Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.7

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Tìm chữ số sau cùng của: a) Số 6 713 ; b) Số 2 1000 Bài 2: (1,5đ) Giả sử: x= ba ba + ; y= cb cb + ; z= ac ac + Chứng minh rằng: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z) Bài 3: (2đ) Gii phng trỡnh: a) 3 8 5 3 9 81 16 8 64 x = ữ b) 2 2 2 2 2 1 2 2 7 2 2 2 3 6 x x x x x x x x + + + + + = + + + + Bài 4: (1,5đ) Cho x > y > 0 . Chứng minh rằng: yx yx + < 22 22 yx yx + Bài 5: (1,5đ) Cho tứ giác ABCD có P và Q là trung điểm của AB và CD. M và N là trung điểm của các đờng chéo AC và BD. Chứng minh nếu MN PQ thì BC = AD . Bài 6: (1,5đ) Cho tam giác có ba góc nhọn ABC với ba đờng cao AA, BB. CC cắt nhau tại H. A 1 , B 1 , C 1 là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB. Chứng minh rằng tổng: ' 1 AA AA + ' 1 BB BB + ' 1 CC CC không đổi -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 .7 Bài 1 : (2đ) Tìm chữ số sau cùng của: a) Số 6 713 Ta có 66 2 (mod 10) 0,5đ Do đó 66 n (mod 10) với mọi n > 2 nghĩa là chữ số sau cùng của Số 6 713 là 6 0,5đ b) Số 2 1000 Ta có: 6162 4 = (mod 10) 0,5đ 1000 = 4.250 Nên 2 1000 = 2 4.250 = (2 4 ) 250 2 1000 6 250 6 (mod 10) Tức là số sau cùng của số 2 1000 cũng là 6 0,5đ Bài 2: (1,5đ) (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x) (1-y) (1-z) 1 )1)(1)(1( )1)(1)(1( = +++ zyx zyx (*) Ta thực hiện vế trái: Thay x= ba ba + vào x x + 1 1 ta đợc: ba ba ba ba + + + 1 1 = ba baba ba baba + ++ + ++ = b a 2 2 = b a 0,5đ Hoán vị vòng x y z x và a b c a ta đợc: c b y y = + 1 1 ; a c z z = + 1 1 0,5đ Thay vào vế trái của (*) acb cba = 1 Vậy vế trái bằng vế phải hay (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z) (đpcm). 0,5đ Bài 3: (2đ) a) 1® 3 8 5 3 9 81 16 8 64 x −   − =  ÷   3 3 3 5 3 9 81 . 16 8 64 8 5 3 9 16 8 8 5 3 9 16 8 8 9 5 8 16 3 8 23 6 x x x x x −   ⇔ − =  ÷   −     ⇔ − =  ÷  ÷     − ⇔ − = + ⇔ = − − ⇔ = 0,5® 0,5® b) 1® 2 2 2 2 2 1 2 2 7 2 2 2 3 6 x x x x x x x x + + + + + = + + + + Do: x 2 +2x+2 = (x 2 +2x+1)+1 = (x+1) 2 +1>0 với mọi x∈R x 2 +2x+3 = (x 2 +2x+1)+2 = (x+1) 2 +2>0 với mọi x∈R (*) Nªn ®iÒu kiÖn lµ: x ∈R 0,5® Đặt t= x 2 +2x+3=> x 2 +2x+2 = t-1 , Tõ (*) nªn ®iÒu kiÖn : t ≥ 2 Do ®ã phương trình trở thành: 6 71 1 2 = − + − − t t t t )1( )2(6 − − ⇔ tt tt + t t 2 )1(6 − = )1(6 )1(7 − − tt tt ⇔ 6t 2 – 12t + 6t 2 – 12t + 6 = 7t 2 – 7t ⇔ 5t 2 – 17t + 6 = 0 ⇔ t 2 – 5 17t + 5 6 = 0 ⇔ t 2 – 5 2t - 5 15t + 5 6 = 0 (t 2 5 2t ) ( 5 15t - 5 6 ) = 0 t(t 5 2 ) 3(t- 5 2 ) = 0 (t- 5 2 ) (t - 3) = 0 3t = (nhận), 2 5 t = (loại) Vi t= 3 , ta cú x 2 +2x+3 =3 x(x+2) =0 x=0 , x = -2 Vậy nghiệm của phơng trình l : x=0 , x = -2 0,5đ Bài 4: (1,5đ) Do x > y > 0 nên x + y 0. Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có: yx yx + = ))(( ))(( yxyx yxyx ++ + = 22 22 2 yxyx yx ++ (1) 0,5đ Mặt khác, do x > y > 0 nên x 2 + 2xy + y 2 > x 2 + y 2 Vậy 22 22 2 yxyx yx ++ < 22 22 yx yx + (2) 0,5đ Từ (1) và (2) ta suy ra: yx yx + < 22 22 yx yx + (đpcm) 0,5đ Bài 5: (1.5đ) Vẽ hình 0.5 đ B C A M D N P Q áp dụng định lý về đờng trung bình của tam giác đối với các tam giác ABC và DBC ta có: PM//BC và PM = BC 2 1 NQ//BC và NQ = BC 2 1 Suy ra PM//NQ và PM = NQ 0,5đ Do đó tứ giác PMQN là hình bình hành. Nếu MN PQ thì tứ giác PMQN trở thành hình thoi. Khi đó PM = PN nhng PM = BC 2 1 , PN = AD 2 1 (đờng trung bình của tam giác) nên suy ra BC = AD (đpcm) 0,5đ Bài 6: (1,5đ) Vẽ hình 0.5 đ B C A C A 1 H A B 1 B C 1 Xét tỷ số ' 1 AA AA ta có thể viết: ' 1 AA AA = ' '' 1 AA AAAA + = 1+ ' ' 1 AA AA = 1+ ' ' AA HA (AA 1 = HA vì A 1 đối xứng với H qua BC). Ta lại có: ' ' AA HA = '. 2 1 '. 2 1 AABC HABC = ABC HBC S S . Do đó: ' 1 AA AA = 1+ ABC HBC S S (1) 0.5 đ Tơng tự, ta có: ' 1 BB BB = 1+ ABC HAC S S (2) ' 1 CC CC = 1+ ABC HAB S S (3) Cộng từng vế của đẳng thức ta đợc: ' 1 AA AA + ' 1 BB BB + ' 1 CC CC = 3 + ABC HABHACHBC S SSS ++ =3+ ABC ABC S S = 4 Vậy tổng ' 1 AA AA + ' 1 BB BB + ' 1 CC CC không đổi (đpcm) 0.5 đ --------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . ))(( yxyx yxyx ++ + = 22 22 2 yxyx yx ++ (1) 0,5đ Mặt khác, do x > y > 0 nên x 2 + 2xy + y 2 > x 2 + y 2 V y 22 22 2 yxyx yx ++ < 22 22 yx yx. (1+x)(1 +y) (1+z)= (1-x) (1 -y) (1-z) (đpcm). 0,5đ Bài 3: (2đ) a) 1® 3 8 5 3 9 81 16 8 64 x −   − =  ÷   3 3 3 5 3 9 81 . 16 8 64 8 5 3 9 16 8 8 5 3 9 16 8