ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 12 LẦN 2 NĂM 2011

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG - NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I (5,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 0 ( , ) 1 ( 3)( ) x xy y x y x x xy y y   + + =    ∈   + + = −     ℝ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực 2 2 1 1 12 x y xy m x y xy   − + − = −     + + =    Câu II (5,0 điểm) 1. Tính tổng 0 2 1 ; 1.2 2.3 .( 1) ( 1)( 2) n n n n n n C C C C S n n n n n − = + + + + ∈ + + + ℕ . 2. Cho dãy số thực ( ) n u xác định bởi 1 1 2 u = ; 2 1 4 ,( 1, ) 2 n n n n u u u u n n + + + = ≥ ∈ ℕ . Đặt 2 1 1 n n i i v u = = ∑ . Chứng minh dãy số ( ) n v có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Câu III (5,0 điểm) 1. Cho hàm số f thoả mãn ( ) ( ) 2 ( ) ( 1)( 1) 0 , f x f y f xy x y x y − + − − = ∀ ∈ ℝ . Chứng minh phương trình 2 ( ) 1 ( 1) x e f x x = + + có nghiệm duy nhất trên khoảng 1 ;1 2             . 2. Cho , , 0 a b c > thoả mãn 1 abc = . Chứng minh rằng ( )( )( ) 4( 1) a b b c c a a b c + + + ≥ + + − . Câu IV (5,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ , Oxy cho điểm (1;2) A . Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ không âm, lấy điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm, thoả mãn tam giác ABC vuông tại A . Xác định toạ độ điểm , B C sao cho a. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. b. OB OC + đạt giá trị lớn nhất. 2. Cho hình chóp . S ABC có , , SA a SB b SC c = = = ,    0 0 0 60 , 90 , 120 ASB BSC CSA = = = . a. Tính thể tích khối chóp . S ABC theo , , a b c . b. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và . BC Hết . HỨA KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG - NĂM HỌC 20 11 - 2 0 12 Môn thi: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I (5,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 0 ( ,. −     ℝ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực 2 2 1 1 12 x y xy m x y xy   − + − = −     + + =    Câu II (5,0 điểm) 1. Tính tổng 0 2 1 ; 1 .2 2.3. 1) ( 1)( 2) n n n n n n C C C C S n n n n n − = + + + + ∈ + + + ℕ . 2. Cho dãy số thực ( ) n u xác định bởi 1 1 2 u = ; 2 1 4 ,( 1, ) 2 n n n n u u u u n n + + + = ≥ ∈ ℕ . Đặt 2 1 1 n n i i v u = = ∑ .