[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 28 - 1987
1 Cho pn(k) số phép hoán vị tập {1, 2, 3, , n} có k điểm cốđịnh Chứng minh rằng:
= n!
(Hoán vị f tập S ánh xạ - : S S Phần tử i S gọi cốđịnh f(i) = i.) Cho tam giác nhọn ABC Đường phân giác góc A cắt BC L cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác N Gọi K, M chân đương vng góc hạ từ L xuống AB, AC Chứng minh rằng: diện tích tứ giác AKNM diện tích tam giác ABC
3 Cho x1, x2, x3, , xn số thực thoả mãn: x12 + x
22 + + xn2 =
Chứng minh rằng: với số nguyên k tồn số nguyên a1, a2, , an không đồng thời cho |ai| k -1 với i, |a1x1 + a2x2 + + anxn|
4 Chứng minh không tồn hàm f : R1 R1, R1 - tập số nguyên không âm, cho:
f(f(n)) = n + 1987 với n
5 Cho n số nguyên (n 3) Chứng minh tồn tập n điểm mặt phẳng cho khoảng cách hai điểm sơ vơ tỉ tập gồm điểm xác định tam giác khơng suy thối với diện tích số hữu tỉ
6 Cho n số nguyên (n 2) Chứng minh rằng: k2 + k + n một số nguyên tố với
mọi số nguyên k thỏa mãn k k2 + k + n một số nguyên tố với mọi k: k
n -
Page of IMO Vietnamese