Dai so 9 De thi chon HSG

[r]

PHỊNG GD&ĐT N THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 (Thời gian làm 120 phút)

Câu

a) Tìm số tự nhiên x > cho x2 + 36 số phương

b) Cho A  20202021  a1 a2 a3  an tổng n số tự nhiên (n> 2020) Tìm số dư B  a15  a25  a35   an5 chia cho

Câu

a) Tính A  3 2912

b) Giải phương trình :

(1) x2019  2021 x  x20202 2 (2) x3  1 2x2 2

Câu

a) Tìm GTNN 2

3 3 2023

A x  xy y  x y

b) Cho số dương a b c; ; abc 1.Chứng minh

2 2

3

a b c

bc ac ab  Câu

Cho tam giác ABC cân A có

90

BAC , đường cao AH Trên tia CB lầy điểm D

cho

90

DAC , kẻ DEABtại E a) Chứng minh: HC.DB = AC.BE b) Chứng minh: AHEcân H

c) Chứng minh: AB.AE + DB.DH = AD2

d) Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC lấy điểm N cho MH tia phân giác củaBMN Tìm GTNN BM + CN

- hết - Cán coi thi khơng giải thích

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN

Câu Ý Nội dung Điểm

1 (4đ)

a ( 2đ)

Giả sử x2 + 36 = y2 (Với y > x; y số tự nhiên)

(y x).(y x) 36

   

Vì y – x y + x tính chẳn lẽ 0< y – x < y + x Nên y – x = y + x = 18 => x =8 y = 10

Vậy số tự nhiên x cần tìm x =

0,5 0,5 0,5 0,5

b (2đ)

Xét hiệu

5 5

1 2

2

1 1

( ) ( ) ( )

( 1) .( 1).( 1) ( 1) .( 1).( 1)

n n

n n n n

B A a a a a a a

a a a a a a a a

       

        

3

B A

 

Do A chia dư 1, nên B chia củng dư

0,5 0,5 0,5 0,5

2 (6,0)

a ( 2đ)

2

2

5 29 12

5 (2 3)

5

5 ( 1) 1

A A A A A

   

   

  

  

 

0,5 0,5 0,5 0,5 b

( 4đ) (1)

2

2019 2021 ( 2020) 2

x    x x  (*) .ĐK: 2019 x 2021

Chứng minh được:

2019 2021 2

x   x dấu “=” xảy x = 2020 Và (x2020)2 2 2 dấu “=” xảy x = 2020 Nên (*) xảy x = 2020

0,25

(2)  

5 x 1  x 2

Đặt u x2  x 1 v  x1 ĐK: x > - Pt trở thành5uv 2(u2 v2)

Vì u0 nên pt

2

2

1

2

2

v v

u u

v

v v u

v u u u                                 Với

2

v

u 

5 37

2 x  Với v

u  pt vô nghiệm

Vậy nghiệm pt 37

2 x 

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 (3,0) a (1,5đ) 2

3 2023

A x  xy y  x y

2 2

2

4 (4 12 ) (3 3) 8080

1

.(2 3) ( 1) 2020

4

A x y xy x y y y A x y y

         

     

=> A nhỏ 2020 x = y =

0,5 0,5 0,5 b

(1,5đ)

Chứng minh

     

2 2

1 1

1 1

( ) 3 ( ) ( ) 2

a b b c c a

a b b c c a a b c

a b b c c a

a b c

b c c a a b

a b c

a b c a b c

b c c a a b

a b c a b c

b c c a a b

                                                                 

Mà

3

a b c   abc   a b c abc = Nên

2 2

3

a b c

bc ac ab 

0,5

0,5

4 (7đ)

a

(1,5đ)

Chứng minh ( )

AHC DEB gg

AC HC

DB EB

AC EB DB HC

 

 

 

1đ 0,5 b

(2đ)

Từ câu a suy

( ) BH BE

AB BD

BHE BAD cgc BEH BDA BEH BAH



  

 

 

AHE

  cân H

0,5 0,5 0,5 0,5 c

(2đ)

Kẻ BF ADtại F Chứng minh :

2

AB AE AF AD DB DH DF DA

AB AE AF AD AD

 

  

0,75 0,75 0,5 d

(1,5đ) Chứng minh được:

2

( )

4

BMH CHN gg BC BM CN

 

 

Theo Cơsi ta có BMCN2 BM CN BM CN BC

  

Nên BM + CN nhỏ BC, BM = CN =BH

0,75 0,25 0,25 0,25

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn

B

A

C D

E

H F

M