Đề thi on sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2008 2009 Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Tính giá trị biểu thức: P = 23 625)625( + + b/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dơng thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có: ca cbba + = + + + 211 Câu 2 (1,5 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2 4 2 1 x x x+ + Câu 3 (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x 9 + x 99 a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dơng b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100 c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 đợc không ? Tại sao ? Câu 4 (3 điểm) Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c. Chứng minh rằng ph- ơng trình a 2 x 2 + (a 2 + b 2 - c 2 )x + b 2 = 0 luôn luôn vô nghiệm. Đáp án on chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Câu 1 a/ P = 123)23)(23( 23 2 )23( 2 )23( ==+= + + (1/2 điểm) (1/2 điểm) b/ Ta có: VT = cb cb ba ba + (*) (1/4 điểm) Từ a + c = 2b => a = 2b c thay vào (*) ta có (1/4 điểm) VT = cb ca cb cbba cb cb bcb ba = + = + 2 (**) (1/4 điểm) Thay b = 2 ca + vào (**) ta có VT = = + = = + caca ca cca ca 2)(2 2 2 VP (Đpcm) (1/4 điểm) Câu 2 a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 <=> 4x 2 + 8x + 4 = 42 - 6y 2 <=> (2x + 2) 2 = 6(7 - y 2 ) (1/4 điểm) Vì (2x + 2) 2 0 => 7 - y 2 0 => 7 y 2 mà y Z => y = 2;1;0 (1/4 điểm) + Với y = 1 => (2x + 2) 2 = 6(7 - 1) <=> 2x 2 + 4x - 16 = 0 => x 1 = 4; x 2 = -2. + Với y = 2 =>2x 2 + 4x - 7 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = 0 =>2x 2 + 4x - 19 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). b/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta đợc: M = 1 2 1 2 1 ++ x x (1/2 điểm) M đạt giá trị lớn nhất khi 2 1 2 x x + nhỏ nhất => 2 1 2 x x + = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1 / 3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x) = (x 3 ) 3 + (x 33 ) 3 = (x 3 + x 33 )( x 6 x 36 + x 66 ) = (x + x 11 )(x 2 x 12 + x 22 )( x 6 x 36 + x 66 ) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn thì x 9 , x 99 đều chẵn x lẻ thì x 9 , x 99 đều lẻ => x 9 + x 99 đều chẵn với mọi x nguyên dơng (1/4 điểm) b/ Ta có x 11 = 2048 nên x + x 11 = 2050 (1/4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) c/ Ta có N = P(4) = 4 9 + 4 99 = (2 9 ) 2 + (2 99 ) 2 = (2 9 + 2 99 ) 2 2 . 2 9 . 2 99 (1/4 điểm) Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu của chữ số hàng đơn vị khác 0 Vậy chữ số đơn vị của N khác 0. Câu 4 - Dựng A đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B đối xứng với M qua Oy - Nối AB cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm) => AM = AA (A Ox trung trực của AM) x y O M A' B' A B BM = BB’ (B ∈ Oy trung trùc cña B’M) (1/2 ®iÓm) => P (AMB) = AA’ + AB + BB’ nhá nhÊt (v× A’, A, B, B’ th¼ng hµng) C©u 5 TÝnh biÖt sè ∆ = [(a – b) 2 – c 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] (1/2 ®iÓm) V× a + b > c > 0 vµ 0 < | a – b| < c nªn (a – b) 2 < c 2 => (a – b) 2 – c 2 < 0 vµ (a + b) 2 > c 2 => (a + b) 2 – c 2 > 0 Do vËy ∆ < 0 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (1/2 ®iÓm) . (x + x 11 )(x 2 x 12 + x 22 )( x 6 x 36 + x 66 ) (1/ 4 điểm) a/ Với x chẵn thì x 9 , x 99 đều chẵn x lẻ thì x 9 , x 99 đều lẻ => x 9 + x 99 đều chẵn với mọi x nguyên dơng (1/ 4 điểm) b/. có x 11 = 2048 nên x + x 11 = 2050 (1/ 4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 410 0 Vậy P(2) chia hết cho 10 0 (1/ 4 điểm) c/ Ta có N = P(4) = 4 9 + 4 99 = (2 9 ) 2 . x 2 ta đợc: M = 1 2 1 2 1 ++ x x (1/ 2 điểm) M đạt giá trị lớn nhất khi 2 1 2 x x + nhỏ nhất => 2 1 2 x x + = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1 / 3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x)