Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằngA. Khẳng định nào sau đây đúng.[r]
(1)TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I-PHƯƠNG PHÁP
Kết 1: Cho tam gi¸c OAB, cạnh OA chọn A'O, cạnh OB chọn B'O
Lúc đó: OA B' ' ' ' OAB
S OA OB
S OA OB
Chøng minh:
1
2
Gọi H, H' l¯ hình chiếu vng góc A v¯ A' lên OB Lúc đó: SOA B' ' A H OB' ' ' v¯ SOAB AH OB
Suy ra:
Định lý thales ' ' ' '. ' '. '
OA B OAB
S A H OB OA OB
S AH OB OA OB
H' H B'
A'
B A
O
Kết 2:
Cho h×nh chãp S ABC , cạnh SA chọn A'O, cạnh SB chọn B'O cạnh S chọn C C'O
Lỳc ú: ' ' '
' ' '
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
Chøng minh:
Gọi H, H' l¯ hình chiếu vng góc A v¯ A' lên mp Lúc đó:
(SBC)
1
3 v¯ V
' ' ' ' ' ' '
S A B C SB C S ABC SBC
V A H S AH S
Suy ra:
Định lý thales V
' ' ' ' '. ' ' '. ' ' S A B C SB C
V A H S SA SB SC
AH S SA SB SC
C' H' H
B' A'
C
B A
(2)II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích khối AA B C' ' ' khối ABCC'
A B
2 C
1
3 D
2
Lời giải
Ta có:
1
1
' ' ' ' ' '
'
; ' ' '
;
A B C AA B C
C ABC
ABC
d A A B C S
V V
d C ABC S
(1)
Do SABC SA B C' ' ' d A A B C ; ' ' 'd C ABC ; nên (1): ' ' '
' AA B C
C ABC V
V
Chọn đáp án A
A'
B'
C' B
C A
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi M N, trung điểm SB SD Mặt , phẳng AMN cắt SC E Gọi V2 thể tích khối chóp S AMEN V1 thể tích khối
chóp S ABCD Khẳng định sau đúng?
A 2 1
3
V V B 2 1
4
V V C 2 1
8
V V D 2 1
6
V V Lời giải
1
SM SN SI
SB SD SO Qua O dựng OK // AE Xét AEC: 1
2
/ /
OK AE
OK AE
Suy ra: K trung điểm EC
Xét SOK: 1
2 / /
IE OK
IE OK
Suy ra: E trung điểm SK Vậy
3
SE SC
Ta có: 1
2
S AMEN S AME S ABCD S ABC
V V SA SM SE
V V SA SB SC
1
S AMEN S ABCD
V V
hay
1
6
V V
K I
O
E
M N
S
D C
B A
(3)Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Điểm M trung điểm AB N cạnh CD cho
2
CN ND
Tỉ số thể tích khối ABCD khối MNBC
A B
2 C
1
3 D
4
Lời giải Ta có:
1
2 3
1
3
;
BMCN BACN BMCN BACN
BACN BACD BACN BACD
BMCN BACD
BACD BMCN
V V V V
V V V V
V V
V V
Chọn đáp án A D
A
B
C M
N
Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC Gọi M N, thuộc cạnh SB SC, cho
2
,
SMMB SN CN
Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi V1VS AMN.
2 ABCNM
V V Khẳng định sau đúng? A V1 V2 B 1 2
3
V V C 1 2
2
V V D 1 2
3
V V Lời giải
Ta có:
2 3
S AMN S ABC
V SM SN
V SB SC
1
3
S AMN S ABC ABCNM S ABC
V V V V
Vậy
1
2
V V Chọn đáp án C
N M
C
B A
(4)Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi M N, trung điểm BC SM, Mặt phẳng ABN cắt SC E.Gọi V2 thể tích khối chóp S ABE V1 thể tích khối chóp
S ABC Khẳng định sau đúng?
A 2 1
3
V V B 2 1
4
V V C 2 1
8
V V D 2 1
6
V V Lời giải
Qua M dựng MK // BE Xét tam giác BEC:
1 / /
MK BE
MK BE
Suy ra: K trung điểm EC Xét tam giác SMK: 1
2 / /
NE MK
NE MK
Suy ra: E trung điểm SK Vậy
3
SE SC
Ta có: 1
3
S ABE
S ABE S ABC S ABC
V SA SB SE
V V
V SA SB SC
hay
1
3
V V Chọn đáp án A
K E
N
M C
B A
S
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi E F, trung điểm cạnh AA' BB'
Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' E' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C' ' F'
Gọi V2 thể tích khối chóp C ABFE V1 thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?
A
1
3
V V B
1
4
V V C
1
8
V V D
1
6
V V Lời giải
Hình chóp C A B C ' ' ' lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đường cao đáy nên
1 1
1
3 3
' ' ' ' ' ' ' ' C A B C ABC A B C C ABB A
V V V V V V
Do EF đường trung bình hình bình hành
1
1 1
2 ' ' ' '
' ' ABFE ABB A C ABFE C ABB A
ABB A S S V V V
hay
1
3
V V Chọn đáp án A
E'
F' F E
A'
B' C' C
(5)Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC, AB, BC, SC lấy điểm M, N, P cho AM2MB,
4 ,
BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN A CPN là: A.4
3 B.
5
6 C.
8
3 D.1
Lời giải
+ 4
3 15
S BMN B MNS S ABC B ACS
V V BM BN BS
V V BA BC BS
+ 1
5 10
A CPN C ANP S ABC C ABS
V V CA CN CP
V V CA CB CS
4 15 10
: S BMN A CNP V V
P
N
M
B A
S
C
Chọn đáp án C
Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB6a,AC7a AD4a Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP
A
2
V a B
14
V a C 28
3
V a D
7 V a Lời giải
Ta có:
28
6
ABCD
V AB AC AD a
Dễ thấy MNP tạo nên đường trung bình BCDchúng đồng dạng với theo tỉ số
3
1 1 1
7
2 2 4
AMNP MNP
AMNP ABCD ABCD BCD
V S
V V a
V S
Chọn đáp án D M
N
P D
A
B
C
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O tâm ABCD; M N, trung điểm A B' ' A D' ' Tỉ số thể tích khối A ABD' khối OMND C B' ' '
A
9 B
4
7 C
7 D
(6)Lời giải
Do SABD SA B D' ' 'SMND C B' ' ' SB C D' ' 'SMND'B' 'B'
ABD MND
S S
Mặt khác ta có: 3
4 4
'
'B' ' ' ' ' ' '
A MN
MND A B D ABD A B D
S
S S S
S
Suy ra:
4
' ' '
MND C B ABD
S S
Ta có:
1 3
' ' ' '
' ' '
';
; ' ' ' ' ABD A ABD
OMND C B
MND C B
d A ABCD S
V V
d O A B C D S
4
' ' ' ABD
MND C B S S
Chọn đáp án B
O
N M
A'
B'
D'
C' D
A
B
C
Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA a , ABC cạnh 2a Gọi
,
M N thuộc cạnh SB SC, cho SMMB SN, 2CN
Tính thể tích khối
AMNCB
A
3
9
a
B
3
a
C
3
9
a
D
3
3
a Lời giải
Ta có:
2
3
3 1 3
3
4
ABC S ABC ABC
a a
S a V SA S
Ta có:
2 3
S AMN S ABC
V SM SN
V SB SC
3
1 2
3
S AMN S ABC ABCNM S ABC
a
V V V V
Chọn đáp án A
2a a
S
A
B
C
M N
Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA Mặt phẳng qua M song song với ABCD, cắt cạnh SB SC SD, , N P Q, , Gọi
1 S ABCD
V V V2 VS MNPQ Khẳng định sau đúng?
(7)Dễ thấy, N P Q, , trung điểm cạnh
, ,
SB SC SD Ta có:
1
2
2 1 1
2 2
8
S MNPQ S MNP S ABCD ABC
S MNPQ S MNP S ABCD S ABC
V V
V V
V V SM SN SP
V V SA SB SC
V V
Chọn đáp án A
Q P
N M
S
D C
A
B
Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng chứa AM song song với BD, cắt cạnh SB SD, N P, Gọi
1 S ANMP
V V V2 VABCDPMN Khẳng định sau đúng? A V2 3V1 B 2 1
2
V V C V2 2V1 D 2 1
2
V V Lời giải
Gọi BDAC O ; AMSO I Suy I trọng tâm SAC SBD Qua I dựng
/ /
PN BDThiết diện tứ giác ANMP
Ta có: 2 1
2 3
S ANM S ABCD S ABC
V
V SN SM
V V SB SC
1 2
1
2 S ABCD S ABCD
V V V V V V
Chọn đáp án C
I
O
B A
C D
S
M
N P
Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N P Q, , , thuộc cạnh SA SB SC SD, , , cho
3
; ; ;
SMMA SN NB SP PC SQ SD
Tính thể tích khối SMNPQ
A
3
16
a
B
3 48
a
C
3 16
a
D
3 32
(8)Ta có:
2 4
S MNP S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
1
4
S MNP S ABC S ABCD
V V V
Tương tự: 1
2
S MPQ S ACD
V SM SP SQ
V SA SC SD
1
8 16
S MPQ S ACD S ABCD
V V V
Vậy
16
SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD
V V V V
3
3 2
16 32
a a
Chọn đáp án D
Q
P N
M
S
D
C
A B
O
Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 VA A B C ' ' ' V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?
A
3
4
V V B
1
2
V V C
1
3
V V D
2
3
V V Lời giải
Ta có:
3
' ' ' ; ' ' ' ' ' '
A A B C A B C
V d A A B C S VABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' ' SA B C' ' ' Suy ra:
2
V
V Chọn đáp án C
B'
C' A'
A
B
C
Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M cạnh AA' cho: AM2MA' Gọi
1 M BCC B ' '
V V V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng? A 1 2
4
V V B 1 2
2
V V C 1 2
3
V V D 1 2
3
(9)Do AA'/ /BCC B' 'VM BCC B. ' ' VA BCC B. ' '
Ta có:
3
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C
V V V V
Suy ra:
2
V
V Chọn đáp án D
M
C
B A
A' C'
B'
Nhận xét: Điểm M có vẻ như nằm đường thẳng AA'? Kết tỉ số thể tích
đúng!
Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1VBACB' V2 VABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định sau đúng?
A
5
9
V V B
1
6
V V C
1
3
V V D
2
3
V V
Lời giải
Ta có:
3
' ; ' '
B ACB BCB
V d A BCB S
1
3
1
6
' '
' ' ' ' ' ' ; ' '
; ' '
BCB C
BCB C ABCD A B C D
d A BCB C S
d A BCB C S V
Suy ra:
1
V
V Chọn đáp án B
D
A
B
C
D'
A' B'
C'
Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M trung điểm cạnh AB Gọi V1VMBCB'
2 ABCD A B C D ' ' ' '
V V Khẳng định sau đúng? A 1 2
12
V V B 1 2
6
V V C 1 2
12
V V D 1 2
3
(10)Ta có:
1 1
2 12
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D
V V V V
Chọn đáp án C M
C'
B' A'
D'
C
B A
D
Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB D, cắt AC E Mặt phẳng qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) chúng bằng:
A
3 B
4
23 C
4
9 D
4 27
Lời giải
Ta có: 2 3 ADE
ABC
S AD AE
S AB AC
Mặt khác:
'
1
'; ';
3
A ADE ADE ABC
V d A ADE S d A ABC S
' ' '
4
';
27d A ABC SABC 27VABC A B C
' ' ' ' ' ' '
' ' '
23
27 23
A ADE A B C CEDB ABC A B C
A B C CEDB V
V V
V
Chọn đáp án B
E
D G M
A'
B'
C' C
B A
Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB qua điểm C'
cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số SC'
SC
A
2 B
2
3 C
5
D
(11)Đặt SC' x; 0 x
SC
Ta có:
2
2
' '
' '
' '
2 S AD C
S AD C S ADC S ABCD S ADC
V SD SC x
x V x V V
V SD SC
và '
'
'
S ABC
S ABC S ABC S ABCD S ABC
V SC x
x V xV V
V SC
2
' ' ' ' '
S ABC D S ABC S AC D S ABCD
x x
V V V V
Theo đề ta suy
2 ' '
1
2 2
S ABC D S ABCD
x x
V V
2
1
2
x x x
Chọn đáp án C
S
O
C'
D'
D A
B
C
Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' tích V Tính thể tích khối chóp A CB D ' '
A
V
B
2
V
C
3
V
D
V
Lời giải
Hình hộp cho hợp khối chóp xét với khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD' ' '; ' ; ' ' '; '; khối cuối tích
6
V
nên thể tích cần tìm
6
V V
V Chọn đáp án A
Nhận xét: Hồn tồn có thể "thử" trường hợp đặc biệt, hình hộp đặc biệt trở thành hình lập phương cạnh a dễ
thấy thể tích khối lập phương a , kh3 ối A CB D ' ' khối tứ diện cạnh a 2 thể tích tương ứng
3
2
12
a a
So sánh ta đưa kết
D'
A' B'
C' A
B
(12)Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có BC2AB SA, vng góc với đáy Gọi M điểm cạnh AD cho AMAB Gọi V V1, 2 thể tích hai khối chóp S ABM S ABC Tính
2 V V A
8 B
1
6 C
1
4 D
1
Lời giải Ta có:
1 1
2 4
ABM ABCD S ABM S ABCD
AD
S AB S V V
Mặt khác:
2
1
2
S ABC S ABCD V
V V
V
Chọn đáp án D M
D
C B
A S
í dụ 22: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc đường thẳng SA mặt đáy 60 Gọi 0 A B C'; '; ' tương ứng điểm đối xứng A B C; ; qua S. Tính thể tích khối bát diện có mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '
A a3 B
3
a
C
2
a
D
4
a
Lời giải
Thể tích khối bát diện cho ' ' ' '
1
2 2.4
3
A B C BC A SBC SBC
V V V SG S
Ta có: SA ABC; SAG60 0 Xét SGA vuông
:
G tanSAG SG SG SA.tanSAG a
SA
Vậy
2
1 3
8
3 ABC
a a
V SG S a
Chọn đáp án C
600
a
C'
B'
A'
G
A C
(13)III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N P Q, , , thuộc cạnh SA SB SC SD, , , cho
3
; ; ;
SMMA SN NB SP PC SQ SD
Tính tỉ số thể tích khối SMNPQ khối S ABCD
A
16 B
3
8 C
3
32 D
1 12
Câu 2.Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1VA BCC B ' ' V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?
A 1 2
4
V V B 1 2
2
V V C 1 2
3
V V D 1 2
3
V V
Câu 3.Cho tứ diện ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D' ' khối tứ diện ABCD bằng:
A
2 B
1
4 C
1
6 D
1
Câu 4.Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi A B C D E, , , , trung điểm AA BB CC DD EE', ', ', ', ' Khi tỉ số thể tích khối lăng trụ
ABCDE A B C D E khối lăng trụ ABCDE A B C D E ' ' ' ' '.bằng: A
2 B
1
4 C
1
8 D
1 10
Câu 5.Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy điểm A' cạnh SA cho
1 '
SA SA Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt cạnh , ,
SB SC SD B C D', ', ' Khi thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' 'bằng:
A
3
V
B
9
V
C
27
V
D
81
V
Câu 6.Cho hình chóp S ABC có 'A 'B trung điểm cạnh SA SB, Tỉ số thể thể
tích ' ' S ABC S A B C V
V bằng: A
2 B
1
4 C D
Câu 7.Cho hình chóp S ABC Gọi A' B' trung điểm SA SASB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ' ' S ABC bằng:
A
2 B
1
3 C
1
4 D
(14)Câu 8.Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D', ', ', ' trung điểm SA SB SC SD, , , Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' S ABCD bằng:
A
2 B
1
4 C
1
8 D
1 16
Câu 9.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB D' ' khối hộp
' ' ' '
ABCD A B C D bằng:
A
2 B
1
3 C
1
4 D
1
Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' , gọi O giao điểm AC BD Tỉ số thể tích khối chóp O A B C D ' ' ' ' khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:
A
2 B
1
3 C
1
4 D
1 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số
S ABC S ABCD V
V A
2 B
1
4 C
1
6 D
1 Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số
S OAB S ABCD V
V A
2 B
1
4 C
1
6 D
1 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số
S OAB S ABC V
V A
2 B
1
4 C
1
6 D
1
Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB BC AC, , Gọi
1 S ABC
V V , V2 VS MNP. Lựa chọn kết luận kết luận sau:
A V1 2V2 B V1 8V2 C V14V2 D V1 6V2
Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung
điểm SA SB Tính tỉ số thể tích
S CDMN
S CDAB V
V
A
4 B
5
8 C
3
8 D
1
Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA9; SB4; SC8 đơi vng góc Các điểm '; '; '
A B C thỏa mãn SA2SA SB '; 3SB SC '; 4SC' Tính thể tích khối chóp S A B C ' ' '
(15)Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện
' '
ACD B
A
3
3
a
B
3
3
a
C
3
4
a
D
3
4