Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.[r]
(1)Nguyễn Thị Mai Duyên Page
Chủ đề 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
I MỤC TIÊU: 1) Kiến thức:
Biết khái niệm giới hạn hàm số, giới hạn bên, phép toán giới hạn
Biết hàm số liên tục điểm, hàm số liên tục khoảng Biết hàm đa thức, phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng Biết định lý giá trị trung gian
2) Kĩ năng:
Tính giới hạn hàm số điểm, giới hạn bên, giới hạn hàm số Các dạng vô định:
0,
,
Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng Chứng minh phương trình có nghiệm dựa định lý trung gian
II TÓM LƢỢC LÝ THUYẾT VẤN ĐỀ 1: Giới hạn hàm số
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn K xn a , n * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:lim
x a f x L
2. Một số định lý giới hạn hàm số:
Định lý 1:Nếu giới hạn:lim , lim
x a f x L x a g x M thì:
lim lim lim
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim . lim .lim .
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim
lim , M
limx a
x a
x a
f x
f x L
g x g x M
lim lim ; 0,
x a f x x a f x L f x L
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: limx a f x
b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu:lim
(2)Nguyễn Thị Mai Duyên Page c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n *, ta
nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu :lim
x a f x Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a
*
n
ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim x a f x
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: 1. Giới hạn hàm số dạng:
lim
0
x a
f x g x
o Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2
o Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp 2. Giới hạn hàm số dạng:
lim
x
f x g x
o Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x coi x>0, x coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn
3 Giới hạn hàm số dạng: lim . 0.
xf x g x Ta biến đổi dạng:
4. Giới hạn hàm số dạng: lim -
x f x g x
o Đưa dạng:
lim
x
f x g x
f x g x
C. CÁC VÍ DỤ
1 Dạng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x Q x
với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0)=
Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn
VD:
3 2
2
2 2
8 ( 2)( 4) 12
lim lim lim
( 2)( 2)
4
x x x
x x x x x x
x x x
x
b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x Q x
với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc
Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu
VD:
0 0
2 4 1
lim lim lim
4
2
2
x x x
x x x
x x x x
(3)Nguyễn Thị Mai Duyên Page 2 Dạng
: L =
( ) lim
( )
x
P x Q x
với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x
– Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp
VD: a)
2 2
2
2
5
2
2
lim lim
6
6 1
x x
x x x x
x x
x x
b)
2
2
3
2
lim lim
1
1 1 1
x x
x x
x x
x
3 Dạng 0.:
Ta thường sử dụng phương pháp dạng
VD: 2
2
2
lim ( 2) lim
2
4
x x
x x x
x
x x
4 Dạng – : Giới hạn thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu
VD: lim 1 lim lim
1
x x x
x x x x
x x
x x x x
D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ TỰ LÀM TẠI NHÀ: - Bài 3b,c trang 132 sgk dạng
0
- Bài d,e,f trang 132 sgk dạng
- Bài trang 132 sgk làm tương tự ví dụ 8/131 sgk - Bài a, b,c trang 133 sgk tương tự ví dụ 7/ 131 sgk - Bài 6d trang 133 sgk dạng
(chú ý bậc chia tử mẫu)
VẤN ĐỀ 2: Hàm số liên tục A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Hàm số liên tục điểm:
y = f(x) liên tục x0
0
lim ( ) ( )
x x f x f x
(4)Nguyễn Thị Mai Duyên Page
B1: Tính f(x0)
B2: Tính
0 lim ( )
x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính x xlim ( ) 0 f x ,
0
lim ( )
x x f x )
B3: So sánh
0 lim ( )
x x f x với f(x0) rút kết luận
2 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng
3 Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục khoảng (a; b)
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
4 Hàm số đa thức liên tục R
Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0
Hàm số y = ( )
( ) f x
g x liên tục x0 g(x0)
6. Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) =
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b)
Mở rộng:
Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = ;
min ( )
a b f x ,M = max ( ) a b; f x Khi với T (m; M) ln tồn
tại số c (a; b) cho f(c) = T.
B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Xét tính liên tục hàm số dạng:
0 x x
a x=x
g x
f x
o Tìm
0 lim
x x g x .Hàm số liên tục x0 lim
x x g x a
2. Xét tính liên tục hàm số dạng:
0 0 x<x x=x x>x g x
f x a h x
o Tìm :
0
0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
(5)Nguyễn Thị Mai Duyên Page
0 0
lim lim
x x f x x x f x f x a
3. Chứng minh phƣơng trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b)
o Chứng tỏ f(x) liên tục đoạn [a;b]
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi f(x) = có nghiệm thuộc (a;b)
Nếu chưa có (a;b) ta cần tính giá trị f(x) để tìm a b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm ta tìm hai , ba khoảng rời khoảng f(x)=0 có nghiệm C CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho hàm số:
2
1 x 1 1
2 x=1
x
f x x Xét tính liên tục hàm số x0 =
Giải Hàm số xác định với x thuộc R
Ta có f(1) =
2
1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x x
x x
Do
1
lim ( ) (1)
x f x f nên hàm số liên tục x = 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số:
2 1 x 0 x x x
f x
Xét tính liên tục hàm số x0 =
Giải Hàm số xác định với x thuộc R
Ta có f(0) =
0
2
0 0
lim lim
lim lim 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
Vậy hàm số không liên tục x0 = Ví dụ 3: Chứng minh phƣơng trình
2
x x có nghiệm Giải:
Xét hàm số
( )
f x x x
(6)Nguyễn Thị Mai Duyên Page ( )
y f x hàm đa thức nên liên tục R Do liên tục 0; Vậy phương trình f x( )0
có nghiệm x0(0; 2)
D BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ TỰ LÀM TẠI NHÀ - Bài tập trang 141 sgk tương tự ví dụ
- Bài trang 141 sgk xét tính liên tục hàm số x = -1 tương tự ví dụ - Bài trang 143 sgk tương tự ví dụ