Kẻ các đường kính AC và BD, đường thẳng MO cắt AB và CD lần lượt tại I và K. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến đường kính AC. c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F bất kì.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn: Tốn – (Thời gian làm bài: 150 phút) -
Bài 1 (6,0 điểm)
a) Cho x 3 3 1 Tính giá trị biểu thức
3
3
2
2
x x x
P
x
b) Cho a, b, c số nguyên thoả mãn: a b c32024c Chứng minh rằng 3
6 S a b c
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2xy2019x2020y2021 0 Bài (4,0 điểm) Giải phương trình sau:
a) x2 6x266 2x 1
b) 2x2 5(x2) x 1 6x 10 Bài (3,0 điểm)
a) Cho x, y hai số dương thoả mãn: x y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu
thức
2 Q x x y
x y
b) Cho a b c, , 0 thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1 1
a b c
a b c
b c a
Bài (6,0 điểm)
Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến MA MB (A, B là tiếp điểm) Kẻ đường kính AC BD, đường thẳng MO cắt AB CD lần lượt I K Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm B đến đường kính AC
a) Chứng minh BH.AC = 2MB.CH
b) Gọi giao điểm MC BH E Tính BE theo theo R MO = d c) Trên tia đối tia DA lấy điểm F Gọi giao điểm AC FK N Chứng minh NIK AFI
Bài (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh là điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho có thể tìm 253 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn 1
2
-Hết -
(2)
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN NĂM HỌC 2020-2021
Bài Câu Nội dung Điểm
1
a
a) Cho x 3 3 1 Tính giá trị biểu thức
3
3
2
2
x x x
P
x
2.0
Ta có 5 6
2
x
2
( 1) ( 1) 5
1
2 2
0.25
0,25
Ta có: 3 x 1 1 0.5
2 1 2
x x x x
3 2
2x 3x 4x 2 (x x ) (x x ) 2x x
Thay x22x1 vào ta 2x 1 2x 2
0.25 0.25
0,25
Vậy 1 P
0.25
b b) Cho a, b, c số nguyên thoả mãn:
3
2024 a b c c Chứng minh S a3b3c3
2.0
Ta có: a b c32024c a b c (c3 c) 2022c ( 1) ( 1) 2022
a b c c c c c
0.25 0.5
(Vì (c1) (c c1) tích số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết cho mà (2;3)=1 nên tích đó chia hết cho 6; 2022 6c )
( 1) ( 1) 2022
a b c c c c c
(1) 0.5
Mặt khác: 3
(a b c ) ( a b c)
(a 1) (a a 1) (b 1) (b b 1) (c 1) (c c 1)
(2) 0.5
Từ (1) (2) suy ra: 3
6
S a b c 0.25
c c) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2019 2020 2021 x xy x y
2.0
Ta có x2xy2019x2020y2021 0
2020 2020 2020
x xy x x y
0,25
(x y 1)(x 2020) 1.1 1.( 1)
0.5
TH1: 1 2021
2020 2021
x y y
x x
TH2: 1 2021
2020 2019
x y y
x x
0.5
(3)Vậy x y, 2021, 2021 ; 2019, 2021 0.25
2
a Giải phương trình: x2 6x266 2x 1 2.0
ĐK: x
2
(x 8x 16) (2x 2x 9) 0
0.25
0.5
2
(x 4) ( 2x 3) 0 (1)
0.5
Vì (x 4)2 x;( 2x 3)2 x
x 4 0 x 4
(1) x 4 (T/M)
x 4 2x 1 3
Vậy S 4
0,5
0,25
b Giải phương trình: 2x2 5(x2) x 1 6x 10 (1) 2.0 ĐK: x -1
(1) 2(x2)25(x2) x 2(x 1) 0
2
2(x 2) 4(x 2) x (x 2) x (x 1)
2(x 2) (x 2) x 1 x (x 2) x 1
(x 2 x 1)(2x x 1)
0.25 0.5
0.25
2
2 x x x(x 8)
(x 2)
4x 17x 15
x 2x
x (Loai) x (T/M) x 3(T/M)
5
x (Loai)
Vậy S 3;8
0,5
0,5
3
a
a) Cho x, y hai số dương thoả mãn: x y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 Q x x y
x y
1.5
2
( 2)
2 2
x y x y Q x
x y
0.5
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 6
2
x x
x x
;
8
2
2
y y
y y
(4)Mặt khác:
(x2) 0 x; ( )
2
xy
Do Q 0 4
0.25
0.25
Dấu “=” xảy
2 6 (T/M) x x y x x y x y y
Vậy Qmin 9 x 2;y4 0.25
b
Cho a b c, , 0 thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1 1
a b c
a b c
b c a
1.5
3
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
2
2
1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
a a b a b ab b
a a a
b b b
; ( 1)
a ab b
a b (1) 0,5 Tương tự:
( 1) (2)
1
b bc c
b c
2 ( 1) (3)
1
c ca a
c a
Cộng theo vế bất đẳng (1),(2),(3) ta được:
2 2
1 1
( )
1 1
a b c ab bc ca a b c
a b c
b c a
3
2
ab bc ca
0,5
Mặt khác:
(a b c ) 3(ab bc ca )ab bc ca 3 Do 2 2 2 3
1 1
a b c
b c a
Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy 2 2 2
1 1
a b c
a b c
b c a
(đpcm)
0,5
4
Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC và BD, đường thẳng MO cắt AB CD I K Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm B đến đường kính AC
a) Chứng minh BH.AC = 2MB.CH
b) Gọi giao điểm MC BH E Tính BE theo
(5)theo R MO = d
c) Trên tia đối tia DA lấy điểm F Gọi giao điểm AC FK N Chứng minh NIK AFI
a
P E N
K I
D
H M
C O
A
B
F
0.5
Chứng minh MAO=MBO (cạnh huyền-cạnh góc vng) MA=MB kết hợp OA=OB MO trung trực ABI trung điểm AB Từ suy OI đường trung bình tam giác ABCIO//BCMOABCH (đồng vị)
0,5 Từ chứng minh hai tam giác vuông MAO BHC đồng
dạng (g.g)
BH CH (1) BH.OA=MA.CH
MA OA
0.5
0.5
Mà ,
2 AC
OA MAMBBH AC MB CH 0.5
b
Vì BH//MA nên áp dụng định lý Ta let vào tam giác CMA ta có:
EH CH EH CH
(2)
MA CA MA 2OA 0,5
Từ (1) (2) BH 2EH BE EH BH
0,5
Tam giác ABC có cạnh AC đường kính đường trịn ngoại tiếp nên tam giácvng, theo hệ thức lượng ta có:
2
BH AH.CH(2R CH).CH (3)
(6)Thay (1) vào (3) kết hợp BH=2EH ta được:
2 2
2
2 2
BH.R BH.R 2R MA 2R d R
BH 2R BH
MA MA MA R d
2 2
R d R BE
d
0.5
c
Qua O kẻ đường vng góc với IK cắt IN P
Khi ta có OP//AI (cùng vng góc OI) nên NP NO PI OA
0,5
Mặt khác OK//AF (cùng vng góc AB) nên NK NO KF OA Do suy NP NK PK//IF FIK PKI (*)
PI KF
0.5
Mặt khác tam giác PIK cân đỉnh H (OP trung trực IK), nên PIK PKI (**)
0.25
Từ (*) (**)FIK NIK, mà FIK AFI (so le trong)
NIK AFI
(đpcm). 0.25
5
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm ít 253 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn 1
2
1.0
Gọi A Ai j hai điểm xa điểm thuộc tập hợp 2020 điểm cho
Giả sử Ak điểm cách xa đoạn thẳng A Ai jnhất Khi Tam giác A Ai jAklà tam giác có diện tích lớn khơng lớn
Vẽ đường thẳng qua điểm Ai, Aj, Ak song song với cạnh A Ai j Ak
Ta tam giác nhỏ tam giác lớn chứa tam giác nhỏ
Tam giác lớn có diện tích khơng q đơn vị Do đó, tam giác
lớn chứa tất 2020 điểm cho 0.5
Ta có 2020 chia cho 505 có tam giác có tam giác có diện tích nhỏ 1chứa 505 điểm 2020 điểm cho
Chia tam giác thành tam giác có diện tích Ta có 505 chia cho 252 dư nên theo nguyên tắc Dirichlet suy có tam giác có diện tích nhỏ
2 chứa 253 điểm
2020 điểm cho 0.5