[r]
(1) I, Các đẳng thức lượng giác,
1, Công thức bản. Sin2x + Cos2x = 1
1
Cos2x =1+Tan
x
1
Sin2x=1+Cotg
x Sin2x = (1–Cosx)(1+Cosx) Sin2x = Tan
2x 1+Tan2x Cotgx.Tanx = 1 Tan2x = 1−Cos 2x
1+Cos 2x Sin2x = 1−Cos 2x
2 Cos2x = 1+Cos 2x
2 Sinx.Cosx = 1
2Sin2x 2, Cung đối nhau.
Cos(–x) = Cosx Sin(–x) = – Sinx Tan(–x) = – Tanx Cotg(–x) = – Cotgx 3, Cung bù nhau.
Sin (π − x)=¿ Sinx
Cos (π − x)=− Cosx Tan (π − x)=− Tanx Cotg (π − x)=− Cot
gx
4, Cung kém.
Sin (π+x)=− Sinx Cos (π+x)=− Cosx Tan (π+x)=¿ Tanx Cotg (π+x)=¿
Cotgx 5, Cung phụ nhau.
Sin (π
2 − x) = Cosx Cos (π
2 − x) =Sinx Tan (π
2− x) = Cotgx Cotgx (π
2 − x) = Tanx
6, Cung kém. Sin (π
2+x)=Cosx Cos (π
2+x) = −Sinx Tan (π
2+x) = −Cotgx Cotg (π
2+x) = −Tanx Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụchéo.
7, Công thức cộng. Sin(a ❑+¿
−
¿ b) = SinaCosb +¿ ❑−¿ CosaSinb
Cos(a ❑+¿ −
¿ b) = CosaCosb +¿−
❑¿ SinaSinb
Tan(a+b) = Tana+Tanb 1−TanaTanb Tan(a–b) = Tana−Tanb
1+TanaTanb Cotg(a+b) = CotgaCotgb−1
Cotga+Cotgb Cotg(a–b) = CotgaCotgb+1
Cotga−Cotgb 8, Công thức nhân đôi.
Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x - 1 = – 2Sin2x Tan2x = 2 Tanx
1−Tan2x Cotg2x = Cotg
2x −1 2 Cotgx Lưu ý:
Cosx = Cos2 x 2−Sin
2x 2 = 2Cos2 x
2−1 = – 2Sin2 x
2 Sinx = 2Sin x
2 Cos
x 2
9, Công thức theo “t”.
Đặt Tan x
2 = t ta có: Sinx = 2t
1+t2 Cosx = 1−t 1+t2 Tanx = 2t
1−t2 10, Công thức nhân 3.
Sin3x = sinx −4 sin3x Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx Tan3x = 3 Tanx−Tan
x 1−3 Tan2x 11, Cơng thức tích thành tổng. CosxCosy=
1
2[Cos(x+y)+Cos(x − y)] SinxCosy = 1
2[Sin(x+y)+Sin(x − y)] SinxSiny=
−1
2[Cos(x+y)−Cos(x − y)] 12, Cơng thức tổng(hiệu) thành tích. Sinx + Siny = 2Sin (x+y
2 )Cos( x − y
2 )
Sinx – Siny = 2Cos (x+y 2 )Sin(
x − y
2 )
Cosx + Cosy = 2Cos
(x+2y)Cos( x − y
2 )
Cosx – Cosy = – 2Sin
(x+y 2 )Sin(
x − y
2 )
Tanx + Tany = Sin(x+y) CosxCosy Tanx – Tany = Sin(x − y) CosxCosy Cotgx + Cotgy = Sin(x+y)
SinxSiny Cotgx – Cotgy = Sin(y − x)
SinxSiny Sin(y − x)
(2)13, Các hệ qủa thông dụng. Sinx + Cosx = √2Sinx(x+π
4)=√2 Cos(x − π 4) Sinx – Cosx = √2Sinx(x −π
4)=−√2 Cos(x+ π 4) 4.Sinx.Sin(60o – x).Sin(60o + x) = Sin3x
4.Cosx.Cos(60o – x).Cos(60o + x) = Cos3x 1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)2
1 – Sin2x = (Sinx – Cosx)2 1+Tanx
1−Tanx=Tan(x+ π 4) 1−Tanx
1+Tanx =−Tan(x − π 4) Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx Cotgx + Tanx = 2
Sin2x
Công thức liên quan đến phương trình lượng giác Sin3x = Sinx−4 Sin3x
⇔ Sin3x = 3 Sinx−Sin 3x 4 Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
⇔ Cos3x = 3 Cosx+Cos 3x 4
Sin4x + Cos4x = 1 −1 2Sin
2 2x Sin4x – Cos4x = – Cos2x Sin6x + Cos6x = 1 −3
4Sin 22x
Sin6x – Cos6x = Cos2x (1−1 4Sin
2 2x)
III, Phương trình lượng giác. 1, Cosx = Cos α
⇔ x=α+k2π x=− α+k2π
¿{
( k Z )
Đặc biệt:
Cosx = ⇔ x = π 2+kπ Cosx = ⇔ x = k2 π
Cosx = −1 ⇔ x = π+k2π 2, Sinx = Sin α
⇔ x=α+k2π x=π − α+k2π
¿{
( k Z )
Đặc biệt:
Sinx = ⇔ x = kπ Sinx = ⇔ x = π
2+k2π Sinx = −1⇔x=−π
2+k2π 3, Tanx = Tan α
⇔ x = α+kπ ( k Z )
Đặc biệt:
Tanx = ⇔x=kπ
Tanx không xác định x=π
2+kπ (Cosx=0) 4, Cotgx = Cotg α
⇔ x = α+kπ ( k Z )
Đặc biệt:
Cotgx = ⇔ x=π 2+kπ Cotgx không xác định khi: