Một số dạng toán Dãy số và giới hạn ôn thi Học sinh giỏi

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm gi[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN 1 Giới hạn dãy số

1.1 Dãy số

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số tự nhiên

Với  , thay cho ký hiệu :

u 

  n u n

ta thường dùng ký hiệu (un n) ,{ }un n , (un n) hay { }un n Định nghĩa 1.2. Cho dãy (un n) 

 Dãy (un) gọi dãy (đơn điệu) tăng un un1  n  Dãy (un) gọi dãy (đơn điệu) giảm un un1  n

 Dãy (un) gọi dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt un un1  n  Dãy (un)

được gọi dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt un un1  n Nhận xét

 Nếu ( )xn , (yn) (xn yn)  Nếu ( )xn , (yn) (xn yn)

 Nếu (xn) (xn) Và ( )xn (xn)

 Nếu hai dãy dương (xn), (yn) tăng (giảm) (x yn n) tăng (giảm)  Một dãy khơng tăng, khơng giảm Ví dụ xn ( 1)n  n Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (xn n) 

 Dãy (xn) gọi bị chặn trên, tồn số M cho xn M n

 Dãy (xn) gọi bị chặn dưới, tồn số m cho xn  m n

 Dãy (xn) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi bị chặn

Định lí 1.1.Dãy (xn) bị chặn tồn ghằng số c0sao cho |un| c n

1.2 Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.4. Dãy số (un) gọi hội tụ về , ký hiệu lim n

nu , với  0 cho trước

tùy ý, tìm số n0 cho với nn0 có |un   |

Ví dụ 1.1. Chứng minh

1 lim ncc

2 lim1

nn 

3 lim 1

n

n n



 

Định lí 1.2 (Tính giới hạn)Giới hạn dãy hội tụ nhất Định lí 1.3 (Tính thứ tự dãy hội tụ) Cholim n

nx  a Khi

 Nếu a ( n0 : n n0 a xn)

Định lí 1.4 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức)Cho lim n

nx  a Khi

 Nếu ( n0 : n n0 xn a) a  Nếu ( n0 : n n0 xn a) a

Định lí 1.5 (Định lý giới hạn kẹp giữa)Cho ba dãy số (xn), (yn), ( )zn thỏa mãn   n0 : n n0zn xn  yn

 dãy (yn), ( )zn cùng hội tụ đến Khi dãy (xn) hội tụ lim n

nx 

Định lí 1.6 (Tính chất đại số dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ (xn), (yn)vàlim n ; lim n

nx a ny b Khi

đó

 Dãy (xn) hội tụ lim( n) n x  a

 Dãy (|xn|) hội tụ lim | n| | | n x  a

 Dãy (xnyn) hội tụ lim( n n)

n x y  a b

 Dãy (xnyn) hội tụ lim( n n)

n x y  a b

 Dãy (kxn) hội tụ lim( n) n kx ka

 Dãy ( · )x yn n hội tụ lim( · )n n

n x y ab

 Với b0 dãy

n

y

   

  xác định từ số đó, hội tụ

1

lim n

n

y b



     

 Với b0 dãy n n

x y

   

  xác định từ số đó, hội tụ lim

n n

n

x a y b



      

Ví dụ 1.2 Tìm giới hạn sau  lim 22

3

n

n n

n n



   



3

2

lim

3

n

n n

n n



 

 

 lim 2

n

n n

n



  

 2

lim ( 1)

n n  n  n  n



0

(3 1) lim

(2 3)

n

k n n

k

k k

 





  

1.3 Dấu hiệu hội tụ dãy số

1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass

Định lí 1.7.Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ

Ví dụ 1.3. Cho dãy số (xn), (yn) xác định sau

1 0, 0, , ,

2

n n

n n n n

x y

x  a y  b x   x y y     n

Chứng minh dãy số (xn), (yn) hội tụ vàlimxn limyn

Lời giải. Ta xét hai trường hợp sau:

(i) Nếu ab quy nạp ta dãy (xn) dãy giảm bị chặn a, dãy (yn)

dãy tăng bị chặn a Do theo định lý 1.7 tồn limxn, limyn từ giả thiết chuyển qua giới

hạn ta đượclimxn limyn

(ii) Nếu ab tương tự trường hợp (i)

Ví dụ 1.4. Cho dãy số (xn) xác định sau

1 1, 2, n n n,

x  x  x   x   x  n

Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn

Lời giải. Dễ thấy quy nạp ta (xn) dãy số tăng bị chặn Do theo định

lý 1.7 ta có tồn limxn a Từ đẳng thức xn2  xn1  xn chuyển qua giới hạn ta a2 a a0 nên lấya4 Vậyliman 4

Bài tập tương tự

Bài tập 1.5 Cho dãy số (xn) xác định x1 2,xn1  2x nn, 1, 2,Chứng minh dãy số cho hội tụ tìm lim n

nx

Bài tập 1.6 Cho dãy số thỏa mãn điều kiện

 

1

1

0 1,

4

n n n

x x  x

   

Chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn

Bài tập 1.7 (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực (an), ( )bn thỏa mãn điều kiện sau:

 1  

; , ,

n n n n n n

a b a  b  a b với n limbn an0 Khi tồn số thực c cho    

0

,

n n

n

a b c

 

 liman limbn c

Bài tập 1.8 (VMO 2005) Cho dãy số thực (xn),n1, 2, xác định bởi:

1

x a xn13xn37xn25xn với n1, 2,3,

trong a số thực thuộc đoạn 0,4

     

Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài tập 1.9 (VMO 2002B) Xét phương trình

2

1 1 1

2x x1x4 x k  x n  , n tham số nguyên dương

1 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm khoảng  0,1 ; kí hiệu nghiệm xn

2 Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn n  Bài tập 1.10 Cho số thực a Cho dãy số (xn),n , xác định bởi:

0

Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n  tính giới hạn 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 1.5. Dãy (xn) gọi dãy Cauchy thỏa mãn điều kiện

0, N : m n, , ,m n N x, m xn

 

        

Định lí 1.8.Dãy số (xn) hội tụ (xn) dãy Cauchy. Ví dụ 1.11 Cho hàm số f :  thỏa mãn điều kiện

   

f x  f y q xy , với x y,  ,

trong q 0,1 số cho trước Với c cho trước xác định dãy (xn),n0,1, 2,3 sau:x0 c x, n1 f x( n),n0,1, 2, Chứng minh dãy số (xn) hội tụ giới hạn dãy số nghiệm phương trình f x( )x

Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy (xn) dãy Cauchy Thật vậy, với ,m n ,nm ta có:

 

 1  1

m

n m n m n m n m

x x  f x  f x  q x x   q x x (1)

Mặt khác ta có

 

0 1 1

1

1

n n

n n n

q

x x x x x x q x x x x

q

 



           



Từ suy xnx0 bị chặn với n Kết hợp với (1) ta thu với  0 tồn N cho với m n, N xnxm  Nên dãy (xn) dãy Cauchy suy hội tụ Từ điều kiện hàm f dễ dàng chứng minh f liên tục từ đẳng thức xn  f x( n1)

chuyển qua giới hạn ta giới hạn dãy (xn) nghiệm phương trình ( )f x x Bài tập tương tự

Bài tập 1.12 Cho f :  thỏa mãn điều kiện với  0 tồn  0 cho: x y

      f x( ) f y( )  Xét dãy số xác định sau:

0 , n ( n), 0,1,

x  x   f x n Chứng minh dãy (xn) hội tụ

Bài tập 1.13 Cho f :  thỏa mãn điều kiện x f x( ) ( )x ( ( ))f x , :  hàm liên tục bị chặn Lấy x0 lập dãy xn1 f x( n),n0,1, 2, Chứng minh dãy số

(xn) hội tụ

Bài tập 1.14 Cho f :  thỏa mãn điều kiện f x( ) f y( ) k x  f x( )  y f y( ), với ,

x y ,

k Xét dãy số xác định sau:x1 ,xn1 f x( n),n1 Chứng minh dãy (xn) hội tụ giới hạn dãy nghiệm phương trình f x( )x

Bài tập 1.15 Cho f :  thỏa mãn điều kiện: có số k, 0 k cho

 

( ) ( ) max , ( ) , ( ) ,

f x  f y k xy f x x y f y x y

Xét dãy số xác định sau:x1 ,xn1  f x( n),n1 Chứng minh dãy (xn) hội tụ giới hạn

Định lí 1.9 Cho ba dãy số (an), ( )bn ( )cn thỏa mãn:  N cho an bn   cn n N liman limcn a Khi limbn a

Ví dụ 1.16. (Canada 1985) Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện 1 x1

2 *

1

1

1 ,

2

n n n

x    x x  n

Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm lim n nx

Lời giải. Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: ,

2

n n

x    n Thật ta kiểm tra bất đẳng thức với n3 Giả sử bất đẳng thức với n3, tức

2

n n

x   Khi

đó ta có

 

1

1

1

2 2 2 2 2

2

1 1

2

2 2

n n n n n

n n n

x x x x x

x





         

   

Do bất đẳng thức đến n1 Mặt khác lim

2n  nên từ bất đẳng thức nguyên lý kẹp ta có limxn 0

Ví dụ 1.17 Cho dãy hàm số P xn( ) xác định sau

2

0

( )

( ) 0, ( ) ( ) , 0;

2

n

n n

x P x

P x  P x P x    n x Tìm lim n( )

nP x

Lời giải Trước hết ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau:0P xn( ) x, n

(1) Thật vậy, với x[0,1] suy rax2 x0 nên 1( )

2 x

P x x

   Như (1) với n=1 Giả sử (1) đến $n$ Xét hàm số 1 2

( )

2

f t  t x t vớit[0,1] Dễ thấy hàm số ( )f t đồng biến [0,1] theo giả thiết quy nạp ta có 0P xn( ) x1 với x[0,1]

(2)

nên Pn1( )x  f P x( n( )) f( x) x với x[0,1] Mặt khác, từ (2) ta có

2

1

( ) ( ) ( )

n n n

x P x  P x P x  Vậy 0Pn1( )x  x Do (1) đến n1 nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) với n

Tiếp theo ta chứng minh ( )

n

x P x n

 

 với x[0,1], n (3)

Thật ta có

1

( )

( ) ( )

2

n

n n

x P x xP x  xP x     

1

0

1

( ) ( ( ) 0)

2

2

( ) 1

2 2

1

2

2 2

1 1

n n

n n

n

n

x

x P x do P x

x n x x

x P x

n

n x x

n

n

n n n n n

 



 

 

     

 

   

 

         

   

  

 

  

 

  

      

     

 

 

 

Từ ta thu bất đẳng thức ( )

n

x P x n

  

 với mọix[0,1] n Do lim

1

n  nên theo nguyên lý kẹp ta limP xn( ) x , với x[0,1]

Ví dụ 1.18 Cho a b,  , ( , )a b 1;nab1,ab2,  Kí hiệu rn số cặp số ( , )u v   cho nau bv Chứng minh rằnglim n

n

r n ab

 

Lời giải Xét phương trình au bv n (1) Gọi ( ,u v0 0) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử

( , )u v nghiệm nguyên dương khác ( ,u v0 0) (1) Ta có au0bv0 n au bv,  n suy

0

( ) ( )

a u u b v v  tồn k nguyên dương cho uu0kb v,  v0 ka Do v số nguyên

dương nên

0

1

1 v

v ka k

a      (2)

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng với

Do 1

1

n

v n u

r

a ab b a



   

     

    Từ ta thu bất đẳng thức sau:

0 1 1.

n

u u

n n

r

ab b   a ab b  a Từ suy

0

1 1 1

n

u r u

abnbna n abnbnan Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n

n

r n ab

 

Ví dụ 1.19 Tìm giới hạn dãy số (xn) biết

1 1 ( 1)

n

x      n n

Lời giải

Xét hàm số f x( ) 1x (1 x) ta chứng minh ( ) 2( 1)

x

f x x

   

Từ

1

2

2 n(1x) f x( )2 (1n x) Từ đó, thay x2

1

2

Lời giải 2. Với1  m n 1, đặt am  1m (1 m) 1 ( n 1) 1n ta có

2 2

1

2

1

1 ( 1)

( 1) ( ( 2))

m m m m

m m

a ma a m ma m m

a m m a m

 



      

 

    

Suy

1

1

| |

| ( 1) | | |

| ( 1) |

m m

m m

m

m a a m

a m a m

a m m

 





     

  

Từ | 2 | 1| 1 | 1| ( 1) | ( )

1 n

n n

a a n n n n n

n  n

 

          

 

Lời giải 3. Để ý

n&

3 2·4  2· 16  25   36   quy nạp, dễ dàng chứng minh

2

1 1   1n (n2) 3

Suy xn 3 (1)

Nhận xét. Cho  1 Khi 1x  · 1x  x Áp dụng nhận xét với xn, n

2

1n (n2)  n2· n1 Từ

2

1 ( n 1) 1n (n2)  1 n2·(n1)· 1 n n2· ( n 1) 1n Do đó, quy nạp, thu

2

3 (n 2) nxn (2) Từ (1),(2) nguyên lý kẹp, suy lim n

nx 

Bài tập tương tự

Bài toán 1.20 Cho  , 2, dãy số ( )an   thỏa mãn điều kiện

1 1,

n n

a    a a a   n Chứng minh liman

n 

Bài tập 1.21 Cho dãy số dương (an) thỏa mãn điều kiện

3 *

1 ,

n n

a     a a a  n Chứng minh với

2

  ta ln có liman n  Bài tập 1.22. (VMO 2002A) Xét phương trình

2

1 1 1

1 1

x  x  k x  n x  , n tham số nguyên dương

1 Chứng minh với số ngun dương n, phương trình nêu có nghiệm lớn 1; kí hiệu nghiệm xn

Bài tập 1.23 (Matxcơva 2000) Ký hiệu xn nghiệm phương trình

1 1

1

x x  x n  , thuộc khoảng (0,1)

1 Chứng minh dãy (xn) hội tụ;

2 Hãy tìm giới hạn

Bài tập 1.24 (VMO 2007) Cho số thực a2 f xn( )a x10 n10xn   x

1 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình f xn( )a ln có nghiệm dương

2 Gọi nghiệm xn, chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn n dần đến vô

1.4 Khảo sát hội tụ dãy số dạng xn1  f x( n)

Để khảo sát hội tụ dãy số có dạng xn1  f x( n), ta thường xét hàm số y f x( ) sử dụng

một số kết sau

Định lí 1.10 Cho dãy số (xn) xác định sau:x1a x, n1  f x( n),n1, 2, Khi

1 Nếu ( )f x hàm số đồng biến dãy số (xn) đơn điệu

2 Nếu ( )f x hàm số nghịch biến dãy số (xn) có chứa hai dãy (x2k), (x2k1) đơn điệu ngược chiều

3 Khi f x( ) hàm số nghịch biến dãy (xn) bị chặn lim 2k ,lim 2k

kx akx  b

   dãy

đã cho hội tụ ab

Ví dụ 1.25 (VMO 1998A) Cho số thực a1 Xét dãy số (xn),n1, 2, xác định

2

1 , 1 ln

1 ln n n

n

x x a x

x



 

    



  với n1, 2,3,

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Lời giải

Xét dãy số (xn) với x1a a( 1)

2

1 ln , 1, 2,

1 ln n n

n

x

x n

x



 

    



 

(i) Nếu a1 xn  1( n) suy lim n nx 

(ii) Nếu a1 Ta chứng minh quy nạp xn 1 với

*

n Giả sử với n cho xn 1 Ta

nhận thấy

1 1 ln

n n n

x   x   x  Dễ thấy hàm số f x( )x2 1 lnx đồng biến [1;) Mặt

khác xn 1 suy xn11 Vậy xn   1 n

Tiếp theo ta chứng minh với xn   1 n xn xn1 n Xét hàm số

2

( ) ln

1 ln

x g x x

x

 

       

[1;) Bằng cách khảo sát hàm số ta g x( ) đồng biến [1;) mà g(1)0, suy

( )

g x   x g x( )  0 x Do xn   1 n xn xn1 n Do dãy (xn) dãy số giảm bị chặn 1, nên tồn lim

nb Dễ thấy b1 từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới

hạn ta

2

1 ln ln

1 ln ln

b b

b b

b b

   

       

 

   

Theo kết khảo sát hàm g x( ) g b( )  0 b Vậy lim n nx 

1 2, 9; 2 , 1, 2, 3, n n n x

x x n

x



    



Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn

Lời giải

Xét hàm số

2

( )

1 x f x

x

 

 với x (1, ) Dễ thấy f x( ) hàm số nghịch biến

(1,)

(i) Ta chứng minh dãy (xn) bị chặn Ta chứng minh quy nạp 3 *

n

u n

     (1)

Thật

Với n1 bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức đến n, tức

3

2

n

u

   Ta có un1  f u( n) f nghịch biến (1,) nên

3

( 3)

2

n

u   f   Mặt khác 3un nên từ hệ thức un1 f u( n) ta có 3un1 Vậy (1) chứng minh

(ii) Từ suy lim 2n, lim 2n 1

n n

a x b x 

 

    , ,a b nghiệm hệ phương trình  

  a f b b f a    





(iii) Xét hàm số g x( ) f f x( ( ))x, với 3 x

   , có g x( ) f x f( ) ( ( )) 1 f x  Do

3 ( )

2 f x

   f x( )0 với 3

2 x

   nên g x( )0 với

3

2 x

   , với ( 3) ( 3)

g g  suy phương trình g x( )0 có nghiệm Do dãy (xn) hội tụ

Ví dụ 1.27 (VMO 2008) Cho dãy số (xn) xác định sau

1

2

0,

1

2 , 1, 2,

2

n

x n

x x

x   n

        

Chứng minh dãy (xn) hội tụ tìm lim n nx

Lời giải 1. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh

2xn   n Xét hàm số

1

( ) , ;

2 2

x

f x    x 

  Ta có

1

( ) ·ln ;

2 2

x

f x     x  

  với

1 ; 2

x 

 

3

1

2 ; (0;1)

4

x

  

 

  Do

ln

| ( ) |

2

f x   u

Mặt khác, theo định lý Lagrange với

2  x y tồn t( ; )x y cho

2x2y  f t x( )( y) Vậy

2

4

1

2

4

| | 2 | ·| |

·| 2 | ·

|

| |

n n

n n

x x

n n n n

x x

n n

x x u x x

u u x x

2 2

| | n| | ( )

n n

x x  u x x  n 

Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ  nghiệm phương trình 2 

   

Giải phương trình này, thu  1 Vậy, lim n nx 

Lời giải 2. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh

2xn   n Xét hàm số ( ) 1, 3;

2 2

x

f x    x 

  Ta có

1

( ) ·ln ;

2 2

x

f x     x  

  Do hàm

1

( ), ;

2

y f x x 

  hàm giảm Vậy, dãy   x2k , x2k1 chứa hai dãy đơn điệu ngược chiều

Từ đó,

2xn   n suy bốn dãy (x4k), (x4k1), (x4k2), (x4k3) hội tụ theo thứ tự

, , ,

   

Xét hệ phương trình

        f f f f

 

 

 

 

  

  

     Giải hệ thu       1 Vậy lim n

nx 

Lời giải 3. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh

2xn 2  n Xét hàm số ( ) , 3;

2 2

x

f x    x 

  Ta có

1

( ) ·ln ;

2 2

x

f x     x  

  với

1 ; 2

x 

 

thì

3

1

2 ; (0;1)

4

x

  

 

  Do

ln

| ( ) |

2

f x   u

Mặt khác, theo định lý Lagrange với

2  x y tồn t( ; )x y cho

2x2y  f t x( )( y) Vậy, với , 3; 2

x y 

  tồn

ln

(0;1)

u  cho

| ( )f x  f y( ) |u x | y| Suy hàm f hàm co Bởi vậy, hai dãy (x2k), (x2k1) (đều cho hệ thức truy hồi xn2  f x( n) hội tụ Bằng việc giải phương trình giới hạn, thu lim n

nx 

Bài tập tương tự

Bài tập 1.28 Cho dãy số (xn) xác định sau 0 1, 1 2 ,

n n

n

x

x x n

x



  

 Tìm lim n

nx

Bài tập 1.29 Cho trước a0 Xét dãy số (xn) xác định sau:

2

0

= , 0,1, 2,

2

n n

n

x

a

x x n

x



  

 

  

 



 

Khảo sát hội tụ dãy

Bài tập 1.30 Khảo sát hội tụ dãy ( ) : 0 1, 1 ,

n n

n

x x x n

x



  



Bài tập 1.31 Khảo sát hội tụ dãy ( ) : 0 0, 1 2,

n n

n

x x x n

x



  



Bài tập 1.32 Khảo sát hội tụ dãy ( ) : 0 0, 1 2,

n n

n

x x x n

x



  



Bài tập 1.33 Khảo sát hội tụ dãy ( n) : 0 1, n 1 2, n

x x x n

x



   

Bài tập 1.34 Khảo sát hội tụ dãy

2

0

3

( ) : 0, ,

2( 1)

n

n n

n

x

x x x n

x





  



Bài tập 1.35 Khảo sát hội tụ dãy

0

( ) :xn x  ,xn  7xn6,n0 Bài tập 1.36 Khảo sát hội tụ dãy

1

( n) : 0, n n 1,

n

x x x x n

x



    

Bài tập 1.37 Khảo sát hội tụ dãy

0

( ) :xn x  ,xn xn2 ,x nn 0

Bài tập 1.38 Khảo sát hội tụ dãy ( ) :xn x0 ( 1;0),xn1   1 ( 1)n 1xn,n0 Bài tập 1.39 Khảo sát hội tụ dãy (xn) :x0 0,xn1  xn xn1 x0 ,n0

Bài tập 1.40 Khảo sát hội tụ dãy (xn) :x1 2,xn1 2xn  n Bài tập 1.41 Khảo sát hội tụ dãy 3

0

(xn) :x 1,x a x, n  xn xn,n0 Bài tập 1.42 Cho dãy số (xn) xác định sau

 

1

2

1

n n n

x

x x a x a n

 

      



Tìm tất giá trị thực tham số a cho dãy cho hội tụ Khi đó, tìm lim n nx

Bài tập 1.43. (VMO 2005B) Cho dãy số thực (xn),n1, 2, xác định

1

x a xn13xn37xn25xn với n1, 2,3, , a số thực thuộc đoạn 0,4

     

Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Bài tập 1.44. (VMO 2005A) Cho dãy số thực (xn),n1, 2, xác định

1

x a xn13xn37xn25xn với n1, 2,3, , a số thực

Hãy tìm tất giá trị a để dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn trường hợp đó.\hbt

Bài tập 1.45. (VMO 2001A) Với cặp số thực ( , )a b , xét dãy số (xn),n , xác định

x a xn1xnb.sinxn với n

(1) Cho b1 Chứng minh với số thực a, dãy (xn) có giới hạn hữu hạn n  Hãy tính giới hạn theo a

(2) Chứng minh với số thực b2 cho trước, tồn số thực a cho dãy (xn) tương ứng khơng có giới hạn hữu hạn n 

Bài tập 1.46. (VMO 2000A) Cho c số thực dương Dãy số (xn),n0,1, 2, xây dựng theo cách

sau:

1 , 0,1, 2,

n n

Tìm tất giá trị c để với giá trị ban đầu x0 0;c dãy (xn) xác định với giá trị n tồn giới hạn hữu hạn limxn n 

Bài tập 1.47 (VMO 1998B) Cho số thực a Xét dãy số (xn),n1, 2,3, xác định

 

1

3 ,

3

n n

n

n

x x x a x

x





 

 với n=1, 2, 3, Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Bài tập 1.48 (VMO 1994B) Cho số thực a Xét dãy số (xn),n0,1, 2, xác định

3

0 , n n 6sin n

x a x  x  x  với n=1, 2, 3,

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n dần tới dương vơ cực tìm giới hạn Bài tập 1.49 (VMO 1994A) Cho số thực a Xét dãy số (xn),n0,1, 2, xác định

0 1

4

, arccos arcsin

2

n n n

x a x x  x

    

    

  với n=1, 2, 3,

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n dần tới dương vơ cực tìm giới hạn 1.5 Định lý trung bình Cesaro dãy số dạng 1 a

n n n

x x x

Đây trường hợp đặc biệt dãy số dạng xn1 f x( n) Tuy nhiên, không đặt vấn đề khảo sát hội tụ dãy dạng này, giới hạn chúng là ; mà quan tâm tới tất số  cho dãy xn

n

   

  hội tụ Với dãy số dạng này, định lý

trung bình Cesaro tỏ hữu hiệu

Định lí 1.11 Nếu dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình x1 x2 xn

n

  

 

 

 

có giới hạn a Chứng minh

Khơng tính tổng qt ta giả sử a0 Với  0 tồn *

N cho với nN

2

n

u 

2 N

u u u

n



   

Từ ta có

 

1

2

n N N n n N

u u u u u u u u

n N

n n n n

  

 

       

      

Ví dụ 1.50 Nếu lim n 1 n

n x  x a lim n n

x a n

 

Lời giải. Đặt un xnxn1 Khi dễ thấy dãy (un) thỏa mãn điều kiện Định lý Cesaro nên ta có

1

lim n

n

u u

a n



 

 hay lim n n

x a n

 

Ví dụ 1.51 Chứng minh dãy số dương (an) hội tụ a dương limn 1 2

n n a a a a

Lời giải. Ta có lim ln n ln

n a  a Áp dụng Định lý Cesaro, ta có:

1

ln ln

lim n ln

n

a a

a n



 

 hay limn 1 2

n n a a a a

Ví dụ 1.52 Cho dãy số dương (an) Chứng minh lim n 0

n n

a a a



   lim n

Lời giải. Đặt n 1, 2

n n

a

b n

a



  Dễ thấy dãy ( )bn thỏa mãn ví dụ 1.50 nên limn 1 2

n

n b b b a hay

limn n n a a

Bài tập tương tự

Bài tập 1.53 Cho dãy  xn xác định 1/ 2, n1 n n

x  x  x x Chứng minh lim n nnx 

Bài tập 1.54 Cho dãy  xn xác định x1 1,xn1sinxn Chứng minh limn nxn 1

Bài tập 1.55. (TST VN 1993) Dãy số  xn xác định 1 1, n 1 n n

x x x

x



   Hãy tìm tất số 

để dãy số (an)

n 

có giới hạn hữu hạn khác

Bài tập 1.56 Cho dãy số xác định a1 0,an1  1 sinan1 , n1 Tính

1

1 lim

n k n

k

a n

 

Bài tập 1.57 Xét dãy số (xn) xác định 1 1

3

1

1, n n

n

x x x n

x



     Chứng minh tồn ,a b

sao cho lim n

b n

x an

 

2 Bài tốn dãy số qua kì thi IMO

2.1 IMO 2009

Bài 2.1.1 (IMO 2009) Giả sử s s s1, 2, , 3 dãy tăng ngặt số nguyên dương cho dãy

1, 2, 3,

s s s

s s s

1 1, 1, 1,

s s s

s  s  s  cấp số cộng Chứng minh s s s1, 2, , 3 cấp số

cộng

Bài 2.1.2 (Mở rộng IMO 2009) Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s s s1, 2, , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy

1, 2, 3,

s s s

s s s

1 , , ,

s k s k s k

s  s  s  cấp số cộng Chứng minh s s s1, 2, , 3 cấp số cộng

Chứng minh

Gọi D E công sai cấp số cộng

1, 2, 3,

s s s

s s s

1 , , ,

s k s k s k

s  s  s  Đặt

1

s

As D

1

s k

Bs  E Theo công thức tính số hạng tổng quát cấp số cộng với số nguyên dương n ta có

1 ( 1) , ( 1)

n n

s s s k s k

s s  n D A nD s  s   n E B nE

Từ dãy s s s1, 2, , dãy tăng ngặt, nên với số nguyên dương n với ý sn k sn k ta có

1 ,

n n n k

s s k s

s k s s





   

từ ta thu

1 ( 1) ,

A nD k    B nE  A n D điều tương đương với

0    k B A n E( D)kD,

nếu D khác E cho n  ta thấy mâu thuẫn với bất đẳng thức nên DE

Đặt mminsn1sn:n1, 2,  Khi

1 1

( s k ) ( s ) s k s

B A s  E  s D s  s km (2)

1

1

( ) ( ) ( )

s k s

s s B D A D

kD A s k D A s D s  s s  s  m BA (3) Ta xét hai trường hợp

(a)B A kD

Khi đó, với số nguyên dương , ( )

n n k

s k s

n s   B nD  A n k Ds  , từ kết hợp với dãy 1, 2, ,

s s s dãy tăng ngặt ta có sn k  sn k Mặt khác sn sn1  sn k  sn k nên

1

n n

s   s s s s1, 2, , 3 cấp số cộng với công sai

(b)B A kD

Chọn số nguyên dương N cho sN1sN m Khi

m A B(   D k)m A(( (N1) ) (D  BND k ))

1

( 1) sN sN k

A N D B ND k s s k

s s s s

 

    

   

(A s N1D) ( B(sN k D) )(sN1sN)D  A B kD mD  A B kD,

do

(B A km) ( kD m B ( A))0 (4) Từ bất đẳng thức (2), (3) (4) ta thu đẳng thức sau:

B A km kDm B( A) Giả sử tồn số nguyên dương n cho sn1  sn m Khi

1

1

( 1) ( )

n n

n n s s

m m m s  s s  s

2

( )

(A (n 1) ) (D A nD) D m B A m k



        ,

vơ lý

Vì điều giả sử sai nên sn1  sn m với n hay dãy s s1, 2, cấp số cộng có công sai m

Nhận xét

Bây ta thay cấp số cộng cấp số nhân tốn cịn khơng?

Bài 2.1.3. Giả sử s s s1, 2, , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy

1, 2, 3,

s s s

s s s

1 1, 1, 1,

s s s

s  s  s  cấp số nhân Chứng minh s s s1, 2, , cấp số nhân

Bài 2.1.4 (Mở rộng toán 2.1.3) Cho k số nguyên dương Giả sử s s s1, 2, , 3 dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy

1, 2, 3,

s s s

s s s

1 , , ,

s k s k s k

s  s  s  cấp số nhân Chứng minh s s s1, 2, , cấp số nhân

IMO 2010

Bài 2.2.1

Cho a a a1, 2, 3, dãy số thực dương Giả sử với số nguyên dương s cho trước, ta có

 

max :1

n k n k

a  a a    k n ,

với ns Chứng minh tồn số nguyên dương l N , với ls thỏa mãn

n l n l

Chứng minh

Từ điều kiện toán với an(ns) ta có đẳng thức sau anaj1 aj2 với

1, ,

j j n j  j n j1s ta viết aj1 giống an Cuối cùng, ta viết

đẳng thức

1 k,

n i i i

a a a  a (1)

1 ij s i,    i ik n j, 1, 2, ,k (2) Cố định số 1 l s cho

1

l i

i s

a a

m

l     i Ta xác định dãy  bn với bn anmn, bl 0

Ta chứng minh với n bn 0, dãy  bn thỏa mãn tính chất giống dãy  bn

Thật ns ta có bn 0 theo cách xác định m Bây ta xét ns sử dụng

phương pháp quy nạp với đánh giá sau

1max (1 ) 1max (1 )

n k n k k n k

k n k n

b a a  nm b b  nm nm

     

      

1max (  k n1 bk bn k ),

 

ta thu bn 0

Nếu bk 0 với 1 k s, bn 0 với n, an mn, trường hợp tầm

thường

Nếu tồn 1  k n cho bn khác 0, ta xác định

 

1

max ,i i:1 , i

i s

M b  b i s b

 

    

Khi với ns ta đạt

1max (1 ) ,

n k n k l n l n l

k n

b b b b b b

  

    

vì

2

n n n l n l

M a b b b   

Ta có dãy ( )bn có tính chất (1), (2) giống dãy (an), ta có với bn chứa tập

 i1 i2 ik :1 1, , k  0,  T b b  b i i  s M

Ta chứng minh tập có hữu hạn phần tử Thật vậy, với x T , biểu diễn

1 k(1 1, , )

i i i k

x b b  b i i s Khi có tối đa M

 số bij khác (vì ngược lại

M

x  M



  điều vơ lý) Vì x biểu thành tổng k số

j

i

b với k M



 , tập có hữu hạn

Từ ta có dãy bn dãy tuần hồn với chu kì l từ số N trở đi, có nghĩa

n n l n l l

b b b b với n N l,

( ( ) ) ( )

n n n l l n l l

a  b nm b  n l m  b lm a  a với n N l

Từ toán ta xây dựng số dạng tập sau điều kiện dãy số dương không cần thiết

Bài 2.2.2

Cho a a a1, 2, 3, dãy số thực Giả sử với số nguyên dương s cho trước, ta có

 

min :1

n k n k

với ns Chứng minh tồn số nguyên dương l N , với ls thỏa mãn

n l n l

a  a a  với nN Bài 2.2.3

Cho a a a1, 2, 3, dãy số thực dương Giả sử với số nguyên dươngs, ta có

 

max :1

n k n k

a  a a   k n

với ns Chứng minh tồn số nguyên dương l N, với ls thỏa mãn an a al n l

với nN Chứng minh