Đề và đáp án HSG toán 8

đề kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 môn: toán thời gian làm : 120 phút phòng GD - Đt nghĩa hng Phần I Trắc nghiệm khách quan ( điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, có phơng án . Hãy chọn phơng án ( viết vào làm đứng trớc phơng án lạ chọn) 1.Phơng trình (x2 1)(2x + 4)(3x 2) = có số nghiệm là: A. B. C. D. 2. Khi x < 0, kết rút gọn biểu thức x 3x : A.x 5; B, - x- 5; C. 5x D. 5x + 3. Phơng trình x = tơng đơng với phơng trình sâu đây? A. x2 + x = 2x2; B. ( x 1) = 1 = +2; x +1 x +1 C. 2x + x D . (x 1)x2 = 4. Trong khảng định sau đây, khảng định đúng? A. Hai tam giác cân đồng dạng với nhau. B. Hai tam giác đồng dạng với nhau. C. Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau. D. Hai tam giác có diện tích đồng dạng với nhau. Phần II Tự luận (18 điểm) Câu ( điểm): Phân tích đa sau thành nhân tử: a, x2 2x 4y2 4y; b, xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) Câu ( điểm): Giải phơng trình sau: b, x 13 ữ + x 1ữ + (14 x)3 = a, x 2x + 5x 2x + = Câu 3(3 điểm) 1. Giải bất phơng trình sau: x 20 x + x > x(1 3x) x 2. Cho 6a 5b = . Chứng minh 4a2 + 25b2 10 Câu ( 6điểm): 1. Cho tam giác ABC vuông cân A; M trung điểm cạnh AC . Trên BM lấy điểm N cho MN = MA; CN cắt AB E . Chứng minh rằng: a, Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b, CN NB = +1 AN AB 2. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a; AD = b; P trung điểm AB. Một góc vuông quay xung quanh P , cắt cạnh AD E cắt cạnh BC F .Xác định vị trí EF để diện tích PEF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu ( điểm): Tìm số tự nhiên x y cho 2x y2 + = PHềNG GD-T NGHA HNG HNG DN CHM KTCL HC SINH GII NM HC 2010 2011 MễN: TON Phn I - Trc nghim khỏch quan (2 im): Mi cõu la chn ỳng ỏp ỏn c 0,5 im Cõu ỏp ỏn ỳng D A C B Phn II - T lun (18 im): Cõu (4 im): a, x2 - 2x - 4y2 - 4y = (x2 4y2) (2x + 4y) (0,5 ) = (x 2y)(x + 2y) 2(x + 2y) (0,5 ) = (x + 2y)(x 2y 2) (0,5 ) b, xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) = xy(x + y) y2z yz2 + x2z xz2 (0,5 ) = xy(x + y) (y2z - x2z) (yz2 + xz2) (0,25 ) 2 = xy(x + y) z(y - x ) z (y + x) (0,5 ) = xy(x + y) z(y - x)(y + x) z (y + x) (0,25 ) = (x + y)(xy yz + xz z2) (0,25 ) = (x + y)[y(x z) + z(x z)] (0,25 ) = (x + y)(y + z)(x z) (0,5 ) Cõu (3 im): a, x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + = (1) Ta thy x = khụng l nghim ca phng trỡnh (1) nờn chia c hai v ca phng trỡnh cho x 0, x =0 x2 1 ( x + ) - 2( x + ) + = (2) x x 1 t x + = t x + = t2 x x ta c: x x + + (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) Thay vo phng trỡnh (2), ta c phng trỡnh: t2 2t + = (t 1)2 + = (3) (0,25 ) 2 Thy (t 1) vi mi t nờn (t 1) + > vi mi t. (0,25 ) Do ú phng trỡnh (3) vụ nghim Vy pt ó cho vụ nghim. (0,25 ) b, x 13 + x + (14 x ) = (1) t a = x - 13; b = x 1; c = 14 x a + b + c = 4 (0,25 ) Chng minh: vi a + b + c = thỡ a3 + b3 + c3 = 3abc. (0,5 ) Do ú: x 13 + x + (14 x ) = x 13 . x 1.(14 x ) Vy (1) xy x 13 . x 1.(14 x ) = x - 13 = hoc x = hoc 14 x = 4 x = 52 hoc x = hoc x = 14. KL: Phng trỡnh ó cho cú nghim l . Cõu (3 im): x 20 x + x x(1 3x ) x > 1. 3 (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) 4(5 x 20) 6(2 x + x) x(1 x) 15 x > 12 12 12 12 4(5x 20) 6(2x2 + x) > 4x(1-3x) 15x 20x 80 12x2 6x 4x + 12x2 + 15x > 25x > 80 x > 3,2 Vy bpt cú nghim l: x > 3,2 2. Chng minh: (3x + y)2 (x2 + y2)(32 + 12) x2 + y (3 x + y ) 10 (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) (0,25 ) (0,5 ) (0,25 ) t x = 2a; y = - 5b, ỏp dng bt ng thc trờn, ta cú: (6a 5b) = 4a + 25b (vỡ 6a - 5b = 1) 10 10 Vy 4a2 + 25b2 . 10 C Cõu (6 im): 1. F (0,5 ) (0,25 ) M N A B E a) Chứng minh ANC vuông N (vì AM = MC = MN) (0,5 ) CNM + MNA = 1v (0,25 ) Lại có: BAN + NAC = 1v (vì .) (0,25 ) Mà MNA = NAC => CNM = BAN (0,5 ) Mặt khác CNM = BNE (đđ) => BNE = BAN (0,25 ) => BNE BAN đồng dạng với ( .) (0,25 ) b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN. Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đờng chéo cắt trung điểm đờng) (0,5 ) Chứng minh BAN BFA đồng dạng với FA BF => = AN BA NC FN + NB => = AN AB NC AB + NB NC NB => = => = +1 AN AB AN AB (0,5 ) (0,25 ) (0,25 ) (0,5 ) 2. y B F C P A x E D t AE = x, BF = y (0 < x, y < b) Chng minh SPEF = SABFE (SBPF + SAPE) (0,25 ) x+ y ax ay .a ( + ) = (0,25 ) 4 a( x + y) a a xy .2 xy = = (vi mi x, y) (0,25 ) 4 Chng minh BPF v AEP ng dng vi (0,25 ) BF BP AE.BF = AP.BP = (0,25 ) AP AE a2 x.y = (khụng i) (0,25 ) a2 Do ú, SPEF vi mi x, y. (0,25 ) a a a2 SPEF = x=y= hay EF v trớ cho AE = BF = .(0,25 ) 2 Cõu (2 im): Ta thy: 2x y2 + = 2x + = y2 (0,25 ) Ln lt xột cỏc giỏ tr t nhiờn ca x, ta cú: - Nu x = => y2 = => y = (vỡ y l s t nhiờn) (0,25 ) - Nu x = => y = (khụng cú s t nhiờn y tho món) (0,25 ) x - Nu x 2, chng minh chia ht cho (0,25 ) x => + chia cho d (1) (0,25 ) Mt khỏc, 2x + l => y2 l => y l => y = 2q + (q l s t nhiờn) => y2 chia cho d (2) (0,25 ) x T (1), (2), ta thy: + v y khụng th bng nhau. (0,25 ) Vy x = 0, y = l giỏ tr cn tỡm. (0,25 ) Lu ý: - Các lời giải theo cách khác mà phù hợp với kiến thức chơng trình cho điểm tơng tự. - câu Hình học, hình vẽ sai không cho điểm phần có liên quan. . ( 2 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có một phơng án đúng . Hãy chọn phơng án đúng ( viết vào bài làm chứ cái đứng trớc phơng án lạ chọn) 1.Phơng trình (x 2 1)(2x. 2011 MễN: TON 8 Phn I - Trc nghim khỏch quan (2 im): Mi cõu la chn ỳng ỏp ỏn c 0,5 im Cõu 1 2 3 4 phòng GD - Đt nghĩa hng đề kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 môn: toán 8 thời gian. lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 môn: toán 8 thời gian làm bài : 120 phút Đáp án đúng D A C B Phần II - Tự luận ( 18 điểm): Câu 1 (4 điểm): a, x 2 - 2x - 4y 2 - 4y = (x 2 – 4y 2 ) – (2x +