UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20 - 20 Đề thức Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n ∈ N Bài (4 điểm): 2012 2013 + x−3 ≤0 a) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn: ( x − y + ) b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: + + + + n = aaa Bài (4 điểm): Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh 1 số học sinh lớp 7A2 số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K lớp 7A1, Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC có Aˆ = 3Bˆ = 6Cˆ a) Tính số đo góc tam giác ABC b) Kẻ AD vng góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD (Chưa học đên) Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh rằng: KC ⊥ AC Ghi chú: Thí sinh khơng phép sử dụng loại máy tính cầm tay HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 – 20 Bài 39 điểm Đáp án Điểm 91 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 2,0đ a) So sánh hai số: (– 5) (– 2) Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 Ta thấy: 12513 < 12813 ⇒ – 12513 > – 12813 ⇒ (– 5)39 > (– 2)91 b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n ∈ N Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n M133 (144n – 11n) M(144 – 11) = 133 ⇒ 12.(144n – 11n) M133 Do suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n ∈ N a) Tìm tất cặp số (x; y): Ta có: 2012 số tự nhiên chẵn ⇒ (2x – y + 7)2012 ≥ 2013 ≥0 x − ≥ ⇒ x − Do đó, từ ( x − y + ) 2012 + x−3 2013 ≤0 2013 điểm điểm =0 suy ra: (2x – y + 7)2012 = x − ⇒ 2x – y + = (1) x – = (2) Từ (2) ⇒ x = Từ (1) ⇒ y = 2x + = 2.3 + = 13 Vậy cặp số (x; y) cần tìm (3; 13) b) Tìm số tự nhiên n chữ số a n ( n +1) Ta có: + + + + n = aaa = a.111 = a.3.37 Do đó, từ + + + + n = aaa ⇒ n ( n +1) = 2.3.37.a ⇒ n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 ⇒ n n + chia hết cho 37 (1) n ( n + 1) Mặt khác: = aaa ≤ 999 ⇒ n(n + 1) ≤ 1998 ⇒ n < 45 (2) Từ (1) (2) suy n = 37, n + = 37 37.38 = 703 (khơng thỏa) - Với n = 37 aaa = 36.37 = 666 (thỏa mãn) - Với n + = 37 aaa = Vậy n = 36 a = Tính tổng số học sinh lớp trường K Gọi tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 a, b, c (a,b,c ∈ N*) 1 Theo ta có : a − a = b − b = c − c (*) a + b + c =147 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c ⇒ ⇒ = = = = = = Từ (*) ⇒ 18 16 15 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có : a b c a +b+c 147 = = = = = 18 16 15 18 + 16 + 15 49 Suy : a = 54, b = 48, c = 45 1,0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Vậy tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 54, 48 45 a) Tính số đo góc ∆ ABC: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ + Bˆ + Cˆ 1800 Từ Aˆ = 3Bˆ = 6Cˆ ⇒ = = = = = 200 6 + +1 0 ˆ ⇒ A = 6.20 = 120 Bˆ = 2.200 = 400 4 điểm 2,0đ 1,0đ Cˆ = 1.200 = 200 Vậy: Aˆ = 1200 ; Bˆ = 400 ; Cˆ = 200 1,0đ b) Chứng minh AD < BD < CD - Trong ∆ ACD có ˆ = 900 ; Cˆ = 200 ⇒ Aˆ = 700 ADC ⇒ Aˆ = 500 2,0đ 1,0đ - Xét ∆ ADB có Bˆ = 400 < Aˆ1 = 500 ⇒ AD < BD (1) - Xét ∆ ABC có Bˆ = 400 > Cˆ = 200 ⇒ AB < AC ⇒ AB < AC (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB ADC có: AB2 = AD2 + BD2 AC2 = AD2 + CD2 Do đó, từ (*) ⇒ AD2 + BD2 < AD2 + CD2 ⇒ BD2 < CD2 ⇒ BD < CD (2) Từ (1) (2) ⇒ AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ∆ ABC cân A ⇒ AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB ⇒ BM = CN điểm b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN Qua M kẽ ME // AC (E ∈ BC) ∆ ABC cân A ⇒ ∆ BME cân M ⇒ EM = BM = CN ⇒ ∆ MEI = ∆ NCI (g-c-g) ⇒ IM = IN Vậy: BC qua trung điểm MN c) Chứng minh rằng: KC ⊥ AN + K thuộc đường trung trực MN ⇒ KM = KN (1) ˆ (*) ˆ = ACK + ∆ ABK = ∆ ACK (c-g-c) ⇒ KB = KC (2); ABK + Kết câu c/m câu a) BM = CN (3) ˆ (**) ˆ = NCK + Từ (1), (2) (3) ⇒ ∆ BMK = ∆ CNK (c-c-c) ⇒ ABK ˆ = NCK ˆ = 180 = 900 ⇒ KC ⊥ AN + Từ (*) (**) ⇒ ACK * Ghi chú: Mọi cách giải khác mà phù hợp ghi điểm tối đa 1,0đ 1,0đ 1,5đ 0,75đ 0,75đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... + 12 .14 4n = (13 3 – 12 ) .11 n + 12 .14 4n = 13 3 .11 n – 12 .11 n + 12 .14 4n = 13 3 .11 n + 12 . (14 4n – 11 n) Ta thấy: 13 3 .11 n M133 (14 4n – 11 n) M (14 4 – 11 ) = 13 3 ⇒ 12 . (14 4n – 11 n) M133 Do suy ra: 13 3 .11 n + 12 . (14 4n... 12 813 Ta thấy: 12 513 < 12 813 ⇒ – 12 513 > – 12 813 ⇒ (– 5)39 > (– 2) 91 b) Chứng minh: Số A = 11 n+2 + 12 2n +1 chia hết cho 13 3, với n ∈ N Ta có: A = 11 n+2 + 12 2n +1 = 11 2 .11 n + 12 . (12 2)n = 12 1 .11 n... +b+c 14 7 = = = = = 18 16 15 18 + 16 + 15 49 Suy : a = 54, b = 48, c = 45 1, 0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4,0đ 1, 0đ 1, 0đ 1, 0đ 1, 0đ Vậy tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3