Bài soạn Đề thi học sinh giỏi (HSG) toán 9 Tỉnh Hòa Bình

Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Năm học 2007 - 2008 Đề chính thức Môn thi: TOáN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: ngày 28 tháng 3 năm 2008 (Đề bài gồm có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phơng trình sau: 1. 0)1( 22 =++ yx 2. 032)1( 5 =+ x Câu 2 (4,0 điểm): Cho biểu thức A 2 2 : 2510 25 223 2 + = yy y xxx x 1. Rút gọn A. 2. Tính giá trị của biểu thức A biết rằng 096692 22 =++ xxyyx Câu 3 (2,0 điểm): 1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng p = 6 1m , với m là số tự nhiên. 2. Tìm số nguyên tố p sao cho 18 2 + p là số nguyên tố. Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình thang cân ABCD, gọi M, N, K lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng thẳng AB, AC, BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng. Câu 5 (3,0 điểm): 1. Giải phơng trình 3 2 3 3 3 1 0x x x = 2. Giải hệ phơng trình 3 2 3 2 3 2 1 0 3 1 0 3 1 0 3 x y y y z z z x x = = = Câu 6 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O); các đờng cao AH, BE, CF cắt (O) tại M, N, K. 1. Gọi T là trực tâm tam giác ABC, chứng minh rằng T và M đối xứng nhau qua đ- ờng thẳng BC. 2. Tính CF CK BE BN AH AM ++ Câu 7 (2,0 điểm): Tìm nghiệm x, y, z nguyên dơng của phơng trình x+y+z -1 = xyz .Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Phòng thi số Giám thị 1 Giám thị 2 Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS N¨m häc 2007-2008 híng dÉn chÊm m«n TO¸N K A Câu ý Nội dung Điểm 1 1. 2. 0)1( 22 =++ yx = = 0 1 y x 032)1( 5 =+ x 55 2)1( =+ x 1 = x 1 đ 1 đ 2 1. 2. - Kết quả rút gọn A= . )5( )1)(5( ++ xx yx - Giả thiết 0)3()3( 22 =+ xxy = = 1 3 y x thay vào 3 8 = A 2 đ 1 đ 1 đ 3 1. 2. - Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên + + mp mp mp 6 26 36 , từ đó += += 16 56 mp mp hay p = 6 1m - Xét p>3 thay p = 6 1m vào biểu thức A= 18 2 + p thấy 33 A < (loại) thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận) p=2, A=33 (loại). 1 đ 1 đ 4 - Chứng minh ã ã MND BCD= , ã ã DNK DCK= từ đó ã ã 2MND DNK v+ = , suy ra M, N, K thẳng hàng. Chú ý: Học sinh sử dụng đờng thẳng Sim sơn không đợc tính điểm. 1 đ 1 đ 1 đ 5 Câu 1. 2. ý Biến đổi chuyển về 33 )1(4 += xx 14 1 3 = x - Lập luận x, y, z >0, thật vậy từ pt (1): 0 12 1 ) 2 1 ( 3 1 223 >++=++= yyyx Giả sử yx 2 1 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( 22 ++++ zyzy (Vì y, z>0) từ đó zy , tơng tự xz từ đó x=y=z. Dẫn về giải hệ ++= == 3 1 23 xxx zyx 14 1 3 === zyx Nội dung 1,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Điểm 6 1 - Chứng minh đợc ã ã TCH HCM= . 1 đ N K M C A D B T F M H N E B C Chú ý: Mọi cách giải khác và đúng đợc điểm tơng đơng. . GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Năm học 2007 - 2008 Đề chính thức Môn thi: TOáN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) . thi số Giám thị 1 Giám thị 2 Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS N¨m häc 2007-2008 híng dÉn chÊm m«n TO¸N K A Câu