DE 2 HSG TOAN 7

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN ĐỀ HSG TỐN NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 26/3/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (4,0 điểm) 13 19 � 23 �8  0,5   �  �:1 15 15 60 � 24 � 20 100 b) So sánh: 16 a) Tính: A = Bài (3,0 điểm) 1 a) Tìm x biết: x    2 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3n  4.3n  13.35 1 Bài (4,5 điểm) 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d a b b c c d d a    Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c a) Cho dãy tỉ số nhau: x y z t    với x, y, z, t số x  y  z x  y t y  z t x  z t tự nhiên khác Chứng minh M 10  1025 b) Cho biểu thức M  Bài (6,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, D điểm thuộc đoạn BM (D khác B M) Kẻ đường thẳng BH, CI vng góc với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng: � = ACM � a) BAM BH = AI b) Tam giác MHI vng cân 2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC điểm D tia phân giác góc HAB cắt cạnh BC E Chứng minh AB + AC = BC + DE Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 1 �x �1 , 1 �y �1 , 1 �z �1 Chứng minh đa thức x  y  z có giá trị khơng lớn -Hết Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài Nội dung 47 47 : 60 24 =  5 + Biến đổi: A   a) 2,0 đ =1 + Biến đổi: 1620  24.20  280 b) 2,0 đ + Có 280  2100 (1 < ; 80 < 100) Vậy 1620  2100 Bài 1  => x   2 a) 2,0 đ => x   x   1 + Ta có x   => x  x  Vậy x  x  + Biến đổi 3n.(31  4)  13.35 n b) 1,0 đ =>  => n = KL: Vậy n = Bài 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 a b c d a bc d a bcd a b c d a bc d    a b c d + Nếu a + b + c + d � a = b = c = d => Q = + +1 +1 = Điểm 4,0 đ 1,0 0,50 0,50 0,5 1,0 0,5 3,0 đ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 4,5 đ + Biến đổi: a) (2,5 đ) + Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - + KL : Vậy Q = a + b + c + d � Q = - a + b + c + d = 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ + Ta có: x x  x yz x y y y  x y t x y 0,1 z z  y zt zt b) (2,0 đ) t t  x zt zt M< ( x y z t  )(  ) xy xy zt zt 0,25 => M < 0,5 0,25 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025 Bài 0,25 1.a/ 2,75 đ 1.b/ 2,0 đ � � * Chứng minh: BAM ACM + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c) �  CAM �  450 + Lập luận được: BAM + Tính � ACM  450 � � => BAM ACM * Chứng minh: BH = AI � � � ) + Chỉ ra: BAH ACI (cùng phụ DAC + Chứng minh AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) => BH = AI (2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHI vuông cân + Chứng minh AM  BC + Chứng minh AM = MC � � + Chứng minh HAM  ICM + Chứng minh HAM = ICM (c-g-c) => HM = MI �  IMC � => HMB �  IMA � (do + Do HAM = ICM => HMA 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 (*) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ � AMB  � AMC  900 �  900 + Lập luận được: HMI (**) 0,25 0,25 Từ (*) (**) => MHI vuông cân A 0,25 2) 1,5đ B E H D C + Chứng minh : � �  HAD �  DAC �  BAE �  EAH �  HAD �  DAC �  EAC � AEC  � ABC  BAE � � ) (Vì B� HAC phụ với BAH Bài 2,0 đ Suy tam giác AEC cân C =>AC = CE + Tương tự chứng minh AB = BD + Từ (*) (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC +) Trong ba số x, y, z có hai số dấu Giả sử x; y �0 => z = - x - y �0 +) Vì 1 �x �1 , 1 �y �1 , 1 �z �1 = > x  y  z �x  y  z => x  y  z �x  y  z => x  y  z �2 z +) 1 �z �1 z �0 => x  y  z �2 KL: Vậy x  y  z �2 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 (*) (**) 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 ...https://nguyenthienhuongvp 77. violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài Nội dung 47 47 : 60 24 =  5 + Biến đổi: A   a) 2, 0 đ =1 + Biến đổi: 1 620  24 .20  28 0 b) 2, 0 đ + Có 28 0  21 00 (1 < ; 80 < 100) Vậy 1 620  21 00 Bài... ICM => HMA 0,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,75 0 ,25 (*) 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 https://nguyenthienhuongvp 77. violet.vn/ � AMB  � AMC  900 �  900 + Lập luận được: HMI (**) 0 ,25 0 ,25 Từ (*) (**)... M< ( x y z t  )(  ) xy xy zt zt 0 ,25 => M < 0,5 0 ,25 + Có M10 < 21 0 (Vì M > 0) mà 21 0 = 1 024 < 1 025 Vậy M10 < 1 025 Bài 0 ,25 1.a/ 2, 75 đ 1.b/ 2, 0 đ � � * Chứng minh: BAM ACM + Chứng minh