Tổng hợp đề ôn HSG toán 9

wWw.VipLam.Net Luyện thi HSG toán 9 Năm học : 2010 - 2011 Đề số 1 Câu 1: ( 4 điểm) Giải các phơng trình sau: a) b) . Câu 2: ( 4 điểm) a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= Câu 3: (4 điểm) a) Cho a = x + y; b = x 2 + y 2 ; c = x 3 + y 3 . C/m rằng: a 3 - 3ab +2c = 0. b) Cho 2 số x, y thoả mãn: 2x 2 +=4, (x 0).Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4: ( 6 điểm) Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH chia cạnh BC thành 2đoạn BH = 4cm và CH = 9cm. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC. Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N. a) Tính độ dài DE. b) C/m M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. c) C/m 2 BDH và BHA đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. d) Tính diện tích tứ giác DENM. Câu 5: (2 điểm) Cho ABC có góc ABC bằng 30 0 , góc BAC bằng 45 0 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính số đo góc AMC. Đề số 2: Câu 1: ( 4 điểm) Giải các phơng trình sau: 1) 2) Câu 2: ( 4 điểm) 1) C/mr nếu và a + b + c = abc thì 2/ Biết a, b là hai số thực dơng thoả mãn ĐK a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: Câu 3: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi n N * ta có: 1) 2) + + Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC . Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: 1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH. 2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG. 3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a, đờng cao AH. Gọi O là trung điểm của BC, D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC. Tìm giá trị lớn nhất của; 1) Độ dài DE. 2) Diện tích tứ giác ADHE. Đề số 3: 2 9 12 4 4x x + = 2 2 2 1 6 9 1x x x x + + + = 1 2 2 2 1 2 1x x x x+ + + + 2 2 1 4 y x + 2 1 1 2 1 1x x = 3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + + + = 1 1 1 2 a b c + + = 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = 2 1 1 2 2 a b a b b a + ữ ữ 1 1 1 ( 1). 1 1n n n n n n = + + + + 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 4 5 + + + + + + + 1 1 ( 1). 1n n n n < + + + wWw.VipLam.Net Câu 1: (4 điểm) Giải các PT sau: 1) b) Câu 2: (4 điểm) 1) Cho a + b > 1. C/m rằng: a 4 + b 4 > 2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Câu 3: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: 2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1. Câu 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB, ta kẻ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB . Lấy trên Ax một điểm C và trên By một điểm D sao cho: AC.BD = (*) và gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) C/m hệ thức CD 2 = OC 2 + OD 2 2) C/m ODC P AOC. 3) Tìm quỹ tích hình chiếu I của điểm O trên đoạn thẳng CD khi C và D di chuyển nhng (*) vẫn đợc thoả mãn. Câu 5: (2 điểm) Cho nhọn ABC , AB = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng: b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosB. Đề số 4: Câu1: (3 điểm) Trong hệ toạ độ xôych hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d 1 ) và y = - x + 2 (d 2 ). Gọi giao điểm của d 1 và d 2 là A, giao điểm của d 1 , d 2 với Ox lần lợt là B, C. 1) Tính diện tích tam giác ABC. 2) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 2: (4 điểm) Giải các phơng trình: 1/ x 4 + x 2 - 2 = 0 2/ Câu 3: (6 điểm) 1/ Cho a là số thực không âm. Chứng minh rằng: 2) C/mr nếu a, b là 2 số dơng thoả mãn ĐK a + b = 1 thì . 3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2ac + bc + cd. Trong đó a, b, c, d là những số thực thoả mãn ĐK: 4a 2 + b 2 = 2 và c + d = 4. Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC . Goi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: 1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH. 2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG. 3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng. Câu 3: (2 điểm) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC. Biết góc ASB bằng 60 0 , góc BSC bằng 90 0 , góc ACS bằng 120 0 và các cạnh SA = SB = SC = a. Đề 5. 2 3 3x+ + = 2 2 2 4 6x x+ = 1 8 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + 10 60 24 40 5 3 2+ + + = + + 2 4 AB 2 2 1 6 4 2 6 4 2x x + = + 3 6 2a a a a+ + + 2 2 1 1 6 ab a b + + wWw.VipLam.Net Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình: 1/ ; 2/ Câu 2: (4 điểm) 1/ Tìm a, b, c biết a, b, c là những số dơng và . 2/ Tìm a, b, c biết: a = ; b = ; c = Câu 3: (4 điểm) : 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn : a(a-1) + b(b-1) + c( c-1) . C/mr: - 1 . Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB và AC. Biết BH = 4cm, HC = 9cm. a) Tính độ dài AE. b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC c) Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH; N là trung điểm của CH. d) Tính diện tích tứ giác DENM. Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Hãy xác định trên cạnh AB điểm D, trên cạnh AC điểm E sao cho DE song song với BC và DE = DB + EC. Đề số 6: Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình: 1/ 2/ Câu 2: (4 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức: A = 2/ Tìm x, y biết: 5x 2 + 5y 2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 Câu 3: (4 điểm ) 1/ Chứng minh rằng: Nếu a > 0, b > 0 thì: (a + 2)(b + 2)(a + b) 2/ Chứng minh rằng với mọi a 2 thì Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông ở A, , BC = 10cm. a) Tính AB, AC. b) Từ A kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với các đờng phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh: MN//BC và MN = AB. c) Chứng minh: MAB đồng dạng với ABC. Tìm tỉ số đồng dạng. Câu 5: (3 điểm) Cho ABC có . Gọi D là trung điểm của AC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = CD. Tính tổng diện tích các ECD và ABD. Ngày 21/11/09: Đề số 7: (Thời gian làm bài 150 / ) Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình: 2 1 2 1 1 1 x x x x + = + 2 1 2 1 2x x x x + + = 2 2 2 1 1 1 32 1 2 8 a b c abc + + + = ữ ữ ữ 2 2 2 1 b b+ 2 2 2 1 c c+ 2 2 2 1 a a+ 2 2 2 2009x x x + 4 3 4a b c + + 2 1 1 2 1 1x x = 2 2 2 1 6 9 4x x x x+ + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + + + 16ab 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 a a a a a a a a + + < + + à 0 30C = à à 0 0 60 , 20 , 4B C BC cm= = = wWw.VipLam.Net a) b) Câu 2: (4 điểm) Tính các tổng sau: a) A = b) B =. Biết và (Trong đó: a; b; c; x; y; z là các số khác nhau và khác không) Câu 3: (5 điểm) 1) Trong hệ trục toạ độ xOy cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + 1 (d 1 ) và y = - x+2 (d 2 ). Gọi giao điểm của d 1 và d 2 là A, giao điểm của (d 1 ), (d 2 ) với Ox lần lợt là B, C. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Cho biểu thức: A = (với x) a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông ở A, AB = 9cm, AC = 12cm. a) Tính BC, b) Phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD; CD; c) Qua D kẻ DE AB, DF AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF. Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện tích bằng 100 cm 2 . Điểm D nằm trên cạnh huyền BC có khoảng cách đến 2 cạnh góc vuông là 4m và 8cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC. Đề 8: (Thời gian làm bài 150 / ) Câu 1: (2 điểm) Cho điểm A có toạ độ (x a ; y a ), điểm B có toạ độ (x b ; y b )thì độ dài đoạn thẳng AB = (1) Căn cứ vào (1) c/mr ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(2; 1+),C(3;1)là tam giác đều. Câu 2: (5 điểm) Giải các phơng trình: a) ; b) c) Câu 3: (5 điểm) 1) C/mr , từ đó suy ra:2004<1+<2005. 2) Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a) A= ; b) B = 1- Câu 4:( 5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, sin; AD = 42cm, kẻ CE BD và DF AC. a) AC cắt BD ở O, tính sin b) C/m tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích củ nó. c) Kẻ AG BD và BH AC, c/m tứ giác EFGH là hình chữ nhật và diện tích của nó. Câu 5: (3 điểm) Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất. Đề 9: (Thời gian làm bài 150 / ) Câu1:(4 điểm) Giải các phơng trình: a) b) 2 2 16 64 10x x x + + = 3 3 2 2 1 x x = 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2025 + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + 0 a b c x y z + + = 1 x y z a b c + + = 2 2 1 2 1 x x x x + + + + 1 à à ; ;B C ( ) ( ) 2 2 b a b a x x y y + 3 ( ) ( ) 3 1 9 1 2 1 2x x x x = + + 2 3 3x+ + = 2 2 2 4 6x x+ = 1 2 1 2 2 2 1n n n n n + < < 1 1 1 2 3 1006009 + + + 2 9 x 2 2 5x x + + ã 0,8DAC = ã .AOD 2 1 9 6 2 6x x x+ = + 4 12 9 27 4 3 3 0x x x x + + = wWw.VipLam.Net Câu 2: (3 điểm) Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. Câu 3: (6 điểm) 1) Cho x + y + z = 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 + z 2 . b) Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx 2) chứng minh rằng a, b, c > 0 thì: 3) Cho x, y, z là các số thực dơng, chứng minh rằng: Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB =12 cm, NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E và F. a) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng. b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác EFG. c) Chứng minh GEF đồng dạng với ABC. Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC. Hãy dựng một đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất. Đề 10: (Thời gian làm bài 150 / ) Câu1:(4 điểm) Giải các phơng trình: a) ; b) Câu 2: ( 6 điểm) 1) Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 9.Chứng minh rằng: 0 và 2) Cho a + b + c = 2 và a 2 + b 2 + c 2 = 2.Chứng minh rằng: và 3) Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn diều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của tích: A =abc. Câu 3:(5 điểm) Cho ABC có BC = a, . Về phía ngoài ABC vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm của các đờng chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P. a) Chứng minh: AEC = ABG; b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. c) Biết . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và . Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A. Các điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD =10 cm, AE = 15cm. Tính độ dài BC. Đề 11: (Thời gian làm bài 150 / ) Câu 1: (6 điểm) 1) Giải các phơng trình: 2 2 4 2 2 4 2 4 4 1 x x x x x x + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 x y z xy yz zx + + + + 2 49 98 14 9 18 8 49 x x x = + 2 1 2 1 2x x x x+ + = 4,a 0 4b 0 4c 4 4 0 ,0 3 3 a b 4 0 3 c 1 1 1 2 1 1 1a b c + + = + + + ã 0 45ABC = ã BGC = wWw.VipLam.Net a) b) 2) Giải hệ phơng trình: a) b) Câu 2: (3 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) ; b) cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Câu 3: (3 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức M = , biết: và 2) Cho 2 số dơng x, y có tổng x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = Câu 4: (6 điểm) Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó trên một đờng thẳng và AB = 4BC. Vẽ hai nửa đờng tròn tâm O và tâm O / đờng kính AB và BC trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC. Tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn có tiếp điểm với đờng tròn(O) ở F và nửa đờng tròn (O / ) ở G, tiếp tuyến này cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đờng tròn (O) và (O / ) theo thứ tự ở D và E. Tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn tại B cắt DE ở I. a) Chứng minh các tam giác ôI / ; DOI và IO / E là các tam giác vuông. b) Tính BI, EG và AD theo O / C = a (a là độ dài cho trớc) c) Tính diện tích tứ giác ACED theo a. Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân có AB =AC = 10cm. Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D AB, F AC, E BC). Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Phòng gd & đt thọ xuân đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010 Môn: toán lớp 9 (thời gian làm bài 150 phút) Câu I. (4,0 điểm). Giải các phơng trình sau: 1/ x 6 - 9x 3 + 8 = 0 2/ Câu II. (4,5 điểm). 1/ Tìm các số dơng a, b, c biết abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6 2/ Giải hệ phơng trình: Câu III. (4,5 điểm). 1/ Chứng minh rằng: 2/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Câu IV. (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, HB = 20cm, HC = 45cm. Vẽ đờng ( ) ( ) 2 2 3 3 26x x x + = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0x x x x+ + + + = 1 3 2 2 2 1 5 2 15 x y x y + = + + = 4 3 9 7 3 2 37 x y z x y z = = + = 3 a b c b c a a c b a b c + + + + + 1 1 1 , , a b b c c a+ + + 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + 0 a b c x y z + + = 1 x y z a b c + + = 2 2 1 1 1 1 x y ữ ữ 2 2 16 64 10x x x + + = 4 1 4 1 4 1 x y z y z x z x y + = + = + = 2 2 1 1 3 3 1 x x x x + + + 2 1 y x x y + wWw.VipLam.Net tròn tâm A bán kính AH. Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm khác điểm H). 1/ Chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng. 2/ Tính diện tích tứ giác BMNC. 3/ Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính độ dài AK, KN. Câu V. (2,0 điểm). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AD = BC). Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo hình thang và M, N, P theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Nừu thì tam giác MNP là tam giác gì ? ã 0 60AOB = . & đt thọ xuân đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 09 - 2010 Môn: toán lớp 9 (thời gian làm bài 150 phút) Câu I. (4,0 điểm). Giải các phơng trình sau: 1/ x 6 - 9x 3 + 8 = 0 2/. ) 3 1 9 1 2 1 2x x x x = + + 2 3 3x+ + = 2 2 2 4 6x x+ = 1 2 1 2 2 2 1n n n n n + < < 1 1 1 2 3 10060 09 + + + 2 9 x 2 2 5x x + + ã 0,8DAC = ã .AOD 2 1 9 6 2 6x x x+ = + 4 12 9 27. b c b c c a a b b c c a a b + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 x y z xy yz zx + + + + 2 49 98 14 9 18 8 49 x x x = + 2 1 2 1 2x x x x+ + = 4,a 0 4b 0 4c 4 4 0 ,0 3 3 a b 4 0 3 c 1