đề thi học sinh giỏi Toán 8 .2 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,5đ) Phân tích thành nhân tử: A=(a+b+c) 3 +(a+b-c) 3 +(b+c-a) 3 +(c+a-b) 3 Bài 2: (2đ) Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn: abcd-a=1961 abcd-b= 961 abcd-c= 61 abcd-d= 1 Bài 3: (2đ) a.So sánh cặp số: A= 1993.1995 và B=1994 2 b.Cho P= 1 )1(3 23 +++ + xxx x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. Bài 4: (1,5đ) Chứng minh rằng mọi giá trị của biến số x các đa thức sau đây nhận giá trị d- ơng: a. P= x 2 -6x+10 b. Q= x 2 +x+1 c. R=(x-3)(x-5)+4 Bài 5: (2đ) Cho yx0 nhọn trên 0x lấy 2 điểm A và B, trên 0y lấy 2 điểm C và D sao cho AB=CD, M và N là điểm giữa của AC và BD Chứng minh rằng MN//0Z ( 0Z là phân giác góc yx0 ) Hết đề thi Đáp án đề Toán 8 .2 Bài 1: (2,5đ) Phân tích thành nhân tử: A=(a+b+c) 3 +(a+b-c) 3 +(b+c-a) 3 +(c+a-b) 3 Đặt: a+b-c=x (1) b+c-a=y (2) c+a-b=z (3) Cộng vế với vế ta đợc a+b+c= x+y+z (4) 0,5đ Ta thay (1), (2), (3), (4) vào đầu bài ta đợc: A=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 = [(x+y+z) 3 -x 3 ] (y 3 +z 3 ) 0,5đ = (x+y+z-x)[( x+y+z) 2 + (x+y+z)x+x 2 ]- (y+z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+z)[( x+y+z) 2 + (x+y+z)x+x 2 ]- (y+z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+z)( x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz +2yz +x 2 +xy+xz+x 2 -y 2 +yz-z 2 ) 0,5đ = (y+z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) = (y+z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) = 3(y+z)[(x 2 +xy)+(xz +yz)] = 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)] = 3 (x+y)(y+z)(x +z) (5) 0,5đ Thay Ta thay (1), (2), (3) vào (5) ta đợc: A=3(a+b-c+ b+c-a)( b+c-a+ c+a-b)(a+b-c+ c+a-b) = 3(b+ b)( c+ c)(a+a) = 24abc 0,5đ Bài 2: (2đ) Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức đã cho. Phân tích vế trái đẳng thức thành nhân tử ta có: a(bcd-1) =1961 (1) b(acd-1) = 961 (2) 0,5đ c(abd-1) = 61 (3) d(abc-1) = 1 (4) 0,5đ Vế phải của (1) là một số lẻ do đó vế trái phải là tích của 2 số lẻ, suy ra a là một số lẻ. Tơng tự nh vậy, từ (2), (3), (4) ta có b, c, d đều là số lẻ. 0,5đ Bốn số a, b, c, d lẻ nên tích abcd là số lẻ và hiệu abcd-a (hiệu hai số lẻ) là một số chẵn, mâu thuẫn với đẳng thức (1) đã cho. 0,5đ Bài 3: (2đ) a. 1đ A= 1993.1995=(1994-1)(1994+1)=1994 2 -1 0,5đ B=1994 2 Rõ ràng B>A 0,5đ b.1đ Rút gọn biểu thức P: P = 1 )1(3 23 +++ + xxx x = 1)1( )1(3 2 +++ + xxx x = )1)(1( )1(3 2 ++ + xx x = 1 3 2 +x 0,5đ Biểu thức 1 3 2 +x lớn nhất khi x 2 +1 nhỏ nhất. x 2 0 nên nhỏ nhất khi x=0 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 0,5đ Bài 4: (1,5đ) a. 0,5đ P= x 2 -6x+10= x 2 -6x+9+1=(x-3) 2 +1 0,25đ =(x-3) 2 0 nên P>0 (đpcm) 0,25đ b. 0,5đ Q= x 2 +x+1= x 2 +x+ 4 1 + 4 3 =(x+ 2 1 ) 2 + 4 3 0,25đ Tơng tự nh (a.) Q>0 0,25đ c. 0,5đ R=(x-3)(x-5)+4=x 2 -5x-3x+15+4= x 2 -8x+16+3 0,25đ =(x-4) 2 +3 Cũng tơng tự nh (a.) R>0 0,25đ Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ Hạ AE 0Z , BF 0Z , AE và BF cắt 0y ở K và H A0K cân vì có 0E là đờng phân giác và là đờng cao. Tơng tự B0H cũng cân, nên ta có AE=EK và BF=FH. 0,5đ Từ đó suy ra EM là đờng trung bình của AKC FN là đờng trung bình của BHD Ta có: EM//KC và EM= 2 KC (1) FN//HD và FN= 2 HD (2) Chứng tỏ EM//FN và cùng song song với 0y 0,5đ K B C A F 0 Z 2 1 H y N M D E x Mặt khác tứ giác HKAB là hình thang cân (từ B0H cân và AE 0Z , BF 0Z suy ra) Vậy AB=HK=CD Ta lại có KC+CH=KH HD+CH=CD nên KC=HD (3) . Từ (1), (2) và (3) suy ra EM=FN Tứ giác EMNF có EM=FN và EM//FN nên nó là hình bình hành Vậy MN//EF hay MN//0Z (đpcm) 0,5đ Hết đáp án Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . y 2 -yz+z 2 ) = (y+ z)[( x +y+ z) 2 + (x +y+ z)x+x 2 ]- (y+ z)( y 2 -yz+z 2 ) = (y+ z)( x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz +2yz +x 2 +xy+xz+x 2 -y 2 +yz-z 2 ) 0,5đ = (y+ z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz) = (y+ z)( 3x 2 +3xy+3xz +3yz). a+b+c= x +y+ z (4) 0,5đ Ta thay (1), (2) , (3), (4) vào đầu bài ta đợc: A=(x +y+ z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 = [(x +y+ z) 3 -x 3 ] (y 3 +z 3 ) 0,5đ = (x +y+ z-x)[( x +y+ z) 2 + (x +y+ z)x+x 2 ]- (y+ z)( y 2 -yz+z 2 ) =. x 2 -6x+9+1=(x-3) 2 +1 0 ,25 đ =(x-3) 2 0 nên P>0 (đpcm) 0 ,25 đ b. 0,5đ Q= x 2 +x+1= x 2 +x+ 4 1 + 4 3 =(x+ 2 1 ) 2 + 4 3 0 ,25 đ Tơng tự nh (a.) Q>0 0 ,25 đ c. 0,5đ R=(x-3)(x-5)+4=x 2 -5x-3x+15+4= x 2 -8x+16+3