Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện

Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằngA. Khẳng định nào sau đây đúng.[r]

(1)

TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I-PHƯƠNG PHÁP

Kết 1: Cho tam gi¸c OAB, cạnh OA chọn A'O, cạnh OB chọn B'O

Lúc đó: OA B' ' ' ' OAB

S OA OB

S  OA OB

Chøng minh:

1

2

Gọi H, H' l¯ hình chiếu vng góc A v¯ A' lên OB Lúc đó: SOA B' '  A H OB' ' ' v¯ SOAB  AH OB

Suy ra:

Định lý thales ' ' ' '. ' '. '

OA B OAB

S A H OB OA OB

S  AH OB  OA OB

H' H B'

A'

B A

O

Kết 2:

Cho h×nh chãp S ABC , cạnh SA chọn A'O, cạnh SB chọn B'O cạnh S chọn C C'O

Lỳc ú: ' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V  SA SB SC

Chøng minh:

Gọi H, H' l¯ hình chiếu vng góc A v¯ A' lên mp Lúc đó:

(SBC)

1

3 v¯ V

' ' ' ' ' ' '

S A B C SB C S ABC SBC

V  A H S  AH S

 

Suy ra:

Định lý thales V

' ' ' ' '. ' ' '. ' ' S A B C SB C

V A H S SA SB SC

AH S SA SB SC

  C' H' H

B' A'

C

B A

(2)

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích khối AA B C' ' ' khối ABCC'

A B

2 C

1

3 D

2

Lời giải

Ta có:   

 

1

' ' ' ' ' '

'

; ' ' '

;

A B C AA B C

C ABC

ABC

d A A B C S

V V

d C ABC S

 (1)

Do SABC SA B C' ' ' d A A B C ; ' ' 'd C ABC ;  nên (1): ' ' '

' AA B C

C ABC V

V 

Chọn đáp án A

A'

B'

C' B

C A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi M N, trung điểm SB SD Mặt , phẳng AMN cắt SC E Gọi V2 thể tích khối chóp S AMEN V1 thể tích khối

chóp S ABCD Khẳng định sau đúng?

A 2 1

3

V  V B 2 1

4

V  V C 2 1

8

V  V D 2 1

6

V  V Lời giải

1

SM SN SI

SB SD SO  Qua O dựng OK // AE Xét AEC: 1

2

/ /

OK AE

  

 Suy ra: K trung điểm EC

Xét SOK: 1

2 / /

IE OK

  

 Suy ra: E trung điểm SK Vậy

3

SE SC 

Ta có: 1

2

S AMEN S AME S ABCD S ABC

V V SA SM SE

V  V SA SB SC  

1

S AMEN S ABCD

V V

  hay

1

6

V  V

K I

O

E

M N

S

D C

B A

(3)

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Điểm M trung điểm AB N cạnh CD cho

2

CN ND

 

Tỉ số thể tích khối ABCD khối MNBC

A B

2 C

1

3 D

4

Lời giải Ta có:

1

2 3

1

3

;

BMCN BACN BMCN BACN

BACN BACD BACN BACD

BMCN BACD

BACD BMCN

V V V V

V V

   

   

Chọn đáp án A D

A

B

C M

N

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC Gọi M N, thuộc cạnh SB SC, cho

2

,

SMMB SN  CN

 

Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi V1VS AMN.

2 ABCNM

V V Khẳng định sau đúng? A V1 V2 B 1 2

3

V  V C 1 2

2

V  V D 1 2

3

Ta có:

2 3

S AMN S ABC

V SM SN

V  SB SC  

1

3

S AMN S ABC ABCNM S ABC

V V V V

   

Vậy

1

2

V  V Chọn đáp án C

N M

C

B A

(4)

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi M N, trung điểm BC SM, Mặt phẳng ABN cắt SC E.Gọi V2 thể tích khối chóp S ABE V1 thể tích khối chóp

S ABC Khẳng định sau đúng?

A 2 1

3

V  V B 2 1

4

V  V C 2 1

8

V  V D 2 1

6

Qua M dựng MK // BE Xét tam giác BEC:

1 / /

MK BE



 

 Suy ra: K trung điểm EC Xét tam giác SMK: 1

2 / /

NE MK



 

 Suy ra: E trung điểm SK Vậy

3

SE SC 

Ta có: 1

3

S ABE

S ABE S ABC S ABC

V SA SB SE

V V

V SA SB SC   

hay

1

3

V  V Chọn đáp án A

K E

N

M C

B A

S

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi E F, trung điểm cạnh AA' BB'

Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' E' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C' ' F'

Gọi V2 thể tích khối chóp C ABFE V1 thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?

A

1

3

V  V B

1

4

V  V C

1

8

V  V D

1

6

Hình chóp C A B C ' ' ' lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đường cao đáy nên

1 1

1

3 3

' ' ' ' ' ' ' ' C A B C ABC A B C C ABB A

V  V V V  V  V

Do EF đường trung bình hình bình hành

1

1 1

2 ' ' ' '

' ' ABFE ABB A C ABFE C ABB A

ABB A S  S V  V  V

hay

1

3

V  V Chọn đáp án A

E'

F' F E

A'

B' C' C

(5)

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC, AB, BC, SC lấy điểm M, N, P cho AM2MB,

4 ,

BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN A CPN là: A.4

3 B.

5

6 C.

8

3 D.1

Lời giải

+ 4

3 15

S BMN B MNS S ABC B ACS

V V BM BN BS

V  V  BA BC BS 

+ 1

5 10

A CPN C ANP S ABC C ABS

V V CA CN CP

V  V CA CB CS  

4 15 10

: S BMN A CNP V V

  

P

N

M

B A

S

C

Chọn đáp án C

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB6a,AC7a AD4a Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP

A

2

V  a B

14

V  a C 28

3

V  a D

7 V  a Lời giải

Ta có:

28

6

ABCD

V  AB AC AD a

Dễ thấy MNP tạo nên đường trung bình BCDchúng đồng dạng với theo tỉ số

3

1 1 1

7

2 2 4

AMNP MNP

AMNP ABCD ABCD BCD

V S

V V a

V S

      

Chọn đáp án D M

N

P D

A

B

C

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O tâm ABCD; M N, trung điểm A B' ' A D' ' Tỉ số thể tích khối A ABD' khối OMND C B' ' '

A

9 B

4

7 C

7 D

(6)

Lời giải

Do SABD SA B D' ' 'SMND C B' ' ' SB C D' ' 'SMND'B' 'B'

ABD MND

S S

 

Mặt khác ta có: 3

4 4

'

'B' ' ' ' ' ' '

A MN

MND A B D ABD A B D

S

S S S

S    

Suy ra:

4

' ' '

MND C B ABD

S  S

Ta có:   

 

1 3

' ' ' '

' ' '

';

; ' ' ' ' ABD A ABD

OMND C B

MND C B

d A ABCD S

V V

d O A B C D S



4

' ' ' ABD

MND C B S S

  Chọn đáp án B

O

N M

A'

B'

D'

C' D

A

B

C

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA a , ABC cạnh 2a Gọi

,

M N thuộc cạnh SB SC, cho SMMB SN,  2CN

 

Tính thể tích khối

AMNCB

A

3

9

a

B

3

a

C

3

9

a

D

3

a Lời giải

Ta có:  

2

3

3 1 3

3

4

ABC S ABC ABC

a a

S   a V  SA S 

Ta có:

2 3

S AMN S ABC

V SM SN

V  SB SC  

3

1 2

3

S AMN S ABC ABCNM S ABC

a

V V V V

    

2a a

S

A

B

C

M N

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA Mặt phẳng   qua M song song với ABCD, cắt cạnh SB SC SD, , N P Q, , Gọi

1 S ABCD

V V V2 VS MNPQ Khẳng định sau đúng?

(7)

Dễ thấy, N P Q, , trung điểm cạnh

, ,

SB SC SD Ta có:

1

2

2 1 1

2 2

8

S MNPQ S MNP S ABCD ABC

S MNPQ S MNP S ABCD S ABC

V V

V V SM SN SP

V V SA SB SC

V V

 

 

 

    

 

Q P

N M

S

D C

A

B

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng   chứa AM song song với BD, cắt cạnh SB SD, N P, Gọi

1 S ANMP

V V V2 VABCDPMN Khẳng định sau đúng? A V2 3V1 B 2 1

2

V  V C V2 2V1 D 2 1

2

Gọi BDAC O ; AMSO I Suy I trọng tâm SAC SBD Qua I dựng

/ /

PN BDThiết diện tứ giác ANMP

Ta có: 2 1

2 3

S ANM S ABCD S ABC

V

V SN SM

V  V  SB SC  

1 2

1

2 S ABCD S ABCD

V V V V V V

     

I

O

B A

C D

S

M

N P

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N P Q, , , thuộc cạnh SA SB SC SD, , , cho

3

; ; ;

SMMA SN NB SP PC SQ SD

   

Tính thể tích khối SMNPQ

A

3

16

a

B

3 48

a

C

3 16

a

D

3 32

(8)

Ta có:

2 4

S MNP S ABC

V SM SN SP

V  SA SB SC  

1

4

S MNP S ABC S ABCD

V V V

  

Tương tự: 1

2

S MPQ S ACD

V SM SP SQ

V  SA SC SD  

1

8 16

S MPQ S ACD S ABCD

V V V

  

Vậy

16

SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD

V V V  V

3

3 2

16 32

a a

 

Chọn đáp án D

Q

P N

M

S

D

C

A B

O

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 VA A B C ' ' ' V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?

A

3

4

V  V B

1

2

V  V C

1

3

V  V D

2

3

Ta có:   

3

' ' ' ; ' ' ' ' ' '

A A B C A B C

V  d A A B C S VABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' ' SA B C' ' ' Suy ra:

2

V

V  Chọn đáp án C

B'

C' A'

A

B

C

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M cạnh AA' cho: AM2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

V V V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng? A 1 2

4

V  V B 1 2

2

V  V C 1 2

3

V  V D 1 2

3

(9)

Do AA'/ /BCC B' 'VM BCC B. ' ' VA BCC B. ' '

Ta có:

3

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C

V  V V  V

Suy ra:

2

V

V  Chọn đáp án D

M

C

B A

A' C'

B'

Nhận xét: Điểm M có vẻ như nằm đường thẳng AA'? Kết tỉ số thể tích

đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1VBACB' V2 VABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định sau đúng?

A

5

9

V  V B

1

6

V  V C

1

3

V  V D

2

3

V  V

Lời giải

Ta có:   

3

' ; ' '

B ACB BCB

V  d A BCB S

 

1

3

1

6

' '

' ' ' ' ' ' ; ' '

; ' '

BCB C

BCB C ABCD A B C D

d A BCB C S

d A BCB C S V



 

 

Suy ra:

1

V

V  Chọn đáp án B

D

A

B

C

D'

A' B'

C'

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M trung điểm cạnh AB Gọi V1VMBCB'

2 ABCD A B C D ' ' ' '

V V Khẳng định sau đúng? A 1 2

12

V  V B 1 2

6

V  V C 1 2

12

V  V D 1 2

3

(10)

Ta có:

1 1

2 12

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D

V  V  V  V

Chọn đáp án C M

C'

B' A'

D'

C

B A

D

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB D, cắt AC E Mặt phẳng qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) chúng bằng:

A

3 B

4

23 C

4

9 D

4 27

Lời giải

Ta có: 2 3 ADE

ABC

S AD AE

S  AB AC  

Mặt khác:

 

    

'

1

'; ';

3

A ADE ADE ABC

V  d A ADE S  d A ABC S

 

  ' ' '

4

';

27d A ABC SABC 27VABC A B C

 

' ' ' ' ' ' '

' ' '

23

27 23

A ADE A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB V

V V

V

   

Chọn đáp án B

E

D G M

A'

B'

C' C

B A

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB qua điểm C'

cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số SC'

SC

A

2 B

2

3 C

5



D

(11)

Đặt SC' x; 0 x 

SC   

Ta có:

2

' '

2 S AD C

S AD C S ADC S ABCD S ADC

V SD SC x

x V x V V

V  SD SC    

và '

'

S ABC

S ABC S ABC S ABCD S ABC

V SC x

x V xV V

V  SC    

2

' ' ' ' '

S ABC D S ABC S AC D S ABCD

x x

V V V  V

   

Theo đề ta suy

2 ' '

1

2 2

S ABC D S ABCD

x x

V  V   

2

1

2

x x x  

      Chọn đáp án C

S

O

C'

D'

D A

B

C

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' tích V Tính thể tích khối chóp A CB D ' '

A

V

B

2

V

C

3

V

D

V

Lời giải

Hình hộp cho hợp khối chóp xét với khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD' ' '; ' ; ' ' '; '; khối cuối tích

6

V

nên thể tích cần tìm

6

V V

V  Chọn đáp án A

Nhận xét: Hồn tồn có thể "thử" trường hợp đặc biệt, hình hộp đặc biệt trở thành hình lập phương cạnh a dễ

thấy thể tích khối lập phương a , kh3 ối A CB D ' ' khối tứ diện cạnh a 2 thể tích tương ứng

 3

2

12

a a

 So sánh ta đưa kết

D'

A' B'

C' A

B

(12)

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có BC2AB SA, vng góc với đáy Gọi M điểm cạnh AD cho AMAB Gọi V V1, 2 thể tích hai khối chóp S ABM S ABC Tính

2 V V A

8 B

1

6 C

1

4 D

1

Lời giải Ta có:

1 1

2 4

ABM ABCD S ABM S ABCD

AD

S  AB  S V  V

Mặt khác:

2

1

2

S ABC S ABCD V

V V

V

  

Chọn đáp án D M

D

C B

A S

í dụ 22: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc đường thẳng SA mặt đáy 60 Gọi 0 A B C'; '; ' tương ứng điểm đối xứng A B C; ; qua S. Tính thể tích khối bát diện có mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '

A a3 B

3

a

C

2

a

D

4

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện cho ' ' ' '

1

2 2.4

3

A B C BC A SBC SBC

V  V  V  SG S

Ta có: SA ABC; SAG60 0 Xét SGA vuông

:

G tanSAG SG SG SA.tanSAG a

SA

   

Vậy

2

1 3

8

3 ABC

a a

V  SG S  a 

600

a

C'

B'

A'

G

A C

(13)

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N P Q, , , thuộc cạnh SA SB SC SD, , , cho

3

; ; ;

SMMA SN  NB SP PC SQ SD

   

Tính tỉ số thể tích khối SMNPQ khối S ABCD

A

16 B

3

8 C

3

32 D

1 12

Câu 2.Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1VA BCC B ' ' V2 VABC A B C ' ' ' Khẳng định sau đúng?

A 1 2

4

V  V B 1 2

2

V  V C 1 2

3

V  V D 1 2

3

V  V

Câu 3.Cho tứ diện ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D' ' khối tứ diện ABCD bằng:

A

2 B

1

4 C

1

6 D

1

Câu 4.Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi A B C D E, , , ,  trung điểm AA BB CC DD EE', ', ', ', ' Khi tỉ số thể tích khối lăng trụ

ABCDE A B C D E     khối lăng trụ ABCDE A B C D E ' ' ' ' '.bằng: A

2 B

1

4 C

1

8 D

1 10

Câu 5.Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy điểm A' cạnh SA cho

1 '

SA  SA Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt cạnh , ,

SB SC SD B C D', ', ' Khi thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' 'bằng:

A

3

V

B

9

V

C

27

V

D

81

V

Câu 6.Cho hình chóp S ABC có 'A 'B trung điểm cạnh SA SB, Tỉ số thể thể

tích ' ' S ABC S A B C V

V bằng: A

2 B

1

4 C D

Câu 7.Cho hình chóp S ABC Gọi A' B' trung điểm SA SASB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ' ' S ABC bằng:

A

2 B

1

3 C

1

4 D

(14)

Câu 8.Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D', ', ', ' trung điểm SA SB SC SD, , , Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' S ABCD bằng:

A

2 B

1

4 C

1

8 D

1 16

Câu 9.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB D' ' khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A

2 B

1

3 C

1

4 D

1

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' , gọi O giao điểm AC BD Tỉ số thể tích khối chóp O A B C D ' ' ' ' khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:

A

2 B

1

3 C

1

4 D

1 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O Khi đó, tỉ số

S ABC S ABCD V

V A

2 B

1

4 C

1

6 D

S OAB S ABCD V

V A

2 B

1

4 C

1

6 D

S OAB S ABC V

V A

2 B

1

4 C

1

6 D

1

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB BC AC, , Gọi

1 S ABC

V V , V2 VS MNP. Lựa chọn kết luận kết luận sau:

A V1 2V2 B V1 8V2 C V14V2 D V1 6V2

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung

điểm SA SB Tính tỉ số thể tích

S CDMN

S CDAB V

V

A

4 B

5

8 C

3

8 D

1

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA9; SB4; SC8 đơi vng góc Các điểm '; '; '

A B C thỏa mãn SA2SA SB '; 3SB SC '; 4SC' Tính thể tích khối chóp S A B C ' ' '

(15)

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện

' '

ACD B

A

3

a

B

3

a

C

3

4

a

D

3

4