[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 23 - 1982
1 Hàm f(n) xác định tập số nguyên dương nhận giá trị nguyên không âm f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 với m, n có: f(m + n) - f(m) - f(n) = Xác định f(1982)
2 Tam giác không cân A1A2A3 có cạnh a1, a2, a3 với aiđối diện với Ai Mi trung điểm cạnh ai Ti tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác với cạnh ai Ký hiệu Si hình chiếu Ti đường phân giác góc Ai Chứng minh rằng: M1S1, M2S2, M3S3đồng qui
3 Xét dãy vô hạn {xn} số thực dương cho: = xo x1 x2 (a) Chứng minh rằng: với dãy tồn số n cho:
(b) Tìm dãy có tính chất thoả mãn: với n
4 Chứng minh rằng: Nếu n số nguyên dương cho phương trình: x3 - 3xy2 + y3 = n
có nghiệm (x, y) ngun phương trình có ba nghiệm ngun Hãy phương trình khơng có nghiệm nguyên với n = 2891
5 Cho lục giác ABCDEF Trong đường chéo AC CE lấy điểm tương ứng M N cho:
Xác định r B, M N thẳng hàng
6 Cho S hình vng với độ dài cạnh 100 L đường S khơng cắt S gồm có đoạn A0A1, A1A2, A2A3, , An-1An với Ao An Giả sử với điểm P biên S tồn điểm thuộc L cho khoảng cách từ P tới
Chứng minh rằng: tồn điểm X Y thuộc L cho khoảng cách XY 1, độ dài
đường từ X tới Y không nhỏ 198
Page of IMO Vietnamese
(2)