Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.8

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .8 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Xác định giá trị của a, b và c để đa thức: P(x) = x 4 + ax 2 + bx + c chia hết cho (x 3) 3 Bài 2: (2đ) Thực hiện phép tính: ))(( 1 22 bcbacacb + + ))(( 1 22 accabbac + + ))(( 1 22 ababccba + Bài 3: (2đ) Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v 0 z 1 y 1 x 1 =++ . Tớnh giỏ tr ca biu thc: xy2z xy xz2y xz yz2x yz A 222 + + + + + = Bài 4: (2đ) Phân tích các đa thức sau th nh nhân tử: a) (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3 b) x(y 2 -z 2 )+y(z 2 -x 2 )+z(x 2 -y 2 ) Bài 5: (2đ) Cho hình bình hành ABCD. Gọi b và d là khoảng cách từ B và D đến đờng thẳng bất kỳ (ta gọi là xy) qua A . Tính khoảng cách từ C đến đờng thẳng ấy. -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 . 8 Bài 1 : (2đ) Chia x 4 + ax 2 + bx + c cho (x 3) 3 đợc thơng là x + 9 0,5đ và d là R(x) = x 2 (a+54) + x(b-216) + 243 + c 0,5đ P(x) (x 3) 2 R(x) = 0 0,5đ a+54 = 0 a = - 54 b-216 = 0 b = 216 243 + c = 0 c= -243 0,5đ Bài 2: (2đ) bcbaca + 22 = )()( 22 bacba + = ))(( cbaba ++ Vậy mẫu thức của phân thức thứ nhất là: )( cb ))(( cbaba ++ 0,5đ Nếu trong mẫu thức của phân thức thứ nhất ta thay: b bởi c c bởi a a bởi b thì ta đợc mẫu thức của phân thức thứ hai. Do vậy: Mẫu thức của phân thức thứ hai bằng: )( ac ))(( cbacb ++ Mẫu thức của phân thức thứ ba bằng: )( ba ))(( cbaac ++ 0,5đ Từ đó ta có: ))()(( 1 cbabacb ++ + ))()(( 1 cbacbac ++ + ))()(( 1 cbaacba ++ 0,5đ = ))()()(( cbaaccbba cbbaac ++ ++ = ))()()(( 0 cbaaccbba ++ =0 0,5đ Bài 3: (2đ) 0 z 1 y 1 x 1 =++ 00 =++= ++ xzyzxy xyz xzyzxy xy = = yzxz yz = xyxz xz = –xy–yz 0,5® x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) 0,5đ Do đó: )yz)(xz( xy )zy)(xy( xz )zx)(yx( yz A −− + −− + −− = A = − −− −− ))(( zxyx xzxy ))(( zyyx yzxy −− −− + ))(( zyzx xzyz −− −− = ))()(( )()()( 222222 zyzxyx yxzzxyzyx =−− −−−+−− = ))()(( 222222 zyzxyx zyzxyzyxxzxy =−− +−−++− 0,5® = ))()(( )()()( 222222 zyzxyx zyzxyxxyyzxz =−− −−−−− = ))()(( )()()( 222 zyzxyx yxzxyxyyxz =−− −−−−− = ))()(( ))(( 2 zyzxyx yzxzxyzyx =−− −−+− = ))()(( )]()()[( zyzxyx zxyxzzyx =−− −+−− = 1 ))()(( ))()(( = =−− −−− zyzxyx zyzxyx Vậy A = 1 0,5® Bµi 4: (2®) a) (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 =(x - y + y - z)[(x - y) 2 -(x - y)(y - z) + (y - z) 2 ] + (z - x) 3 =(x - z)[(x - y) 2 - (x - y)(y - z) + (y - z) 2 - (z - x) 2 ] 0,5® =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x) =3(x - z)(x - y)(z - y) 0,5® b) x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 + x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 ) + x(x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) 0,5® = (x 2 - y 2 )(z - x) + (x 2 - z 2 )(x - y) =(x - y)(z - x)(x + y - x - z) =(x - y)(z - x)(y - z) 0,5® Bµi 5: (2®) VÏ h×nh 0.5 ® Ta xÐt hai trêng hîp cã thÓ x¶y ra: 1) § êng th¼ng xy kh«ng c¾t ® êng chÐo BD (h×nh trªn) H¹ OO’(giao ®iÓm cña AC vµ BD) , BB’ , CC’ , DD’ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng xy. Ta cã: OO’//BB’ // DD’ vµ OB=OD nªn OO’ lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang vu«ng B’BDD’ vµ theo ®Çu bµi, BB’= b, DD’ = d, do ®ã: OO’ = )( 2 1 db + OO’ l¹i lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ACC’ (OA=OC vµ OO;//CC’) nªn CC’ = 2. OO’= 2. )( 2 1 db + = b+d 0,75® B C A O D b B’ x d O’ C’ y D’ I C A O D b B’ x d O’ C’ y D’ B 2) Đ ờng thẳng xy cắt đ ờng chéo BD (hình trên) Hạ OO, BB , CC , DD vuông góc với đờng thẳng xy. OO cắt BD ở I. Ta có OI và OI là đờng trung bình của tam giác DBD và tam giác BDB Do đó OO = OI - OI = 22 bd OO lại là đờng trung bình của tam giác CAC nên: CC = 2 OO = 2 bd bd = 2 Tóm lại, khoảng cách từ C đến đờng thẳng xy qua A bằng b+d hoặc b- d tùy theo xy không cắt hay cắt BD. 0,75đ --------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . 1 y 1 x 1 =++ 00 =++= ++ xzyzxy xyz xzyzxy xy = = yzxz yz = xyxz xz = –xy–yz 0,5® x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x y) –z(x y) = (x y) (x–z) Tương tự: y. zyzxyx zyzxyxxyyzxz =−− −−−−− = ))()(( )()()( 222 zyzxyx yxzxyxyyxz =−− −−−−− = ))()(( ))(( 2 zyzxyx yzxzxyzyx =−− −−+− = ))()(( )]()()[( zyzxyx zxyxzzyx =−−