Phòng giáo dục & đào tạo Huyện HONG HểA đề thi CHỌN häc sinh giái líp thcs cÊp hun năm học: 2016 - 2017 Trng THCS Hong Ph Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 21/ 02/ 2017 §Ị chÝnh thøc (§Ị thi gåm cã 01 trang) Câu 1( điểm): a) Thc hin phộp tính: A = 212.35 − 46.92 ( 22.3) + 84.35 − 510.73 − 252.492 ( 125.7 ) + 59.143 1 1 1 − + + n−2 − n + + 98 − 100 < 7 7 7 50 2 2 2 c) TÝnh: B = + + + + +.+ 98 d) Cho p số nguyên tè lín h¬n chøng minh r»ng: p - chia hÕt cho 24 b) Chøng minh r»ng : Câu 2( điểm):a) Tỡm x bit x + = ( −3,2 ) + 5 m3 + 3m + 2m + b) Cho C = với m ∈ N Chứng minh C số hữu tỉ m(m + 1)(m + 2) + c) Cho M = (x - 1)(x + 2)(3 - x) Tìm x để M < C©u (4 ®iĨm): a) Cho a c a2 + c2 a = chứng minh rằng: = c b b + c2 b b) Tìm giá trị nguyên x y biết: x2 – y2 = C©u (6 điểm): à Cho tam giác ABC có BAC = 750 , ÃABC = 350 Phân giác góc à cắt cạnh BC D Đờng thẳng qua A vuông góc với AD cắt BAC tia BC E Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Tam giác ACM tam giác cân b) AB < AD + AE c) Chu vi tam giác ABC độ dài đoạn thẳng BE Câu (2 điểm): a) Tìm số có ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lƯ víi ba sè 1, vµ b).Cho f(x)= 3x2 - 2x -1 Tìm x để f(x) = -HÕt - Híng dÉn chấm Câ u Câ u1 4đ ý a (2 đ) Tóm tắt lời giải 212.35 46.92 212.35 212.34 510.73 − 54.74 A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + ( 125.7) + 14 + + §iĨ m 510.73 − 252.492 0.5 6 212.34.( − 1) ( − ) 212.34.2 ( − ) 56 − = 12 − = − = − ( + 1) 59.73.( + 23 ) 212.35.4 59.73.9 55.3 − 2(56 − 7) 2429 = = 2.55.9 6250 b (2 đ) Đặt A= 0.5 1 1 1 − + + n−2 − n + + 98 − 100 7 7 7 0.5 1 1 0.5 + + − + + − 72 n−4 n−2 796 798 1 ⇒ 50 A = − 100 < ⇒ A < (®pcm) 50 : B = 12+ 22 + 32 + 42 + 52 +……….+ 982 = 1,0 (1.2+2.3+3.4+ 98.99) – (1+2+3+4+ 97+98) = 318549 P2-1=(p-1)(p+1) 1,0 Vì p >3 nên p lẻ => (p-1)(p+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho * Ta có (p-1)p(p+1)là tích số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho hai số (p-1);(p+1) phải có số chia hết cho (**) Vì (8;3) = => P2-1 chia hết cho 24 Ta cã: 49A=1 − C d C© u2 4® a (1 ®) 4 −16 x − + = ( −3, ) + ⇔x − + = + 5 5 14 ⇔x − + = 5 x−1=2 ⇔x − =2 ⇔ x− =−2 b) c C© u3 a) 1.5 x=7 ⇔ x =− Sư dơng PP chøng minh P/S tèi gi¶n c¶ tư mẫu có ƯCLN Cú T/H xy Từ a c = suy c = a.b c b 0.5 0.5 1.0 1,0 1.0 4đ b) Câ u4 6® a (a + b) a a + c a + a.b = = = 2 b ( a + b ) b b +c b + a.b ® Tách : x2 – y2 = (x+y)(x-y) =5 tìm giá trị nguyên a) 2.0 ® A B 350 D C M E b) 2.0 ® 75 · · Ta cã: BAD = CAD = = 37030' ⇒ ·ADM = ·ABD + BAD · = 72030' ( Gãc ngoµi cđa tam giác ABD ); Tam giác DAE vuông có AM trung tuyến nên MAD cân M , ·AMD = 1800 − 2.·ADM = 1800 − 1450 = 350 (1) Trong tam giác ABC ta lại có: à BAC = 750 , ·ABC = 350 ⇒ ·ACB = 700 · ⇒ CAM = ·ACB − ·AMC = 350 (2) Từ (1) (2) suy rat tam giác ACM c©n Theo ý a, ta cã: ·ABM = ·AMB = 350 AB = AM (3) Mặt khác: AM = DE (Trung tun thc c¹nh hun cđa tam giác vuông) mà DE < AD + AE AM < AD + AE (4) c) 2.0 đ Câ u5 2đ AD + AE Từ (3) (4) AB < (®pcm) Ta cã: AC = CM (∆ ACM c©n), MA = ME (∆AME c©n) AM = AB (ABM cân) Do đó: BE = BC + CA + AB 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 Gọi ba chữ số phải tìm a, b, c ; số chia hết cho 18 nên chia hÕt cho ⇒ a + b + cM L¹i cã: ≤ a + b + c ≤ 27 Suy ra: a + b + c nhËn ba giá trị 9, 18, 27 0.5 (3) Theo bµi ra, ta cã: a b c a+b+c = = = mà a N nên a+b+c ∈ N (4) Tõ (3) vµ (4) ⇒ a + b + c = 18 a b c VËy = = = Tõ ®ã ta cã a = 3, b = 6, c = Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số cần tìm là: 396 936 0.5 0.5 0.5 ... 212 .35 46.92 212 .35 − 212 .34 510. 73 − 54 .74 A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + ( 125 .7) + 14 + + §iĨ m 510. 73 − 252.492 0.5 6 212 .34 .( − 1) ( − ) 212 .34 .2 ( − ) 56 − = 12 − = − = − ( + 1) 59. 73 . ( + 23. .. 59. 73 . ( + 23 ) 212 .35 .4 59. 73 . 9 55 .3 − 2(56 − 7) 2429 = = − 2.55.9 6250 b (2 đ) Đặt A= 0.5 1 1 1 − + + n−2 − n + + 98 − 100 7 7 7 0.5 1 1 0.5 + + − + + − 72 n−4 n−2 79 6 79 8 1 ⇒ 50 A = − 100... A = − 100 < ⇒ A < (®pcm) 50 : B = 12+ 22 + 32 + 42 + 52 +……….+ 982 = 1,0 (1.2+2 .3+ 3.4+ 98.99) – (1+2 +3+ 4+ 97+ 98) = 31 8549 P2-1=(p-1)(p+1) 1,0 Vì p >3 nên p lẻ => (p-1)(p+1) tích hai số chẵn nên