Toán 11 - Dạng toán tìm giới hạn dãy tổng

DẠNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A... Chứng minh dãy số vn là một cấp số cộng.[r]

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ - hao.ls.bg@gmail.com - 0985.729.289 DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG A LÝ THUYẾT u1  a  Bài toán : Cho dãy số dạng công thức truy hồi  tìm lim Sn   u  f ( u ) n n    * Cơ sở lý thuyết Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm Các gới hạn đặc biệt dãy số Các định lý giới hạn dãy số Quy tắc tìm giới hạn tích thương dãy số Phân tích đa thức thành nhân tử , tam thức bậc hai * Các bước giải bài toán B1: Chứng minh dãy số tăng dãy số giảm B2: Tìm giới hạn dãy số un B3: Phân tích un  f (un1 , un2 ) dạng tổng Sn và tính tổng Sn , tính lim Sn B BÀI TẬP Bài 9: Cho dãy số  un ; n = 1,2,… xác định sau: u1   un 1  un (un  1)(un  2)(un  3)  1; n  1, 2, n Đặt S n  (n =1,2,…) Tính lim S n n   i u i 1 u1   Bài 10 Cho dãy số{un} thoả mãn:  un2 u   un  n 1 2012  u u u Xét dãy số     n , Với n = 1,2,… u u3 un 1 Chứng minh dãy số {vn} có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 13 ( HSG Tỉnh LS 2011-2012 khối 11 ): u1  2012 Cho dãy số (un) xác định sau:  u n 1  2012u n  u n u u u u Tìm lim(     n ) u u3 u u n 1 (n  N*) Bài 15 Cho dãy số  U n  xác định : u1  n u n  u n   ; n  N ; n  Đặt v n   ;n  N ; n 1  k 1 u k  Tính lim v n u n 1  n  Bài 17 Cho dãy số (u n ) xác định công thức u1   Đặt S n =  u n 1   u1u u n , n  1,2 Lop11.com n u k 1 k Tìm lim S n n   Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ - hao.ls.bg@gmail.com - 0985.729.289 Bài 18 Cho dãy  x n  xác định sau :  x1  (n  N*)   x n 1  x n  3x n  1 1 Đặt Sn     (n  N*) Tìm L imSn x1  x  xn  Bài 20 Cho {un }xác định sau: u1 = 8; u n 1  (u 2n  7u n  25) 1 Tính: C  lim(    ) u3  un  n  u  Bài 24 Cho dãy số  U n  xác định : u1  n u n  u n   ; n  N ; n  Đặt v n   ;n  N ; n 1  k 1 u k  Tính lim v n u n 1  n  Bài 25 Cho dãy (xn) : x1=1 ; n Đặt y n   i 1   cos 2 xn  cos  xn 1  2  cos 2 xn   cos 2 , n  Tìm  để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm xi  giới hạn đó Bài 26 Cho dãy ( xn ) thỏa: x1  4; xn 1  n xn4  Tính lim  3 n  xn  xn  k 1 xk  u 2n  2013.u n 2014 u u un Tính: B  lim(    ) u3 1 u n 1  n  u  Bài 28 cho {un }xác định sau: u1 = 2; u n 1  DẠNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A LÝ THUYẾT u1  a  Bài toán : Cho dãy số dạng công thức truy hồi  tìm un    un  a f (un1 )  g (n) u1  a  Loại 1:  với g(n) bậc k    un  a.un1  g (n), n  TH1: a  , đặt un  un1  h(n) bậc h(n) là k đồng hệ số để tìm các hệ số h(n) dựa vào công thức truy hồi Lop11.com Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ - hao.ls.bg@gmail.com - 0985.729.289 TH2: a  , đặt un  un1  h(n) bậc h(n) là k +1 ( hệ số tự là ) đồng hệ số để tìm các hệ số h(n) dựa vào công thức truy hồi u1  a  Loại 2:   n   un  a.un1  b.a , n  * TH1: a  a , đặt un  un1  l.a n thay vào (*) đồng hệ số để tìm l TH2: a  a , đặt un  un1  l n.a n thay vào (*) đồng hệ số để tìm l  u1  a Loại :   n   un  a.un1  b.a  g (n), n  * u1  a    Loại 4:  a.un1  b  un  , n  * (ad  bc)  c.un1  d    a.un1 1 c TH1: b= thì un    d  đặt   A.vn1  B c.un1  d un un1 a un đưa loại ( với bậc h(n) là ) A.an1 TH2: b  thì đặt un  an  t thay vào (*) đưa dạng an  B.an1  C Trường hợp b= cách chọn t để hệ số tự u1  a, u2  b  Bài toán Cho dãy số  tìm un ?    un  a.un1  b.un2 , n  + TH 1: Nếu phương trình đặc trưng l  a.l  b  có hai nghiệm phân biệt l1 , l2 thì số hạng tổng quát có dạng : un  a.l1  b.l2 tìm a, b thay u1; u2 + TH 2: Nếu l  a.l  b  có nghiệm kép là l thì un  an  b.l n * Cơ sở lý thuyết Công thức cấp số cộng Dãy un  là cấp số cộng công sai d có dạng un1  un  d Số hạng tổng quát cấp số cộng là un  u1  (n 1)d Công thức cấp số nhân Dãy un  là cấp số cộng công sai d có dạng un1  un q Số hạng tổng quát cấp số cộng là un  u1.q n1 * Các bước giải bài toán B1: Tìm số hạng tổ quát dãy số ( Tương ứng các dạng trên ) B2: Giải các yêu cầu khác bài toán có B BÀI TẬP u1  Bài 1: Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) :  * un 1  3un  2(n  N ) u1  Bài 2: Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) :  * un1  2un  3n  2(n  N ) Lop11.com Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ - hao.ls.bg@gmail.com - 0985.729.289 u1  Bài 3: Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) :  n 1 * un 1  3un  (n  N ) u1  1; u2  Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) :  * un 2  5un 1  6un (n  N ) (1) u0  1; u1   Bài 5: Dãy số un  xác định sau:  (với n = 1, 2,3,…) Tìm un un  2un 1 u  (2) n   (1)  x1   ( n  N *) Tìm công xn theo n Bài 6: Cho dãy số(xn) xác định sau:  xn  xn1  x  (2) n  x  (1)   Bài 7: Cho dãy số(xn) xác định sau:  ( n  N *) Tìm công xn theo n xn1  xn  3x  (2) n 1  (1)  x1   Bài 8: Cho dãy số(xn) xác định sau:  (n  N *) Tìm công xn theo n 9 xn1  24 (2)  xn  x  13 n 1   x0   Bài 9: Tìm số hạng tổng quát dãy số  xn  :  xn  , n  1,  xn1  x  n    x1  Bài 10: Cho dãy số  xn  :  , n  2,3 hãy tính tổng 2014 số hạng đầu tiên x n   xn 1  2(2n  1) xn   dãy số   x0  Bài 11: Cho dãy số ( xn ) xác định sau :  với xn  xn1  2(n  1) xn   (n xn ) n  N Tìm nlim  u1   Bài 12 Cho dãy số (un) xác định  5un  un 1  3u  , n   * n  un  Xét dãy số (vn) với  , n   * Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng Tìm số un  hạng tổng quát dãy số (un) u  11 Bài 13 : Cho dãy số (un) xác định :  u n 1  10u n   9n, n  N Tìm công thức tính un theo n Lop11.com