TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn Toán9 Thời gian làm bài 180 phút Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b c a b + − + − + − = = Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c + + + ÷ ÷ ÷ Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + + ≥ ÷ Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a b abc + ≥ 16 Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 AE AF AD + = Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB Hướng dẫn giải: Bài 1: Từ gt ta suy ra 2 2 2 a b c b c a c a b c a b + − + − + − + = + = + ⇒ a b c b c a c a b c a b + + + + + + = = Xét hai trường hợp */ Nếu a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c b + c = - a c + a = -b Khi đó P = 1 1 1 b c a a b c + + + ÷ ÷ ÷ = a b b c c a a b c + + + ÷ ÷ ÷ = ( )c a − . ( )a b − . ( )b c − = abc abc − = 1 Nếu a + b + c ≠ 0 ⇒ a = b = c ⇒ P = 2.2.2 = 8 Bài 2: Từ 1 1 1 2 a b c + + = ⇒ 2 1 1 1 4 a b c + + = ÷ ⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca + + + + + = ÷ ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc + + + + + = ÷ theo giả thiết a + b + c = abc ⇒ 1 a b c abc + + = ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c + + + = ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = (đpcm) Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x 2 + y 2 ≥ 2xy (1) y 2 + z 2 ≥ 2yz (2) z 2 + x 2 ≥ 2zx (3) Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2( xy + yz + zx ) ⇒ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz + zx ) ⇔ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 chia hai vế cho 9 ta được 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 9 x y z x y z+ + + + = ÷ Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y ≥ 2 xy ta có ( a + b) + c ≥ 2 ( )a b c+ ⇔ 1 ≥ 2 ( )a b c+ ⇔ 1 ≥ 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được: A + b ≥ 4(a + b) 2 c mà ta chứng minh được (a + b) 2 ≥ 4ab Do đó a + b ≥ 4(4ab)c hay a + b ≥ 16abc từ đây suy ra đpcm Bài 5: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g) ⇒ AE = AG Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có 2 2 2 1 1 1 AG AF AD + = do đó thay AG = AE ta được 2 2 2 1 1 1 AE AF AD + = (đpcm) Bài 6: Kẻ AM ⊥ AC M thuộc tia CI Chứng minh được ∆ AMI cân tại M ⇒ MI = AI = 2 5 Kẻ AH ⊥ MI ⇒ HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM 2 = MH.MC ⇒ (2 5 ) 2 = x.(2x + 3) ⇒ 2x 2 + 3x – 30 = 0 ⇔ ( 2x – 5)(x + 4) = 0 ⇒ x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC 2 = MC 2 – AM 2 = 8 2 – (2 5 ) 2 = 64 – 20 = 44 ⇒ AC = 44 = 2 11 cm ⇒ AB = 2 11 cm F E G D C B A I H M C B A . TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn Toán 9 Thời gian làm bài 180 phút Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: a b. + y + z ) 2 chia hai vế cho 9 ta được 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 9 x y z x y z+ + + + = ÷ Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x +