[r]
(1)Đề thi vào lớp 10 Trờng THPT Lam Sơn (11) Môn Toán chung
Câu 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
x x x x
P :
x
2 x x x x
a) Rót gän biĨu thøc P
b) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình: 2x2 + 2mx + m2 – = 0. a) Xác định m để phơng trình có nghiệm ngun
b) Gäi nghiƯm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: A = 2x1x2 + x1 + x2
Câu 3: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: x2 x x 8 x 4 b) Tìm đờng thẳng y = 4x + điểm có toạ độ thoả mãn:
y2 – 5y x+ 4x = 0.
Câu 4: (2 điểm) Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O D điểm nằm cung BC không chứa điểm A tia AD lấy điểm E cho AE = DC
a) Chøng minh AEB = CDB
b) Xác định vị trí điểm D cho tổng (DA + DB + DC) lớn Câu 5: (1 điểm) Cho tứ diện ABCD G trọng tâm ABD, M một điểm thuộc cạnh BC cho MB = MC Chứng minh: MG // (ACD) Câu 6: (1 điểm) Cho x > 0, y > x + y = Chứng minh:
4
8(x y )
xy
§¸p ¸n gåm trang
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết cho điểm tối đa
(2)1 1a
Điều kiện để P có nghĩa:
x x 0
x x
x x
.
Ta cã:
(x 9) (4 x) x
(2 x )( x 3) ( x 2)( x 3) P
x( x 3) ( x 3)( x 3)
(x 9) (4 x) (9 x) x
P
(2 x)( x 3) x
4 x x
P
(2 x ) x x
0,50
0,50
0,25 0,25
1b
Theo c©u a ta cã:
2 x
P
x x
Do để P ẻ Z ta cần
x Ỵ Z
x
x (lo¹i)
x =
VËy víi x = P có giá trị nguyên
0,25 0,25
2 2a Vì phơng trình cho phơng trình bậc hai nên có nghiệm khi:
’ = m2 – 2(m2 – 2) – m2 -2 Ê m Ê 2. Vậy giá trị cần tìm cđa m lµ: - £ m £
0,25 0,50 0,25 2b Vì phơng trình có nghiệm x1 x2 nên ta có -2Ê m Ê
và theo định lý Viét thì: x1 + x2 = -m; x1x2 =
2
m 2
Do đó: A = 2x1x2 + x1 + x2 = (m2 – 2) - m
2
1
A (m )
2
V× -2 £ m £
2
5 25
m (m )
2 2
£ £ £ £ 25
max A max ;
4 4
.
Vậy maxA = đạt m = -2
0,25 0,25 0,25
(3)3 3a §iỊu kiƯn: x
Ta cã: x2 x x 8 x 4
2
( x 1) ( x 3) ( x 1) x
x 3 x
x x 10 x 10
£ £
£ £
0,25 0,25
0,25 0,25 3b §iỊu kiƯn: x 0.
Khi ta có: y2 – 5y x + 4x = y x (y x )(y x )
y x
.
Do để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + thoả mãn u cầu tốn ta cần có x0 và:
2
0
0
0
0
1 15
(2 x )
4x x 1
4 16 x
4
4x x (2 x 1) 0
Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M =
;2 .
0,25 0,25
0,25 0,25
4 4a Vì ABC nên AB = CB (1).
Theo gi¶ thiÕt ta cã AE = CD (2) Ta l¹i cã BAE BCD (cïng chắn cung AD) (3).
Từ (1), (2) (3) suy ra: ABE = CBD
0,25 0,25 0,25 0,25
4b Theo c©u a ta cã: ABE = CBD BE = BD BED c©n
Mặt khác ta lại có: BDABCA (cùng chắn cung AB)
BED BD = ED
0,25 0,25 0,25
O A
B C
(4)Vậy ta có: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA Vì điểm D thuộc cung BC khơng chứa A nên suy tổng (DA + DB + DC) lớn DA đờng kính đờng
trßn (O), hay D điểm cung BC nhỏ 0,25
5 Gọi I trung điểm AD Theo tính chất trọng tâm
tam giác ta cã:
BG BI 3 (1)
Theo gi¶ thiÕt ta cã:
BM BC 3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: GM // IC (3) Nhng I Ỵ AD IC Ỵ (ACD) (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: GM // (ACD)
6 Ta cã: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2
= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2 = 2x2y2 – 4xy + 1.
4 2
8(x y ) 16x y 32xy
xy xy
1 (4xy 7)(4xy 1)
xy
Vì x > y > nên theo BĐT Côsi ta có:
(4xy 7)(4xy 1)
2 xy x y xy 4
xy
£ £
4
1
(4xy 7)(4xy 1) 8(x y )
xy xy
DÊu b»ng x¶y
x y
x y x y
.
0,25
0,25
0,25
0,25
-
HÕt -M G
I
B D
A