PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức � � 1� 7� 4 � A = 3,5 : � +7,5 2.84.27 4.69 b) Rút gọn biểu thức B= 7 40.94 2 c) Tìm đa thức M biết : M x xy x xy y Tính giá trị M x, y thỏa mãn x 5 Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 2018 y 4 2020 �0 15 x x 12 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 a) c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210;12 x y z t y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x chøng minh r»ng biÓu thøc P z t t x x y y z b) Cho nguyên có giá trị 3 3 c) Cho a,b,c,d �Z thỏa mãn a b c 8d Chứng minh a + b + c + d chia hết cho Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H �BC Biết HBE = 50o ; MEB = 25o Tính HEM BME Câu (1,0 điểm): Cho B = 15 24 2499 Chứng tỏ B số nguyên 16 25 2500 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn - Lớp Câu Nội dung 1� �7 � � 25 15 � 15 � 4 � �+ a) A = 3,5 : � +7,5 = � �: � � 7� �3 � � � 35 85 15 35 42 15 49 15 157 : = = + = 42 85 17 34 2 = 23 33 22.29.39 213.36 211.39 2.84.27 4.69 b) B = 7 = = 27.40.94 27.27.37 27.23.5 32 214.37 210.38.5 = (4.0đ) 211.36. 22 33 3.5 10 = 2 0.5 1.0 0.5 2 2 2 c) M x xy x xy y � M x xy y x xy � M x xy y x xy x 11xy y 2018 � x 5 �0 2018 2020 � x 3y 4 �0 Ta cã : � 2020 y � � � 2018 2020 2018 2020 y 4 �0 � x y 4 0 Mµ x � 2018 � �x 2 x � � �� � � Thay vào ta 2020 y � � y � � � � 25 110 16 1159 5 �- = M = + 11 .� = 36 �3� 2 15 6 � x x a) x x 12 5 13 49 13 130 , Vậy 130 � ( )x � x � x x 14 20 14 343 343 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 2 (4.0đ) Điểm 0.5 1� 1 1 1 � 49 � � � 2� 3 5 2x 2x � 99 1� � 49 98 1 � � 1 �1 � � � 2x � 99 2x 99 2x 99 � 2x + = 99 � 2x = 98 � x = 49 Vậy x = 49 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5đ 0.5đ 0.25 0.75 0.5 c) 2xy – x – y = � 4xy - 2x - 2y = � 2x(2y - 1) - 2y +1 = � (2y -1) ( 2x -1) = HS xét trường hợp tìm ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2 0.75 Vậy ( x,y) = 0.75 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2 a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12 Ta có ( x + y).35 = ( x - y) 210 = 12 xy 0,5 Từ ( x + y).35 = ( x - y) 210 � 0,5 x y x y x y x y 2x 2y � 210 35 210 35 245 175 x y y thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12 xy ta �x � y2- 5y = � y(y – 5) = � y � 0;5 mà y > nên y = Với y = x = � b) (6.0đ) 0,5 0,5 x y z t � y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t y zt zt x t x y x y z 1 1 1 1 � x y z t x y z t z t x y t x y z x y z t � x y z t 0,75 0,5 Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t �0 x = y = z = t � P = Vậy P nguyên 0,75 0.75 0.5 0.75 (5,0đ) Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I M B C H K E a) X a) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) � � (đối đỉnh ) AMC = EMB BM = MC (gt ) � AMC = EMB (c.g.c ) � AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) � � Vì AMC = EMB � MAC = MEB nà góc vị trí so le Suy AC // BE b) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) � = MEK � ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) � Nên AMI EMK ( c.g.c ) � � AMI = EMK � = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) Mà � AMI + IME � � = 180o � Ba điểm I;M;K thẳng hàng � EMK + IME � = 90o ) có HBE � c) Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o � � � � � = 90o - HBE = 90o - 50o = 40o � HEM = HEB - MEB = 40o - 25o =15o � HBE � góc ngồi đỉnh M HEM BME + MHE � = HEM � � =15o + 90o = 105o � BME 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 15 24 2499 16 25 2500 15 24 2499 � � B= 49 � � 16 25 2500 � � � �1 1 B= 49 - � �= 49 - M 50 � �2 � �1 1 Trong M = � � 50 � �2 b) Ta có: B = (1,0đ) Áp dụng tính chất 0.5 Ta có: M< =1- 0.5 M> >0 Từ suy 0< M