[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 25 - 1984
1 Chứng minh rằng:
Trong đó: x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z =
2 Tìm cặp (a, b) số nguyên dương thoả mãn: ab(a + b) không chia hết cho (a+b)7 - a7 - b7 lại chia hết cho 7.
3 Cho hai điểm O A mặt phẳng Mỗi điểm mặt phẳng sẽđược tô màu số hữu hạn màu Lấy điểm X mặt phẳng, đường trịn C(X) có tâm O bán kính OX + , đo radian đoạn [0, )
Chứng minh rằng: ta tìm điểm X khơng nằm OA cho màu xuất chu vi đường tròn C(X)
4 Cho tứ diện lồi ABCD với CD tiếp xúc với đường trịn đường kính AB
Chứng minh: AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD BC song song với AD
5 Cho d tổng chiều dài tất đường chéo da giác lồi với sốđỉnh n > Gọi p chu vi đa giác Chứng minh rằng:
Trong đó: [x] biểu diễn số nguyên lớn không vượt x
6 Cho a, b, c, d số nguyên lẻ thoả mãn: < a < b < c < d ad = bc
Chứng minh rằng: a + d = 2k b + c = 2m (với k, m số nguyên) a = 1.
Page of IMO Vietnamese