Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT N THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 (Thời gian làm 120 phút)
Câu
a) Tìm số tự nhiên x > cho x2 + 36 số phương
b) Cho A 20202021 a1 a2 a3 an tổng n số tự nhiên (n> 2020) Tìm số dư B a15 a25 a35 an5 chia cho
Câu
a) Tính A 3 2912
b) Giải phương trình :
(1) x2019 2021 x x20202 2 (2) x3 1 2x2 2
Câu
a) Tìm GTNN 2
3 3 2023
A x xy y x y
b) Cho số dương a b c; ; abc 1.Chứng minh
2 2
3
a b c
bc ac ab Câu
Cho tam giác ABC cân A có
90
BAC , đường cao AH Trên tia CB lầy điểm D
cho
90
DAC , kẻ DEABtại E a) Chứng minh: HC.DB = AC.BE b) Chứng minh: AHEcân H
c) Chứng minh: AB.AE + DB.DH = AD2
d) Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC lấy điểm N cho MH tia phân giác củaBMN Tìm GTNN BM + CN
- hết - Cán coi thi khơng giải thích
(2)PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN
Câu Ý Nội dung Điểm
1 (4đ)
a ( 2đ)
Giả sử x2 + 36 = y2 (Với y > x; y số tự nhiên)
(y x).(y x) 36
Vì y – x y + x tính chẳn lẽ 0< y – x < y + x Nên y – x = y + x = 18 => x =8 y = 10
Vậy số tự nhiên x cần tìm x =
0,5 0,5 0,5 0,5
b (2đ)
Xét hiệu
5 5
1 2
2
1 1
( ) ( ) ( )
( 1) .( 1).( 1) ( 1) .( 1).( 1)
n n
n n n n
B A a a a a a a
a a a a a a a a
3
B A
Do A chia dư 1, nên B chia củng dư
0,5 0,5 0,5 0,5
2 (6,0)
a ( 2đ)
2
2
5 29 12
5 (2 3)
5
5 ( 1) 1
A A A A A
0,5 0,5 0,5 0,5 b
( 4đ) (1)
2
2019 2021 ( 2020) 2
x x x (*) .ĐK: 2019 x 2021
Chứng minh được:
2019 2021 2
x x dấu “=” xảy x = 2020 Và (x2020)2 2 2 dấu “=” xảy x = 2020 Nên (*) xảy x = 2020
0,25
(3)(2)
5 x 1 x 2
Đặt u x2 x 1 v x1 ĐK: x > - Pt trở thành5uv 2(u2 v2)
Vì u0 nên pt
2
2
1
2
2
v v
u u
v
v v u
v u u u Với
2
v
u
5 37
2 x Với v
u pt vô nghiệm
Vậy nghiệm pt 37
2 x
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 (3,0) a (1,5đ) 2
3 2023
A x xy y x y
2 2
2
4 (4 12 ) (3 3) 8080
1
.(2 3) ( 1) 2020
4
A x y xy x y y y A x y y
=> A nhỏ 2020 x = y =
0,5 0,5 0,5 b
(1,5đ)
Chứng minh
2 2
1 1
1 1
( ) 3 ( ) ( ) 2
a b b c c a
a b b c c a a b c
a b b c c a
a b c
b c c a a b
a b c
a b c a b c
b c c a a b
a b c a b c
b c c a a b
Mà
3
a b c abc a b c abc = Nên
2 2
3
a b c
bc ac ab
0,5
0,5
(4)4 (7đ)
a
(1,5đ)
Chứng minh ( )
AHC DEB gg
AC HC
DB EB
AC EB DB HC
1đ 0,5 b
(2đ)
Từ câu a suy
( ) BH BE
AB BD
BHE BAD cgc BEH BDA BEH BAH
AHE
cân H
0,5 0,5 0,5 0,5 c
(2đ)
Kẻ BF ADtại F Chứng minh :
2
AB AE AF AD DB DH DF DA
AB AE AF AD AD
0,75 0,75 0,5 d
(1,5đ) Chứng minh được:
2
( )
4
BMH CHN gg BC BM CN
Theo Cơsi ta có BMCN2 BM CN BM CN BC
Nên BM + CN nhỏ BC, BM = CN =BH
0,75 0,25 0,25 0,25
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn
B
A
C D
E
H F
M