Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.3

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .3 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Viết biểu thức dới đây theo lũy thừa giảm dần của x a. P =(2x+1) 6 - 4x 6 - 4x 5 b. Q= (x+2) 2 - x 5 - x 4 Bài 2: (2đ) Phân tích thành nhân tử: a. x 3 z + x 2 yz x 2 z 2 -xyz 2 b. p m+2 q - p m+1 q 3 - p 2 q n+1 + pq n+3 Bài 3: (2đ) Phân tích thành thừa: A= 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 +2a 2 c 2 - a 4 - b 4 - c 4 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của tam giác thì A>0 Bài 4: (2đ) Chứng tỏ rằng a thc (a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16 chia hết cho a thc a 2 +10a+20 Bài 5: (2đ) Cho ABC vẽ AE AB và AE=AB, AF AC và AF=AC. Đờng cao AH của AEF kéo dài cắt cạnh BC của ABC tại M. Chứng minh MB=MC -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 .2 Bài 1 : (2đ) a. 1đ Công thức nhị thức Niu tơn tơng ứng nh sau: (A+B) 6 =A 6 +6A 5 B+15A 4 B 2 +20A 3 B 3 +15A 2 B 4 +6 AB 5 +B 6 áp dụng: P =(2x+1) 6 - 4x 6 - 4x 5 P=(2x) 6 +6(2x) 5 +15(2x) 4 +20(2x) 3 +15(2x) 2 +6. 2x +1 4x 6 -4x 5 P=64x 6 +192x 5 +240x 4 +40x 3 +60x 2 +12x +1 4x 6 -4x 5 0,5đ Kết quả sắp xếp là: P=60x 6 +188x 5 +240x 4 +40x 3 +60x 2 +12x +1 0,5đ b. 1đ Công thức nhị thức Niu tơn tơng ứng nh sau: (A+B) 5 =A 5 +5A 4 B+10A 3 B 2 +10A 2 B 3 +5AB 4 +B 5 áp dụng: Q= (x+2) 2 - x 5 - x 4 Q= x 5 +5x 4 2+10x 3 2 2 +10x 2 2 3 +5x2 4 +2 5 - x 5 - x 4 Q= x 5 +10x 4 +40x 3 +80x 2 +80x+32- x 5 - x 4 0,5đ Kết quả sắp xếp là: Q= 9x 4 +40x 3 +80x 2 +80x+32 0,5đ Bài 2: (2đ) Phân tích thành nhân tử: a. 1đ x 3 z + x 2 yz x 2 z 2 -xyz 2 =(x 3 z x 2 z 2 )+(x 2 yz - xyz 2 ) 0,5đ = x 2 z (xz)+xyz(x- z) =(xz) (x 2 z +xyz) =(xz) xz(x+y 0,5đ b. 1đ p m+2 q - p m+1 q 3 - p 2 q n+1 + pq n+3 = (p m+2 q - p m+1 q 3 ) (p 2 q n+1 - pq n+3 ) 0,5đ = p m+1 q(p q 2 ) pq n+1 (p p 2 ) =(p p 2 )(p m+1 q- pq n+1 ) =pq(p p 2 )(p m - q n ) 0,5đ Bài 3: (2đ) A= 4a 2 b 2 (a 4 +2 a 2 b 2 +b 4 )+ (2b 2 c 2 +2a 2 c 2 ) - c 4 =(2ab) 2 [(a 2 +b 2 ) 2 - 2c 2 (a 2 +b 2 ) +c 4 ] =(2ab) 2 [(a 2 +b 2 ) 2 - 2c 2 (a 2 +b 2 ) + c 4 ] =(2ab) 2 [(a 2 +b 2 )- c 2 ] 2 0,5đ =(2ab + a 2 +b 2 - c 2 )(2ab - a 2 - b 2 +c 2 ) =[(a+b) 2 - c 2 )][ c 2 -(a-b) 2 ] 0,5đ =(a+b+ c) (a+b+ c)(c +a-b) (ca+b) 0,5đ Nếu a, b, c là các cạnh của tam giác thì a>0, b>0, c>0 và các nhân tử của biểu thức trên đều dơng (theo các bất đẳng thức về các cạnh trong tam giác) nên A>0. 0,5đ Bài 4: (2đ) P (a) =(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16 = [(a+2)(a+8)][(a+6)(a+4)]+16 = (a 2 +10a+16)( a 2 +10a+24)+16 0,5đ Đặt t = a 2 +10a+20 0,5đ Biểu thức trên đợc viết lại: P (a) =(t-4)(t+4)+16 0,5đ P (a) =t 2 -16+16=t 2 Vậy P (a =t 2 chia hết cho t Hay P (a) =(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+16 chia hết cho (a 2 +10a+20) 0,5đ Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ BD=AF AC=AF(gt) BD=AC BD//AC Tứ giác ABDC là hình bình hành nên có các đờng chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đờng. Tức là có MB=MC (đpcm) 0,5đ Trờng hợp vẽ hình nh hình dới cũng chứng minh tơng tự (chấm điểm theo một cách vẽ) B C A F 2 1 H M D E 1 Từ B ta kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AM kéo dài tại D. Ta có 1 A = E (1) ; 2 A = F (góc có cạnh tơng ứng vuông góc). 0,5đ 2 A = 1 D (so le trong) suy ra F = 1 D . Từ đó ta có FAE = DBA (2) (hai tam giác có 2 cặp góc bằng nhau từng đôi một thì cặp thứ ba cũng bằng nhau). Kết hợp (1), (2) và AB=AE (gt) ABD= EAF (gcg) 0,5đ B C A F 2 1 H M D E 1 -----------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . +80 x +32 - x 5 - x 4 0,5đ Kết quả sắp xếp là: Q= 9x 4 +40x 3 +80 x 2 +80 x +32 0,5đ Bài 2: (2đ) Phân tích thành nhân tử: a. 1đ x 3 z + x 2 yz x 2 z 2 -xyz 2. =(x 3 z x 2 z 2 )+(x 2 yz - xyz 2 ) 0,5đ = x 2 z (xz)+xyz(x- z) =(xz) (x 2 z +xyz) =(xz) xz(x +y 0,5đ b. 1đ p m+2 q - p m+1 q 3 - p 2 q n+1 + pq n +3 =