ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ LẦN 43 - 2002

Mỗi điểm của T được tô màu đỏ hoặc xanh.. Ta định nghĩa một kiểu tập hợp thứ nhất, gồm n điểm màu xanh, có toạ độ x khác nhau, và một kiểu tập hợp thứ hai gồm n điểm màu xanh có toạ độ y

Năm 2002

Ngày thi thứ nhất

Câu 1: Cho n là một số nguyên dương Gọi T là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trong mặt phẳng, với x, y là các số nguyên

không âm, và x+y < n Mỗi điểm của T được tô màu đỏ hoặc xanh Nếu một điểm (x,y) là màu đỏ, th́ mọi điểm (x', y') của T cũng là màu đỏ, với x' ≤ x và y' ≤ y Ta định nghĩa một kiểu tập hợp thứ nhất, gồm n điểm màu xanh, có toạ độ x khác nhau,

và một kiểu tập hợp thứ hai gồm n điểm màu xanh có toạ độ y khác nhau Chứng minh rằng số lượng hai kiểu tập hợp trên là bằng nhau

Câu 2: Gọi BC là đường kính của một đường tṛn Γ tâm O Gọi A là một điểm trên Γ sao cho Gọi D là điểm giữa của cung AB ( cung không chứa C) Đường thẳng qua O, song song với DA, cắt đường thẳng AC tại J Đường trung trực của OA cắt Γ tại E và F Chứng minh rằng J là tâm đường tṛn nội tiếp của tam giác CEF

(h́nh dưới đây được tôi vẽ thêm để minh hoạ)

Câu 3: T́m tất cả các cặp số nguyên m ≥ 3, n ≥ 3 sao cho tồn tại vô số các số nguyên a để

là một số nguyên

Ngày thi thứ hai

Câu 4: Cho n là một số nguyên lớn hơn 1, d1 ,d2, , dn là các ước số của n sao cho

Đặt

a) Chứng minh rằng D< n2

b) Xác định tất cả các số n sao cho D là một ước của n2

Câu 5: T́m tất cả các hàm số f từ tập hợp các số thực R vào chính nó sao cho

với mọi x, y, z, t thuộc R

Câu 6: Cho là các đường tṛn bán kính bằng 1 trong mặt phẳng, với n ≥ 3, có tâm tương ứng là

Giả sử rằng trong các đường tṛn trên, không có đường tṛn nào cắt nhiều hơn hai đường tṛn khác Chứng

minh rằng

(Hết)