Đề thi HSG Toán 9 - 3

TRƯờNG THCS GIA KHáNH THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2009 2010 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) I. Trắc nghiệm: Cõu 1: Mt hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy l 7 cm, gúc ti nh to bi ng cao v ng sinh ca hỡnh nún l 30 O . Din tớch xung quanh ca hỡnh nún l: A. 22 147 cm 2 B. 308 cm 2 C. 426 cm 2 D. Tt c u sai Cõu 2: Din tớch ton phn ca mt hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy 7 cm ng sinh di 10 cm v l: A. 220 cm 2 B. 264 cm 2 C. 308 cm 2 D. 374 cm 2 ( Chn 22 7 = , lm trũn n hng n v ) Câu 3: Chân một đống cát là một hình tròn có có chu vi 12m . Đống cát đó che phủ một diện tích là: A. 2 ( ) 6 m B. 2 12 ( )m C. 2 24 ( )m D. 2 36 ( )m Câu 4: Độ dài một cung tròn 60 0 là 2 3 cm . Bán kính của cung tròn đó là : A. 1,5 cm B. 2cm C. 2,5 cm D. 3cm Câu 5: Một hình quạt có diện tích là 3 2 cm 2 , độ dài cung của hình quạt là cm. Bán kính của hình quạt là : A. 2cm B. 3cm C. 4 cm D. 5 cm Câu 6: Hệ phơng trình 2(2 ) 3(1 ) 2 3(2 ) 2(1 ) 3 x y x y + = + + = có nghiệm là : A. (- 1; 1) B. (- 1; - 1) C. (1; - 1) D.(1; 1) Câu 7: Hệ phơng trình 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 1 1 x y x y + = + = + có nghiệm là : A. 6 2 ; 7 3 ữ B. 6 2 ; 7 3 ữ C. 6 2 ; 7 3 ữ D. 6 2 ; 7 3 ữ Câu 8: Hệ phơng trình 1 2 6 1 3 4 x y x y + + = = có các nghiệm là : A.(3; 2) , (1; 2) B. (3; -2), (-1; 2) C.(3; 2), (-1; 2) D.(-3; 2), (-1; 2) Câu 9: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x 2 và đờng thẳng y = x + m . Đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt khi m nhận giá trị thoả mãn : A. 1 4 m > B. 1 4 m > C. 1 4 m < D. 1 4 m < Câu 10: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x 2 và đờng thẳng y = - x + 2 . Toạ độ giao điểm của hai đồ thị là : A. (1; 1) và ( - 2; 4) B. (1; - 1) và (2; 4) C. (-1; 1) và (2; - 4) D. ( -1; -1) và ( - 2; - 4) II. Tự luận: Câu 1: Cho sô tự nhiên N=2009 2008 . Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n 1 n 2 n 3 n k ; S= 33 3 3 2 3 1 k nnnn ++++ . Tìm số d của S cho 6. Câu 2: Cho x, y thỏa mãn 2009)2009)(2009( 22 =++++ yyxx Tính: T=x 2009 +y 2009 Câu 3: Giải phơng trình: 0323 4 42 =++ xxx Câu 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn lấy điểm D khác A và B. Trên đờng kính AB lấy điểm C và kẻ CH AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đ- ờng tròn tại E và cắt CH tại F. Đờng thẳng DF cắt đờng tròn ở N. CMR: a. 3 điểm N,C,E thảng hàng b. Nếu AD=BC thì DN đi qua trung điểm của AC Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c. CMR: abcbabaca a c c b b a ++++ 333 HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII MễN TON - LP 9, NM HC 2009- 2010 Câu Nội dung Thang điểm 1 (2 điểm) Ta thấy: a 3 -a=a(a-1)(a+1) 6 (a *N ) S-N=( 33 3 3 2 3 1 k nnnn ++++ )-(n 1 +n 2 + +n k ) S-N= )( )()( 3 2 3 21 3 1 kk nnnnnn +++ 6 2009 chia 6 d 5 2009 2 chia 6 d 1 (2009 2 ) 1004 chia 6 d 1 2009 2008 chia 6 d 1 Vì S-N 6 và N chia 6 d 1 S chia 6 d 1 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 2 (2 điểm) Nhận xét 2009)2009)(2009( 22 =+++ xxxx 2009)2009)(2009( 22 =+++ yyyy mà 2009)2009)(2009( 2 =++++ yyxx +=++ +=++ yyxx xxyy 22 22 20092009 20092009 Cộng theo vế. Ta có: x+y=-(x+y) x+y=0 y=-x T=x 2009 +y 2009 =x 2009 +(-x) 2009 =0 Vậy T=0 0.5 0.5 0.5 0.5 3 (2 điểm) Có nhiều cách làm. Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 2 4 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 3 2 3 0 2 3 3 2 ( 3 3) ( 3 3) 2 x x x x x x x x x x x x + + = = + = + + + = áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có: 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 4 1 1 1 ( 3 3) ( 3 3) ( 3 3 ) 2 2 2 1 1 ( 1) 2 .2 2 8 8 x x x x x x x x x x + + + + + + = + = Phơng trình thỏa mãn khi và chỉ khi x=1 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 4 (3 điểm) a. Ta có: ã ã DNE EAD= (góc nội tiếp chắn ằ ED ) mà ã ã EAB EAD= vì AE là phân giác của ã DAB ã ã DNE EAB = (1) mặt khác ã 90 o ADB = nên BD AD mà CH AD (giả thiết) CH P BD ã ã DBA HCA = (đồng vị) nhng ã ã ABD AND= ã ã DNA HCA = Tứ giác AFCN nội tiếp đờng tròn nên ã ã FAC FNC= hay ã ã EAB DNC= (2) Từ (1) và (2) ã ã DNE DNC = b. Từ C kẻ tia song song với DA cắt đờng thẳng DN ở M Ta có: ã ã MCA CAD= mặt khác ã ã DAB DNB = nên ã ã MNB ACM = mà ã ã 0 180ACM MCB+ = suy ra: ã ã 0 180MCB MNB+ = Tứ giác MNBC nội tiếp đờng tròn ã ã CMB CNB = (góc nội tiếp cùng chắn ằ BC ) mặt khác ã ã CNB CNM= suy ra ã ã CMB CBM= CBM cân tại C CB=CM Ta lại có CB=AD Do đó AD=CM Tứ giác ADCM là hình bình hành DN đi qua trung điểm AC 5 (1 điểm) áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dơng. Ta có: bccab a c abbca c b acabc b a cac a c bbc c b aab b a 2;2;2 2;2;2 333 2 3 2 3 2 3 +++ +++ Cộng theo vế 6 bất đẳng thức trên. Ta có: abcbabacacbaacbcab a c c b b a ++++++++++ 222 333 (1) Lại có: 2 2 2 a b c ab bc ac+ + + + (học sinh phải chứng minh) (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta đợc: abcbabaca a c c b b a ++++ 333 (Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) 0.25 0.25 0.5 0.25 O A B D C H E F N M . CMR: abcbabaca a c c b b a ++++ 33 3 HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII MễN TON - LP 9, NM HC 20 0 9- 2010 Câu Nội dung Thang điểm 1 (2 điểm) Ta thấy: a 3 -a=a(a-1)(a+1) 6 (a *N ) S-N=( 33 3 3 2 3 1 k nnnn ++++ )-( n 1 +n 2 +. 20 09) 20 09) (20 09( 22 =+++ xxxx 20 09) 20 09) (20 09( 22 =+++ yyyy mà 20 09) 20 09) (20 09( 2 =++++ yyxx +=++ +=++ yyxx xxyy 22 22 20 092 0 09 20 092 0 09 Cộng theo vế. Ta có: x+y =-( x+y) x+y=0 y=-x T=x 20 09 +y 20 09 =x 20 09 +(-x) 20 09 =0 Vậy. n 2 n 3 n k ; S= 33 3 3 2 3 1 k nnnn ++++ . Tìm số d của S cho 6. Câu 2: Cho x, y thỏa mãn 20 09) 20 09) (20 09( 22 =++++ yyxx Tính: T=x 20 09 +y 20 09 Câu 3: Giải phơng trình: 032 3 4 42 =++