFp (Xp ) = Xp (F ) Định nghĩa 1.5 Trường vectơ trơn X M ánh xạ X : M → T M xác định X biến p ∈ M thành Xp ∈ Tp M cho với f ∈ C ∞ (M ) Xf (p) = Xp f hàm trơn 1.1 1.1.1 Các tensơ phân thớ vectơ Định nghĩa tensơ hiệp biến, tensơ phản biến tensơ thay phiên Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều V ∗ không gian vectơ đối ngẫu V Cặp V V ∗ ánh xạ , :V∗×V →R (ω, X) → ω, X xác định ω, X := ω (X) Ở đây, ta sử dụng Bổ đề 5.1 tài liệu [7] Mặt khác, ta tính 1−δε (1 − t) 2(n−2) −2 n−1 − log δ, dt = n−1 n−3 1−ε ε n−3 n−1 − (δε) với n = với n ≥ n−3 n−1 Kết hợp đánh giá trên, ta nhận kết sau CS 2 |∇χ| ψ g ≤ 2(n−2) n−1 n−3 n−3 (R + 1)(− log)−2 − δ n−1 ε n−1 với n ≥ −1 với n = CS(R + 1)(− log δ) E1 với C số phụ thuộc vào R Từ đó, ta có CS 2 |∇χ| ψ g ≤ 2(n−2) n−1 n−3 n−3 (R + 1)(− log)−2 − δ n−1 ε n−1 với n ≥ CS(R + 1)(− log δ)−1 M với n = Chọn δ = 21 , ε = exp(−2R) với n ≥ δ = ε = exp(−Rq(R)) với n = 3, q(R) = S(R+1) R Khi đó, |∇χ|2 ψ g ≤  2(n−2)   CS n−1 (R + 1) − log ≤ 1−    CS 2(n−2) n−1 S(R+1) exp((R+1) n−3 n−1 ) C S(R+1) R+1 n−3 n−1 2(n−2) n−1 , n≥4 R+1 R , n=3 34 exp −2R n−3 n−1 , n ≥ S(R+1) R (R + 1) exp −2R n−3 n−1 ,   CS(R + 1) − log exp −R   C ≤   −1 CS(R + 1) − log exp −R   M −2 S(R+1) R , n≥4 −1 , n=3 n=3 2 |∇ψ| χ g ≤    CS   CS Bρ (R)\Bρ (R−1) ≤ ≤ 2(n−2) n−1 2(n−2) n−1   2(n−2) n−1       C    exp (−2R) 2(n−2) n−1 (R) exp (R) exp 2R S(R) n−3 exp(R n−2 ) C 2(n−2) S n−1 (R) R 2(n−2) n−1 − n−1 exp(−2R), n≥4 −1 S(R+1) R (R) exp −2R CS  CS (R) R exp 2R−2R exp(−2R), n = 4R n−1 − 2R , S(R+1) − 2R R 2(n−2) n−1 S(R+1) R+1 , n=3 n≥4 , 2(n−2) n−1 n≥4 √ R+1 , n = R Sử dụng giả thiết hàm ρ cho R → +∞ ta nhận |∇χ|2 ψ g → 0, M |∇ψ|2 χ2 g → Bρ (R)\Bρ (R−1) Kết hợp (2.18) (2.19) ta |∇φ|2 g ≤ 2 Bρ (R)\B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g + |∇ψ|2 χ2 g B(Ro )\B(Ro −1) Bρ (R)\Bρ (R−1) |∇χ|2 ψ g +2 Bρ (R)\B(Ro −1) Cho R → ∞, bất đẳng thức trở thành, |∇φ|2 g ≤ 2 M \B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g + B(Ro )\B(Ro −1) |∇χ|2 ψ g M \B(Ro −1) Do M \B(Ro − 1) ⊂ M nên, bất đẳng thức biến đổi thành M \B(Ro −1) |∇φ|2 g ≤ |∇ψ|2 χ2 g + B(Ro )\B(Ro −1) 35 |∇χ|2 ψ g , M điều có nghĩa là, |∇φ|2 g ≤ 2 M \B(Ro −1) |∇ψ|2 χ2 g (2.22) B(Ro )\B(Ro −1) Lại cho R → ∞, (2.15) tương đương với |∇φ|2 g φ2 g ≤ ε M \B(Ro −1) M \B(Ro −1) Kết hợp (2.22) với bất đẳng thức trên, ta |∇ψ|2 χ2 g φ2 g ≤ ε M \B(Ro −1) B(Ro )\B(Ro −1) Do M \B(Ro ) ⊂ M \B(Ro − 1), B(Ro )\B(Ro − 1) ⊂ B(Ro ) nên, g2 ≤ C ε M \B(Ro ) g , C = C(n) B(Ro ) Hơn nữa, B(2Ro )\B(Ro ) ⊂ M \B(Ro ) nên ta thu g2 ≤ C ε g2, B(Ro ) B(2Ro )\B(Ro ) tức là, g2 − ε ε B(2Ro ) g2 ≤ C B(Ro ) g2 B(Ro ) Điều suy ra, g2 ≤ C B(2Ro ) g , C = C(n, ε) (2.23) B(Ro ) Như vậy, khẳng định chứng minh Do vậy, ta có điều phải chứng minh 2.3 Các định lí triệt tiêu Trong phần này, nghiên cứu không gian H L2 (M ) Nếu f hàm điều hịa với tích phân Dirichlet hữu hạn vi phân tồn phần df hàm f 1-dạng tích phân điều hịa L2 Từ định lí Li Tam [7], ta có dim H L2 (M ) + ≥ dim K (M ), hay 36 dim H (L(M )) + ≥ số end nonparabolic M Nếu giả sử λ1 (M ) > dim H L2 (M ) + ≥ số end tích vơ hạn M Do vậy, λ1 (M ) > khơng gian dạng vi phân điều hịa bình phương khả tích tầm thường đa tạp cho có tối đa end với thể tích hữu hạn Nhìn chung việc ước lượng số chiều H L2 (M ) mạnh ước lượng số end nonparabolic M (nếu ước lượng số end tích hữu hạn ta có thêm điều kiện λ1 (M ) > 0) Trong phần trước, thực chất chứng minh ω hàm điều hịa L2 ω đóng Đặc biệt, h = |ω| h thỏa mãn cơng thức Bochner ∆h ≥ RicM (ω, ω) |∇h|2 + h (n − 1) h Chúng ta bắt đầu chứng minh ước lượng cho dạng vi phân thỏa mãn công thức Bochner nêu Bổ đề 2.3 Cho b > −1, giả sử h hàm không âm thỏa mãn bất đẳng thức h∆h ≥ −ah2 + b|∇h|2 , với a số Với ε > 0, ta có ước lượng sau −1 +1 ε |∇ (φh)|2 ≤ b (b (1 − ε) + 1) M h2 |∇φ|2 + a M φ2 h2 , M với ∀φ ∈ C0∞ (M ) có giá compact Ngồi ra, h2 = o(R2 ), Bρ (R) |∇h|2 ≤ a b+1 M h2 M Đặc biệt, h ∈ L2 (M ) h có tích phân Dirichlet hữu hạn Chứng minh Giả sử φ ∈ C0∞ (M ) hàm trơn, có giá compact Xét trường vectơ ω = φ2 h∇h, theo Định lí Stoke, ta có div φ2 h∇h 0= M φ2 h∆h + = M ∇ φ2 h , ∇h , M 37 từ đó, φ2 h∆h = − M ∇ φ2 h , ∇h M ∇ (φh) , −φ∇h + = M h∇φ, −φ∇h M ∇ (φh) + h∇φ, −φ∇h = M ∇ (φh) + h∇φ, h∇φ − ∇ (φh) = M |h∇φ|2 + = M ∇ (φh) , h∇φ − M |h∇φ|2 − = M |∇ (φh)|2 ∇ (φh) , h∇φ − M M |∇ (φh)|2 (2.24) M Từ giả thiết hàm h, h∇h ≥ −ah2 + b|∇h|2 , ta có, φ2 −ah2 + b|∇h|2 = −a φ2 h∆h ≥ M M φ2 |∇h|2 φ2 h2 + b M M Kết hợp bất đẳng thức với (2.24), ta h|∇φ|2 − M |∇ (φh)|2 ≥ −a M φ2 |∇h|2 , φ2 h2 + b M M điều tương đương với h|∇φ|2 + a M φ2 |∇h|2 + φ2 h2 ≥ b M M 38 |∇ (φh)|2 M (2.25) Mặt khác, φ2 |∇h|2 = M φ2 ∇h, ∇h M = φ∇h, φ∇h M ∇ (φh) − h∇φ, ∇ (φh) − h∇φ = M |∇ (φh)|2 − = M h2 |∇φ|2 ∇ (φh) , h∇φ + M (2.26) M Theo bất đẳng thức Schwarz, | ∇ (φh) , h∇φ | ≤ |∇ (φh)| |h∇φ| , theo bất đẳng thức Cauchy, ta đánh giá vế phải bất đẳng thức sau |∇ (φh)| |h∇φ| ≤ ε|∇ (φh)|2 + |h∇φ|2 , ∀ε > ε Từ đánh giá trên, (2.26) trở thành φ2 |∇h|2 ≥ M |∇ (φh)|2 − M M |∇ (φh)|2 + ≥ M h2 |∇φ|2 |∇ (φh)| |h∇φ| + M h2 |∇φ|2 − ε M |∇ (φh)|2 − M ε h2 |∇φ|2 M Từ đó, ta có kết tương đương sau φ2 |∇h|2 ≥ (1 − ε) M |∇ (φh)|2 + − M ε h2 |∇φ|2 , ∀ε > (2.27) M Kết hợp (2.25) với (2.27) ta h2 |∇h|2 + a M |∇ (φh)|2 + b − φ2 h2 ≥ b (1 − ε) M ε h2 |∇φ|2 + M M |∇ (φh)|2 , M bất đẳng thức viết lại |∇ (φh)|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M φ2 h2 + − b − M ε h2 |∇φ|2 , M 39 hay |∇ (φh)|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M −1 ε φ2 h2 + + b h2 |∇φ|2 , ∀ε > M M (2.28) Ta chứng minh công thức Bổ đề Để chứng minh phần lại, ta chọn B(R) φ= M \B(2R) cho |∇φ| ≤ C/R B(2R)\B(R) Khi đó, (2.28) trở thành |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) B(R) −1 ε h2 + + b h2 R−2 , ∀ε > B(R) B(2R)\B(R) Kết hợp với điều kiện B(2R) ⊂ B(R), ta kết sau |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) B(R) h2 + + b −1 ε R−2 h2 B(2R) B(R) Cho R → +∞, bất đẳng thức trở thành |∇h|2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M h2 (2.29) M h2 = o R2 , (2.29) trở thành Lại cho ε → sử dụng giả thiết Bρ (R) |∇h|2 ≤ a (b + 1) M h2 M Viết lại biểu thức ta |∇h|2 ≤ a b+1 h2 M M Ta chứng minh xong Bổ đề 2.3 Chú ý 2.1 Kết thu bổ đề a = a(x), cụ thể, φ2 |∇h|2 ≤ a(x) M φ2 h2 + + b M −1 ε h2 |∇φ|2 , M 40 với ∀ε > Và |∇h|2 ≤ b+1 M a(x)h2 M Hệ 2.1 Gọi h hàm số thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.3 Giả sử λ1 (M ) > độ cong Ricci M thỏa mãn RicM ≥ − (b + 1) λ1 (M ) + δ, với δ > Nếu h2 = o(R2 ) h ≡ Đặc biệt, từ kết ta thu kết Bρ (R) sau Li Wang [6] Giả sử M n đa tạp Rieman đầy n-chiều, không compact với λ1 (M ) > độ cong Ricci thỏa mãn n λ1 (M ) + δ, n−1 RicM ≥ − với δ > Khi đó, H L2 (M ) = Chứng minh Theo nguyên lí biến phân λ1 (M ),    |∇φ| M λ1 (M ) = inf   , φ ∈ Co∞ (M ) φ2    ,   M ta có, |∇(φh)|2 λ1 (M ) ≤ M φ2 h2 M Từ λ1 (M ) |∇(φh)|2 φ2 h2 ≤ M (2.30) M Nhân hai vế (2.30) với b (1 − ε) + > 0, ta nhận kết sau |∇ (φh)|2 φ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) λ1 (M ) M M Áp dụng Bổ đề 2.3, ta có φ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) λ1 (M ) M φ2 h2 + b M −1 +1 ε h2 |∇φ|2 M 41 Bất đẳng thức biến đổi lại sau φ2 h2 ≤ bελ1 (M ) ((b + 1) λ1 (M ) − a) M φ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 , M điều tương đương với φ2 h2 ≤ bελ1 (M ) δ M φ2 h2 + b −1 +1 ε h2 |∇φ|2 , M M với δ = ((b + 1) λ1 (M ) − a) > 0, với ε > 0, hàm φ ∈ C0∞ (M ) trơn, có giá compact Chọn B (R) φ= M \B (R) cho |∇φ|2 ≤ C R2 B (2R) \B (R) Khi đó, bất đẳng thức trở thành h2 + R−2 b h2 ≤ bελ1 (M ) δ −1 +1 ε B(2R)\B(R) B(R) B(R) h2 , Do B (R) ⊂ B (2R) nên δ h2 + R−2 b h2 ≤ bελ1 (M ) B(R) −1 +1 ε B(2R) h2 (2.31) B(2R)\B(R) h2 = O(R2 ) cho R → +∞ (2.31) trở thành, Sử dụng giả thiết B(R) h2 ≤ bελ1 (M ) δ M h2 M Cho ε bất đẳng thức tiến đến 0, ta h2 ≤ δ M Vì δ > nên h2 ≤ M Mặt khác, theo giả thiết h ≥ 0, từ bất đẳng thức ta có h ≡ , từ kết trên, ta chứng minh kết Li Đặc biệt với b = n−1 Wang Ta có điều phải chứng minh 42 Định lý 2.2 Cho M n đa tạp đầy, khơng compact có số chiều n Đa tạp M thỏa mãn bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ không âm Giả sử, độ cong Ricci M thỏa mãn RicM (x) ≥ − n ρ (x) + δ, n−1 với δ > Nếu ρ (x) thỏa mãn ρ (x) = o rp2−α (x) , rp (x) hàm khoảng cách từ x đến điểm p cố định < α < 2, H L2 (M ) = Chứng minh Giả sử ω ∈ H L2 (M ) , h = |ω| ∈ L2 (M ) Theo bất đẳng thức Poincare M (2.32) M Kết hợp (2.32) với Bổ đề 2.3, b = ρφ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) |∇ (φh)|2 ρφ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) M n−1 , a = (b + 1) ρ − δ , ta có −1 +1 ε φ2 h2 + b M h2 |∇φ|2 M Bất đẳng thức tương đương với, φ2 h2 ≤ bε δ M ρφ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 , (2.33) M δ = (b + 1) ρ − a Chọn φ= B (R) M \B (2R) α cho |∇φ|2 ≤ C/R2 B (2R) \B (R) chọn ε = R −2 Khi đó, với giả thiết ρ = o rp 2−α (x) bất đẳng thức (2.33), ta δ h2 ≤ b Rα/2−2 CR−2 h2 + bρRα/2−2 −1 +1 B(2R)\B(R) B(R) B(R) = C bR−α/2 + (1 − b) R−2 h2 + bR2−α Rα/2−2 B(2R)\B(R) B(R) Thu gọn bất đẳng thức với lưu ý, h2 = B(2R)\B(R) h2 h2 − B(2R) 43 B(R) h2 , h2 ta kết sau, h2 ≤ C bR−α/2 + (1 − b) R−2 δ h2 + bR−α/2 B(2R) B(R) h2 B(R) Do B (R) ⊂ B (2R), ta có h2 ≤ C bR−α/2 + (1 − b) R−2 δ B(R) h2 + bR−α/2 B(2R) Từ giả thiết h ∈ L2 (M ), tức h2 (2.34) B(2R) h2 = o R2 cho R biểu thức B(2R) tiến ∞, ta h2 ≤ M Do đó, h ≡ Định lý chứng minh Định lý 2.3 Cho M n đa tạp đầy, không compact, số chiều n thỏa mãn bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ không âm Giả sử, độ cong Ricci M thỏa mãn RicM (x) ≥ − n ρ (x) + δρ, n−1 với δ > Nếu ρ (x) thỏa mãn ρ (x) = o rp2−α (x) , rp (x) hàm khoảng cách từ x đến điểm p cố định < α < 2, H L2 (M ) = Chứng minh Giả sử ω ∈ H L2 (M ) , h = |ω| ∈ L2 (M ) Theo bất đẳng thức Poincare với hàm trọng ρ, ta có M M Kết hợp bất đẳng thức với Bổ đề 2.3 b = ρφ2 h2 ≤ a (b (1 − ε) + 1) M |∇ (φh)|2 ρφ2 h2 ≤ (b (1 − ε) + 1) (b (1 − ε) + 1) φ2 h2 + b n−1 , a = (b + 1) ρ − δ , ta có −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 M Bất đẳng thức tương đương với ((b (1 − ε) + 1) ρ − a) φ2 h2 ≤ b M −1 +1 ε h2 |∇φ|2 , M 44 hay φ2 h2 ≤ bε δ M ρφ2 h2 + b −1 +1 ε M h2 |∇φ|2 (2.35) M Ta chọn φ= B (R) M \B (2R) 2−α (x, p) cho |∇φ| ≤ C R B (2R) \B(R) sử dụng giả thiết ρ = o r đặt ε = Rα/2−2 Thực bước biến đổi đánh giá để thu công thức (2.34) Định lý 2.2, (2.35) trở thành, δ ρh2 ≤ bR−α/2 B(R) h2 + C bR−α/2 + (1 − b) R−2 B(2R) h2 , B(2R) với C số Sử dụng giả thiết h ∈ L2 (M ) biểu thức cho R → +∞, ta ρh2 = M Theo Bổ đề 2.3, ta có |∇h|2 ≤ ((b + 1) − δ) b+1 M ρh2 M ≤ 1− δ b+1 ρh2 , M hay |∇h|2 ≤ M Do |∇h| = hay h = C ∈ L2 (M ), với ∀C số Do vậy, M nonparabolic M phải tích hữu hạn hay h = 45 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu cấu trúc hình học đa tạp đầy với bất đẳng thức Poincare có trọng Nội dung luận văn trình lại báo Lam [3], kết bao gồm Tìm hiểu trình bày lại kiến thức đa tạp Riemann; Các tensơ hiệp biến, phản biến, thay phiên, phân thớ véctơ; Các số nâng lên hạ xuống; Liên thông độ cong; Đạo hàm hiệp biến trường véctơ Liên thơng Levi - Civita Trình bày chi tiết định lí tính liên thơng vơ hạn đa tạp M định lí tính triệt tiêu không gian 1-dạng vi phân điều hịa bình phương khả tích 46 Tài liệu tham khảo [1] M.Cai and G.J.Galloway, Boundaries of zero scalar curvature in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys (1999), 1769 - 1783 MR1812136 (2002k:53080) [2] S Y Cheng and S T Yau, Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm Pure Appl Math 28(1975), 333354 MR0385749 (52:6608) [3] K H Lam, Results on a weighted Poincaré inequality of complete manifolds, Tran Amer Math Soc., 362 (2010) No 10, 5043 - 5062 [4] P Li and L F Tam, The heat equation and harmonic maps of complete manifolds, Invent Math 105(1991), 1-46 MR1109619 (93e:58039) [5] P Li and L F Tam, Harmonic functions anh the structure of complete manifolds, J Diff Geom 35(1992), 359-383 MR1158340 (93b:53033) [6] P Li and J Wang, Complete manifolds with poisitive spectrum,J Diff Geom 58(2001), 501-534 MR1906784 (2003e:58046) [7] P Li and J Wang , Weighted Poincaré inequality anh rigidity of complete manifolds, Ann.Scient Éc Norm Sup., 4e série, t.39(2006), 921-982 MR2316978 (2008d:53053) [8] R Mazzeo, The Hodge cohomology of a conformally compact metric , J Diff Geom 28(1988), 309-339 MR961517 (89i:58005) [9] X Wang, On conformally compact Einsstein manifolds, Math Res Lett 8(2001), 671-688 MR1879811 (2003d:53075) [10] E Witten and S T Yau, Connectedness of the boundary in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys 3(1999), 1635-1655, MR1812133 (2002b:53071) 47 [11] S T Yau,Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm Pure Appl Math 28 (1975), 201-228, MR0431040(55:4042) 48 ... cho đa tạp thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng Nhắc lại rằng, đa tạp Riemann M n nói thỏa mãn bất đẳng thức Poincare có trọng với hàm trọng ρ(x) dương |∇φ|2 dV , ρ2 (x)φ2 (x)dV ≤ M M với. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG THỊ DIỆU TUYỀN CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA CÁC ĐA TẠP ĐẦY VỚI BẤT ĐẲNG THỨC POINCARE CĨ TRỌNG... này, nghiên cứu cấu trúc hình học đa tạp đầy với bất đẳng thức Poincare có trọng Nội dung luận văn trình lại báo Lam [3], kết bao gồm Tìm hiểu trình bày lại kiến thức đa tạp Riemann; Các tensơ hiệp