ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP ĐỀ 11 (Thứ -Ngày 26.1.2016)_Thời gian :120 Phút Họ tên : Bài (4 điểm): 1) Tính giá trị biểu thức: A = 212.35 − 46.92 ( 3) + 84.35 2) Cho B = 22015 - 22014 – 22013- - – Tính 2015B Bài (4 điểm): 3x − y z − x y − 3z x y z = = 1) Cho Chứng minh : = = 2 2) Cho đa thức f(x) =ax + bx + c với a, b, c hệ số nguyên Biết f(x) 5 với số nguyên x Chứng tỏ a, b, c chia hết cho Bài (4 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2014 + 2015 − x x thay đổi 7n − 2) Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn 2n − Bài ( điểm ): Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc BAC tại N cắt tia AB tại E cắt tia AC tại F Chứng minh rằng: AB + AC 1) AE = AF 2) BE = CF 3) AE = Bài 5: ( điểm ) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: 1 + = x y Chú ý : Làm nạp vào thứ (Ngày 29.1.2016) ĐÁP ĐỀ 11 Câu Đáp án a) A = = 212.35 − 46.92 ( 3) + = 212.35 − 212.34 212.36 + 212.35 212.34 ( − 1) = 212.35 ( + 1) b)Ta có : 2B = 22016 − 2015 − 2014 − − 22 − ⇔ 2B – B = 22016 − 22015 − 22015 − 2014 + 22014 − − 22 + 2 − + + ⇔ B = 22016 − 2.2 2015 + = 2016 − 2016 + = ⇒ 2015B = 2015 Vậy 2015B = 2015 a) 2,0 2,0 3x − y z − x y − 3z = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 12 x − y z − 12 x y − z 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = =0 16 16 + + 12 x − y = 12 x = y ⇒ ⇒ ⇒ 12 x = y = z 8 y − z = 8 y = z ⇒ Biểu điểm 1,0 1,0 ⇒ 12 x y z x y z = = ⇔ = = (đpcm) 24 24 24 b) f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c hệ số nguyên Vì f(x) với số nguyên x nên ta có f(0) => c Lại có : f(1) => a + b + c mà c nên a + b (1) f(- 1) => a – b + c mà c nên a – b (2) Từ (1) (2) suy a b Vậy a, b, c chia hết cho a) + Nếu x < 2014 thì: A = - x + 2014 + 2015 – x = - 2x + 4029 Khi đó: - x > -2014 => - 2x + 4029 > – 4028+ 4029 = => A > + Nếu 2014 ≤ x ≤ 2015 thì: A = x – 2014 + 2015 – x = + Nếu x > 2015 A = x - 2014 - 2015 + x = 2x – 4029 Do x > 2015 => 2x – 4029 > 4030 – 4029 = => A > 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 0,75 Vậy A đạt giá trị nhỏ 2014 ≤ x ≤ 2015 2( 7n − 8) 7( 2n − 3) + b) A = 2( 2n − 3) = 2( 2n − 3) = + 2( 2n − 3) Đặt B= 2( 2n − 3) A lớn B lớn B lớn 2n – số tự nhiên nhỏ ⇔ 2n – = ⇔ n = Vậy GTLN A n = 0,75 0,75 0,5 A x K F M B N C E a) - Xét ∆ ANE ∆ ANF có : ·ANE = ·ANF = 900 AN chung · · (gt) EAN = FAN Suy : ∆ ANE = ∆ ANF (g – c - g) ⇒ AE = AF (2 cạnh tương ứng) b) - Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K 1đ 0,5đ 0,5đ - Xét ∆ BME ∆ CMK có : MB = MC (gt) · · (đối đỉnh) BME = CMK ·BEM = CKM · (so le trong) Suy ra: ∆ BME = ∆ CMK (g – c - g) ⇒ BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1) µ =F µ - Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: E µ µ µ =K µ (so le trong) Mà: F1 = F2 (đối đỉnh) E µ =K µ Suy ra: F ⇒ tam giác CFK cân tại C ⇒ CF = CK (2) Từ (1) (2) suy ra: BE = CF (đpcm) c) Ta có: AE = AB + BE AF = AC – FC Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC ⇒ AE = AB + AC (đpcm) Do vai trò x y nên giả sử x ≥ y ta có: 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5 1 1 < nên y > ≤ ≥ y ≥ nên x y x y 1 1 = + ≤ + = x y y y y => y ≥ ⇒ y ≤ 10 ⇒ ≤ y ≤ 10 Với y = => x = 30; y=7; 8; giá trị x không nguyên y = 10 => x = 10 Vậy giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = x = 10, y = 10 x = 6, y = 30 0,5đ 0,5đ 0,5đ ...ĐÁP ĐỀ 11 Câu Đáp án a) A = = 212.35 − 46.92 ( 3) + = 212.35 − 212.34 212.36 + 212.35 212.34 ( − 1)