SKKN rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thông dạy tốn dạy hoạt động tốn học (A.A Stơliar) Đối với học sinh, xem việc giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học có vai trị định chất lượng dạy học toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức giáo dục, chức giáo dưỡng, chức phát triển tư chức kiểm tra đánh giá Khối lượng tập toán trường phổ thông phong phú, đa dạng Có lớp tốn có thuật giải, phần lớn tốn chưa có khơng có thuật giải Đứng trước tốn đó, giáo viên gợi ý hướng dẫn học sinh để giúp họ tìm phương pháp giải vấn đề quan trọng Tuy nhiên vấn đề khó khăn đưa gợi ý hợp lí, lúc, chỗ cịn nghệ thuật sư phạm người giáo viên Rèn luyện lực giải tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để giải tốn học sinh phải suy luận, phải tư duy, phải liên hệ với tốn khác để tìm lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ, dấu hiệu tốn phát thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hố, so sánh Nguồn gốc sức mạnh Toán học tính chất trừu tượng cao độ Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học sâu vào chất nhiều vật, tượng có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái qt hố, xét tương tự mà khả suy đoán tưởng tượng học sinh phát triển, có suy đốn táo bạo, có dựa quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện thao tác tư Thông qua khai thác tập sách giáo khoa toán sáng tạo xây dựng toán làm cho học sinh từ bất ngờ đến bất ngờ khác cách thú vị, làm cho học sinh biết cách thức tạo kiến thức tốn qua ứng dụng vào giải tập tốn Trong q trình dạy học sinh lớp 9, đặc biệt học sinh - giỏi, tổ chức hoạt động khai thác kiến thức tập nhiều tiết dạy khóa, buổi dạy nâng cao, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi thu số kết định Thông qua việc khai thác tập giúp học sinh lớp ôn tập kiến thức bản, trọng tâm, làm cho học sinh rèn luyện số phương pháp giải tập, học sinh có kỹ vẽ thêm đường phụ, kỹ tìm tịi lời giải tự tin sáng tạo toán từ tập toán sách giáo khoa Vì lý tơi chọn đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm là:"Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh lớp thơng qua xây dựng tập hình học" PHẦN II- NỘI DUNG A Thực trạng, mục đích phương pháp nghiên cứu Thực trạng vấn đề Khi giảng dạy lớp gặp tập hình học, tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc vẽ hình, hay tìm định hướng làm bài, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Giáo viên dạy học sinh giải tập hình học, thường chữa tập xong, khai thác, phân tích đề để mở rộng tốn dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải Học sinh thường ngại học hình học kiến thức hình học khơng dễ nhớ, khó tìm phương pháp giải, tốn hình học tổng hợp thường phức tạp, phải áp dụng lúc nhiều kiến thức Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nhằm nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh lớp rèn luyện lực học tập mơn tốn nói chung việc rèn luyện lực học tập hình học nói riêng Trang bị cho học sinh số kỹ nhằm nâng cao lực học tập mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo - Rèn luyện lực toán cho học sinh lớp 9, khắc phục phần hạn chế kì thi học sinh lớp Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh trường Nghiên cứu qua mạng Internet - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp - Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, Kết cần đạt - Trong đề tài đưa số tình khai thác tập sách giáo khoa toán nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp - Trang bị cho học sinh số kỹ phân tích, nhận xét, khai thác kết toán việc rèn luyện lực giải tốn - Thấy vai trị to lớn tập hình học sách giáo khoa, học sinh vận dụng cho số toán khác B Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh lớp thơng qua khai thác phát toán Bài toán gốc ban đầu Bài toán: Các đường cao hạ từ đỉnh A B cắt đường tròn ngoại tiếp a) CD = CE Phân tích tốn Đây tốn chương trình Hình học 9, tập nhằm củng cố lại kiến thức đường trịn góc với đường tròn, nên để giải tập ta cần rõ cho học sinh phương pháp kiến thức liên quan Cụ thể: a) Để chứng minh CD = CE ta cần chứng minh hai góc nội tiếp chắn hai cung b) Từ kết chứng minh câu a, ta chứng minh tam giác BHD có BM vừa đường cao vừa đường phân giác c) Từ kết chứng minh câu b, ta chứng minh BC đường trung trực HD Từ ta giải toán sau: Bài giải với BC BE với AC a) Ta có D A C CBE BHM DACAHNCBEBHM (=90 ) Mà AHN DAC CBE chắn cung nhau) CD b) Ta có C D BM vừa đường cao vừa đường phân giác) c) Ta có CD = CH ( tính chất đường trung trực ) CE (Liên hệ cung Khai thác toán gốc ban đầu để phát xây dựng tập hình học Xuất phát từ toán sách giáo khoa toán 9, giáo viên đưa tình khai thác, mở rộng tốn thơng qua hệ thống câu hỏi xây dựng định hướng Từ định hướng đó, học sinh trả lời xây dựng cho tập hình học Qua củng cố kiến thức, nâng cao lực tư sáng tạo, lực giải toán cho học sinh Tình 1: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H đường tròn (O) D, E, F Khi toán xuất tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp Vậy khai thác kết từ tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: + Định hướng 1: Các tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp không Vì sao? - Học sinh chứng minh: Xét tứ giác CNHM ta có: C N H CNHCMH180 CNHM tứ giác nội tiếp Tương tự ta có BCNP tứ giác nội tiếp + Định hướng 2: Các A H A M ?Xét tương tự cho hai AMC BNC, có đồng dạng khơng? so sánh AMC - Học sinh chứng minh: Xét hai tam giác ANH AMC ta có: chung ANH ∽ Xét hai tam giác BNC AMC ta có: B N C BNC ∽ + Định hướng 3: Chứng minh AH AM ANH AN AC với vế với vế hai đẳng thức ta kết nào? Áp dụng tương tự thu đẳng thức nào? - Học sinh chứng minh được: AH.AM + BH.BN = AB , BH.BN + CH.CP = BC , AH.AM + CH.CP = AC 2 Công vế với vế ba đẳng thức ta AH AM BH BN CH CP AB2 BC2 CA2 + Định hướng 4: Trong tam giác MNP, DEF trực tâm H có tính chất gì? - Học sinh chứng minh: Tứ giác BCNP nội tiếp đường tròn Cũng theo chứng minh CNHM tứ giác nội tiếp PNB - Chứng minh tương tự ta có PC tia phân giác góc MPN mà BN CP cắt H H tâm đường trịn nội tiếp tam giác MNP - Mặt khác chứng minh MN//DE, NP//EF, MP//DF H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F a) Chứng minh tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp b) Chứng minh AN.AC = AH.AM; AM.BC = BN.AC c) Chứng minh AH.AM + BH.BN = AB Từ suy AH.AMBH.BNCH.CP d) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, DEF Tình 2: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường trịn (O) D, E, F Khi cạnh, đường cao diện tích tam giác có mối liên hệ với khơng? Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: + Định hướng 1: Giáo viên nêu câu hỏi liên quan đến tỉ số diện tích tam giác tỉ số đoạn thẳng c sinh tính H : S ?1 Tính ọ HBC S ABC HM HP AM CP HN B N ?2 Với kết tính S - Học sinh tính S ?3 Tương tự giáo viên cho học sinh tính - Từ hệ thức học sinh tính được: ?4 Các điểm D, E, F đối xứng với H qua BC, CA, AB không? Khi - Học sinh tính + Định hướng 2: Với p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm hệ thức liên hệ r AM, BN, CP? - Học sinh chứng minh Vì Mà S ABC pr Nên + Định hướng 3: Giáo viên nêu nội dung câu hỏi để xây dựng hệ thức đoạn thẳng ?1 Chứng minh HB HC S HBC S nêu kết tương tự AB.AC ABC - Học sinh chứng minh CHN ∽ CAP Chứng minh tương tự ta có: H A.H B CB.CA ?2 Với kết - Học sinh tính được: + Định hướng 4: Giáo viên nêu nội dung câu hỏi toán bất đẳng thức tỉ số đoạn thẳng ?1 Theo bất đẳng thức Cơsi Học sinh có kết ?2 Vậy từ ta Học sinh nêu kết HM AM ?3 Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh HM HA Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F a) Chứng minh b) Chứng minh AM tam giác ABC c) Chứng minh HB.HC AB.AC d) Chứng minh rằng: AM BNCP HM HNHP Tình 3: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F Khi tốn xuất tam giác nhau, góc bằn g nha u Vậy khai thác kết cho ta toán nào? 45 Suy E K A +Định hướng Các đường thẳng AK, NP, CE, BF có đồng quy không? Học sinh chứng minh được: Gọi I giao điểm PN CE Theo ta có GKP GNK IKN Điều dẫn tới KI, KA trùng hay AK, NP,CE Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 27 Cho ta AP.AB AN.AC GK2 GP.GN EKF Tình 28 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Vẽ tia phân giác góc A cắt đường trịn D Gọi I trung điểm BC Gọi E, F hình chiếu điểm D đường thẳng AB AC Gọi giao điểm AD với BC J, hình chiếu J AB AC K M Với yếu tố phụ vẽ thêm đó, ta phát biểu toán nào? + Định hướng 1: Ba điểm I, E, F có thẳng hàng khơng? - Học sinh: Dễ thấy tứ giác B I D E nên nên BIE BDE CIF CDF tứ giác C F I D nội tiếp nội tiếp H Vì tia phân giác góc A cắt đường trịn D Nên D điểm cung BC suy BD = CD Mà ta lại có BED CFD Suy B D E A DE DF B E M O K F J C I Do ta có ba điểm I, E, F thẳng hàng + Định hướng 2: Giáo viên nêu câu hỏi cho học sinh D 46 ?1 Hai AED - Ta có: AED ∽ ?2 Hai AFD - Học sinh chứng minh: Ta có CI ?3 Tổng DI - Học sinh tính được: Vì BE = CF DE = DF nên ta + Định hướng 3: Đường thẳng EF qua điểm đoạn thẳng HD -Học sinh: Chứng minh đường thẳng EF trung điểm đoạn thẳng HD + Định hướng 4: Gọi giao điểm AD với BC J, hình chiếu J AB AC K M ?1 Chứng minh AB.AC = AD.AJ BJ.CJ = AJ.DJ - Học sinh chứng minh D A B J ?2 Tính A B A C - ∽ D ADC B J C J - Học sinh tính A B A C ?3 So sánh diện tích tam giác ABC tứ giác AKDM - Học sinh so sánh S A B C = Từ định hướng phát biểu toán Bài tốn 28: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Vẽ tia phân giác góc A cắt đường tròn D Gọi I trung điểm BC Kẻ đường kính AK Gọi E, F hình chiếu điểm D đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm I, E, F thẳng hàng b) Chứng minhrằng c) Chứng minh EF qua điểm đoạn thẳng HD e) Gọi giao điểm AD với BC J, hình chiếu J AB AC K M Chứng minh rằng: i) AJ2 = ii) S AB.AC - BJ.CJ = S ABC AKDM 47 Tình 29 Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Với điểm D cung nhỏ BC E, I, F hình chiếu D AB, BC, CA kết tốn cịn khơng? - Học sinh chứng minh phát biểu toán sau: Bài tốn 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Cho A1 điểm cung nhỏ BC Gọi E, I, F hình chiếu điểm D đường thẳng AB, BC AC a) Chứng minh ba điểm I, E, F thẳng hàng b) Chứng minh c) Chứng minh EF qua trung điểm HD Như với việc vẽ thêm số yếu tố phụ, thêm số giả thiết cho tốn bản, giáo viên đặt câu hỏi giúp học sinh sáng tạo xây dựng cho tốn Q trình sáng tạo toán mới, học sinh củng cố kiến thức va rèn luyện cho thân lực giải toán bồi dưỡng tư sáng tạo Ngồi tình tốn giáo viên sử dụng cách đặc biệt hóa toán kết hợp với số giả thiết khác để hướng dẫn học sinh phát xây dựng tốn khác Tình 30 Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đ BAC 60 Cùng với số giả thiết tốn trên, giáo viên hướng dẫn học sinh phát biểu số toán sau Bài toán 30 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) có AB < AC đường cao BE CF cắt H Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC a) Chứng minh A F E b) Gọi D điểm cung nhỏ BC Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn tâm D c) Gọi I giao điểm đoạn AD với (D; DB) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC IH = IO d) Chứng minh O I R2 2Rr Bài toán 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường trịn (O; R), ba đường cao AM, BN, CP cắt H a) Tính số đo PMN 48 b) Khi A di động đường tròn Chứng minh biểu thức BP.BA + CN.CA có giá trị khơng đổi c) Xác định vị trí A đường trịn để tứ giác BCNP có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R d)Gọi G điểm cung nhỏ BC Tính đọ dài HG theo R Tình 31 Xét tam giác ABC nhọn với B A C Cùng với số giả thiết toán trên, giáo viên hướng dẫn học sinh phát biểu số toán sau BAC Bài tốn 32 Cho tam giác ABC có 450 , góc B C nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao BN, CP cắt H Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh điểm M, P, O, N, C nằn đường tròn AN = BN b) Chứng minh IN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác APN c) Tứ giác BPON hình gì? d) Chứng minh S A N P S BPNC e) Kẻ đường kính AK cắt NP D Chứng minh tứ giác DNCK nội tiếp tính diện tích tam giác PIN theo R g) Chứng minh IJ, NP, OH đồng quy Bài toán 33 Cho tam giác ABC có góc nhọn AM, BN, CP tam giác ABC chúng cắt H a) Lấy J thuộc NP cho MJ//AC Chứng minh tam giác BJH vuông b) Cho IN cắt MJ K Chứng minh c) Cho BAC BH cắt tai điểm nằm cạnh AB d) Cho BC = AH Tính diện tích hình viên phân tạo dây BC BC có điểm D Tìm thêm điều kiện tam giác ABC để HK, MN, PI đồng quy điểm Tình 33 Xét tam giác ABC cân A có ba góc nhọn Các đường cao AM, BN, CP cắt H Gọi I trung điểm BC Học sinh phát biểu toán sau Bài toán 35 Cho tam giác ABC cân A có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O; R), ba đường cao AM, BN, CP cắt H a) Chứng minh tứ giác APHN nội tiếp xác định tâm J đường tròn b) Chứng minh tứ giác DBHC hình thoi 49 c) Chứng minh MB2 R2 AJ2 d) Giả sử D ; D ; D ; D hình chiếu vng góc M xuống đường thẳng B D ; A B ; A C ; C D Chứng minh MD1MD2MD3MD4 PHẦN III - KẾT LUẬN Như từ tình cụ thể cách nêu định hướng cho tình huống, học sinh rèn luyện lực giải toán bồi dưỡng tư sáng tạo Việc làm người giáo viên lặp đi, lặp lại thường xuyên trình lên lớp hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác kiến thức toán, tập tốn nhiều góc độ khác để từ tìm nhiều cách áp dụng cho trường hợp cụ thể Thơng qua học sinh phát triển lực sáng tạo toán học, học sinh giỏi Qua dạy người giáo viên cần giúp học sinh làm quen sau tạo hội cho học sinh luyện tập, thể cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống tập từ dễ đến khó Trên vài ý tưởng chúng tơi đưa q trình lên lớp học Kết là: Giúp em nắm kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình cụ thể Khi thực giảng luyện tập, thấy em hứng thú tiếp thu hứng thú học tập Giúp cho học sinh khơng hình thành kỹ giải tốn mà giúp em rèn luyện thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái qt hố, tương tự hóa, đặc biệt hóa … Bước đầu hình thành em cách học sáng tạo, tạo cho em có thói quen sau giải xong tốn tự nghiên cứu, khai thác tìm cho lời giải tự đặt cho tốn mới,…Qua giúp em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu Thơng qua tiết dạy, khơng có đáng để bàn thêm, học sinh cần hồn thành yêu cầu toán xong Như tiết luyện tập trước giáo viên giao nhà để học sinh làm, tiết sau chữa tìm thấy đúng, sai học sinh, rèn kĩ trình bày cho học sinh Cịn học sinh giỏi tiết học không mang lại kết nhiều mong muốn Nếu giáo viên thực khai thác, phát vấn đề xung quanh tốn tiết học sơi nổi, hút đối tượng học sinh, phát huy hết khả sáng tạo trò Một tiết học 50 để lại nhiều ấn tượng Từ học sinh tự làm việc mà trước người giáo viên phải làm thiết kế cho học sinh Trong trình giảng dạy hai lớp 9A, 9B va tham gia BGHSG cho trường, khảo sát hai nhóm học sinh kiểm tra hình thức cho 02 tốn 01 SGK, 01 tốn nâng cao lấy sách tài liệu tham khảo có thay đổi chút + Nhóm thực nghiệm: 30 học sinh lớp 9A + Nhóm đối chứng : 30 học sinh lớp 9B Các học sinh nhóm đánh số thứ tự từ đến 30 Kết thu sau khảo sát sau: Số học sinh 10 11 12 13 14 15 51 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Mơt (mode) Trung vị (median) Giá trị trung bình(average) Độ lệch chuẩn(stdev) Giá trị p(ttest) Mức độ ảnh hưởng(SE) 52 Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:"Rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp thơng qua xây dựng tập hình học" Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, tự thấy phong phú, thú vị tốn học Các em ham thích với mơn tốn Mặc dù vậy, với khn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng học sinh ý kiến riêng cá nhân Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ ích thầy giáo, giáo để đề tài hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 53 ... nghiên cứu khoa học nhằm nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh lớp rèn luyện lực học tập mơn tốn nói chung việc rèn luyện lực học tập hình học nói riêng Trang bị cho học sinh số kỹ... vai trị to lớn tập hình học sách giáo khoa, học sinh vận dụng cho số toán khác B Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh lớp thơng qua khai thác phát toán Bài toán gốc ban đầu Bài toán: Các đường... tình khai thác tập sách giáo khoa toán nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp - Trang bị cho học sinh số kỹ phân tích, nhận xét, khai thác kết toán việc rèn luyện lực giải toán - Thấy vai