Đối với cấp THPT thì khối đa diện, hình đa diện là một khái niệm khó đưa ra một định nghĩa chính xác và thường chỉ dừng lại ở định nghĩa có tính chất mô tả như hình học lớp 12 đã trình b[r]
(1)Khối đa diện I- Mở đầu
1) Lý chọn đề tài:
Đối với cấp THPT khối đa diện, hình đa diện khái niệm khó đưa định nghĩa xác thường dừng lại định nghĩa có tính chất mơ tả hình học lớp 12 trình bày Yêu cầu học sinh nhận biết hình đưa ra, hình hình đa diện hình khơng phải hình đa diện Với khối đa diện ta đo độ lớn phần khơng gian mà chiếm chỗ thể tích khối đa diện Sách giáo khoa có giới thiệu ba tính chất thể tích mà thực chất tiên đề thể tích Để giúp học sinh hiểu rõ hai khối đa diện sách giáo khoa có giới thiệu phép dời hình khơng gian khái niệm hai hình khơng gian Việc tính thể tích khối đa diện nội dung quan trọng việc gắn hình học với thực tiễn đời sống sản xuất
Bài tốn hình học khơng gian đề thi thường học sinh coi câu khó Nguyên nhân việc theo tơi :
+ Học sinh không nắm vững kiến thức hình học khơng gian mà học sinh học
+ Hình học khơng gian địi hỏi trí tưởng tượng khơng gian, bước vào học chưa ý hướng dẫn tận tình giáo viên nên học sinh cảm thấy xa lạ, khó tiếp cận
+ Trong q trình giải tập hình học khơng gian, học sinh khơng định hướng hướng giải toán, vấn đề địi hỏi hướng dẫn, phân dạng tốn giáo viên
Nhằm giúp bạn học sinh ôn tập tốt chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp Đại học cao đẳng, tơi xin trình bày số vấn đề khối đa diện, số dạng tốn cách giải có nội dung khối đa diện
2) Phạm vi đề tài đối tượng triển khai thực đề tài:
- Chuyên đề thực sở bám sát theo chương trình chương I hình học lớp 12 hành, nhằm giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức tốn khối đa diện thể tích phục vụ cho học sinh kì thi tốt nghiệp đại học, cao đẳng
- Chuyên đề báo cáo tổ chuyên môn áp dụng lớp 12A, 12G Trường THPT Chuyên, báo cáo tổ Toán Trường THPT Bảo lâm đợt giúp đỡ chuyên môn THPT Bảo lâm theo kế hoạch Sở GD&ĐT
3) Kết thực :
(2)II- Nội dung chuyên đề :
1) Toán liên quan đ ến số mặt, đ ỉnh, cạnh, góc khối đ a diện :
Để giải toán dạng cần khắc sâu cho học sinh tính chất hình đa diện :
- Hai đa giác khơng có điểm chung,hoặc có đỉnh chung, có cạnh chung
- Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác
Bài 1: Chứng minh số góc phẳng tất mặt khối đa diện luôn số chẵn.
Giải
Ta có số góc phẳng mặt đa giác khối đa diện (K) số cạnh đa giác Nhưng cạnh khối đa diện cạnh chung hai mặt, số góc tất mặt đa giác khối (K) gấp đôi số cạnh Đpcm
Bài 2: Chứng minh khối đa diện có tất mặt ngũ giác thì tổng số mặt số chẵn.
Giải
Gọi M, C số mặt, số cạnh khối đa diện Vì tất mặt ngũ giác nên ứng với M mặt có 5M cạnh Nhưng cạnh cạnh chung mặt nên số cạnh C = 52M , C số nguyên nên M phải số chẵn
Bài : Chứng minh đỉnh khối đa diện đỉnh chung của số lẻ cạnh khối đa diện có số chẵn đỉnh.
Giải
Gọi số đỉnh khối đa diện n Ck số cạnh qua đỉnh thứ k Khi k
C lẻ với k cạnh lại qua đỉnh nên số cạnh khối đa diện là
2
1
n
k k
C
nếu n số lẻ
n
k k
C
1 số lẻ điều vơ lí Vậy n phải số chẵn
2) Bài tốn liên quan đ ến thể tích khối đ a diện : * Dạng 1: Tính trực tiếp thể tích khối đa diện:
Phương pháp : - Dựa vào yêu cầu toán để lập cơng thức
- Tìm cách tính tốn đại lượng chưa biết cơng thức Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích khối đa diện chiều cao diện tích đáy Trong q trình tính cần lưu ý :
1- Các hệ thức lượng tam giác, đặc biệt hệ thức lượng tam giác vuông
(3)- Hình chóp có cạnh bên ( hợp với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
- Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt với đáy
- Hình chóp có mặt bên kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt
3- Với khối lăng trụ tính theo hướng trên, chia nhỏ thành nhiều khối chóp đơn giản để tính
4- Với khối đa diện phức tạp, để tính thể tích ta thường chia nhỏ thành nhiều khối chóp đơn giản để tính
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có AB = a, góc mặt bên mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp theo a.
Giải
Gọi O giao điểm AC BD I trung điểm BC, SO
(ABCD) góc SIO 600
Trong tam giác vng SIO SO = OI.tan600 = . 3 a
Diện tích đáy a2 Vậy thể tích khối chóp : V =
6
3
a (đvtt).
Bài : Cho Khối chóp tam gíc S.ABC Tính thể tích khối chóp biết : a) Cạnh đáy AB = a cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600
b) Cạnh bên SB = b Và mặt bên hợp với đáy góc
Giải
a) Gọi M trung điểm AB H chân đường cao hạ từ đỉnh S khối chóp Vì S.ABC hình chóp nên H tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có : góc SCH = 600và
4 60 sin 2 a AC AB
SABC a
CM CH
SH tan600
3 SCH tan . Vậy 12
1
a a
a
VSABC
b) Theo giả thiết ta có góc SMH = Đặt AB = x , ta tính SH theo cách :
Trong tam giác vng SHM ta có :
2 2 2 3
SC CH b x
SH (1)
Ta lại có : SH HM.tanSMHHM.tan mà
tan 6 3 x SH x CM
HM (2)
Từ (1) (2) ta
2 2 2 tan
x b x
(4)Ta có (2) tan tan b
SH Do thể tích khối chóp là:
tan 4 tan tan 2 b S SH
VSABC ABC .
Bài : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) bằng 600.Gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
(Đề TS khối A- 2009)
Hướng dẫn giải
Gọi H hình chiếu vng góc I BC Từ giả thiết suy SI vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Ta tính
2
a
IC IBBCa 5,
2 a CD AB AD
SABCD
Ta có 3
1 2
2
2 a a a
a S S S S BC
IH IBC ABCD ABI CDI
Nên a
BC S IH IBC 3
Từ
5 15
a
VSABCD (đvtt)
Bài : Cho hình chóp S.ABC có ABCvng C, AC = a, AB = 2a, SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SBC) 600.
Gọi H, K hình chiếu Alên SB SC Chứng minh AK HK và tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn giải Ta có :
SAC
BC BC AC BC
SA ,
AK BC
mà AK SC nên
SBC AK HK
AK
* Dễ dàng tính
2
2
a
SABC
Trong tam giác vng AKH, ta có
AH AH AK 60 sin
Các tam giác SAB,SAC vuông A
nên 2 2 4
1 1 1 a SA AB SA
AH (1)
2 2 2 2 2 4 1 1 1 a SA AH a SA AH a SA AC SA
AK
Suy
2
a
SA Vậy
12
3
a
(5)Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, góc C 600 Đồng thời đường chéo BC' mặt bên (BCC'B') tạo
với mặt phẳng (ACC'A') góc 300.
a) Tính độ dài AC' theo b.
b) Tính thể tích khối lăng trụ theo b.
Hướng dẫn giải Trong tam giác vng ABC ta có
AB = AC.tan600 = b 3
và
2
2
1 b2
AC AB SABC
Trong tam giác vng ABC'
b b
AB
AC' cot300 3
b) AA' AC'2 A'C'2 9b2 b2 2b
Do :
1 ' ' ' ' b AA S
VABCABC ABC (đvtt)
Bài : Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có AB = a, C'A hợp với mặt phẳng (ABB'A') góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải
Gọi H trung điểm A'B' C'H (ABB'A') từ góc C'AH 450
do đ ó C'H = C'A =
2
a suy AC' =
2
a AA' =
2 a . a
SABC Do thể tích
8 ' ' ' ' a S AA
VABCABC ABC (đvtt)
Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 hình chiếu H A (A'B'C') trùng với trung điểm B'C' Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải Ta tính A'H =
2 a ; 60 tan
'H a
A
AH
Từ tính thể tích
8 3 a AH S
V ABC (đvtt)
Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh đáy a, khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng(A'BC) 6a Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải
Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu O lên A'M Có AM BC,AA'BC BC (AA'M)
OH BC
6 )
'
(ABC OH a
OH
Đặt AA' = x, ta có MOH đồng dạng với MA'A nên a x a x a x a MA MO AA OH 6 '
' 2 2
(6)Từ thể tích :
16
'.S a
AA
V ABC
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a Góc đường thẳng BB' mặt phẳng (ABC) 600 , tam giác ABC vuông C góc BAC =
0
60
Hình chiếu vng góc củ B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a. (Đề TS Khối B - 2009) Hướng dẫn giải
Gọi M trung điể AC, H trọng tâm tam giác ABC Tính được: a BH ' , a H B a
BM
Đặt BC = x
3 tan 2 x BAC BC AC
CM
Ta có 12 16 2 2
2 BC CM a x x
BM
2 52 27 a x
suy
2 104
1BC AC x a
SABC
208 ' 3 ' ' a S H B V
VAABC BABC ABC
(đvtt)
* Dạng Sử dụng tỉ số diện tích, tỉ số thể tích : + Về tỉ số diện tích
Cho ABC B'AB,C'AC AB B B S S ABC BC B' '
; SS ABAB ACAC ABC
C
AB' ' '. '
+ Về tỉ số thể tích :
Cho hình chóp S.ABC với
SC C SB B SA
A' , ' , ' Khi
i ) VV ASAA ABC S ABC A ' '
ii) VV SASA SBSB SCSC ABC
S C B A
S '. '. '
' ' '
Lưu ý công thức i) mở rộng cho hình chóp đa giác
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA' = 2a , A'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳngA'C', I giao điểm AM A'C Tính thể tích khối tứ diện IABC. (TS -D-2009)
Hướng dẫn giải Ta tính ACa 5,BC2a
(7)AM IA
3
Vậy
3 ABC M ABC I V V ' 3 a a a a V V
VIABC MABC A ABC
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có ABC = BAD = 900, CAD =
a AC a
AB , ,
1200
a
AD3 Tính thể tích tứ diện đó.
Hướng dẫn giải Lấy MAC,NAD cho AM = AN = a
Ta có ,
2 a BN a AC
BM
2
2
2 AM AN 2AM.AN.cosMAN 3a
MN
3
a MN
Do tam giác BMN vng B
Vì AB = AM = AN nên hình chiếu A lên (BMN) tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN, H trung điểm MN
Có 61
AD AN AC AM AB AB V V ABCD ABMN 3
1 2
AH S a a aa
VABMN BMN
2 12 3 a V a ABCD
(đvtt)
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC,
mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Hướng dẫn giải
Gọi P giao điểm MN SD, Q giao điểm BM AD Khi P trọng tâm SCM , Q trung điểm MB
Ta có : 61
MB MQ MC MD MN MP V V MBCN MDPQ MBCN DPQCNB V V
(8)ABCD S DBCS
DBCN
MBCN V V V
V
BCN D
d BCN
M d
2
)) (
, ( )) (
, (
Từ VDPQCNB 12VS.ABCD
7 12
SABNPQ DPQCNB
ABCD S SABNPQ
V V
V V
Trên số tập có hướng dẫn giải thực theo phương pháp nêu lên, qua thực giảng dạy chuyên đề cho lớp 12A, 12G học sinh nắm vững cách giải số toán liên quan đến khối đa diện cuối sau số tập áp dụng bạn tự giải theo phương pháp trình bày
Bài 1: Chứng minh khối đa diện mà mặt có số cạnh là một số lẻ số mặt khối đa diện phải số chẵn.
Bài 2: Chứng minh khối đa diện tổng số đo góc tất cả các mặt c m2 , c m số cạnh số mặt khối đa
diện.
Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có SA = x cạnh cịn lại Tính thể tích khối chóp tìm x để thể tích lớn nhất.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC,ABD cạnh a, ACDBCDTính thể tích khối tứ diện.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Gọi M N trung
điểm AB BC Tính thể tích VS.BMDN.
Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác Biết A'A = AB = a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt bên (A'AB) (A'AC) hợp với đáy (ABC) góc 600
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt phẳng (A'AB), (A'BC), (A'CA) hợp với đáy (ABC) góc 600 , góc ACB = 600, ABa 7,AC2a Tính
' ' ' ABC ABC
V .
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đề a Gọi M P lần lượt trung điểm SA SC, mặt phẳng (DMP) cắt SB N Tính VS.DMNP.
Bài 9: Trên cạnh SA, SB tứ diện SABC lấy điểm M, N cho
1
MA SM
, 2 NB SN
Một mặt phẳng qua MN song song với SC chia tứ
diện làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng qua AB cắt SC, SD M, N Tính
SC SM
để mặt phẳng
(9)Bài 11: Cho tứ diện ABCD; điểm M, N, P thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP; mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị phân chia mặt phẳng (MNP).
Bài 12:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N, P thuộc các đoạn A'A, BC, CD cho A'A = 3A'M, BC = 3BN, CD = 3DP mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần Tính thể tích phần.
KÕt ln- kiÕn nghÞ
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy thu đợc số kết định sau :
1) Học sinh nắm vững đợc số phơng pháp biết vận dụng dạng xác định đợc yếu tố cần thiết giải tốn tính thể tích
2) Một số đề thi đại học, học sinh lớp chuyên tốn sử dụng phơng pháp trình bày đề tài để giải toán cách thục
3) Là nội dung tham khảo cho học sinh thầy cô giáo
4) Qua ni dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dạng toán khác khối đa diện
(10)tìm hiểu sâu mối quan hệ lý thuyết tập hình học Qua ta tìm đợc phơng pháp giải, xây dựng lớp toán bc THPT
Tài liệu tham khảo 1) Hình học lớp 12- Nhà xuất giáo dục
2) Nguyễn Văn Minh- Đặng Phúc Thanh : Rèn luyện giải toán Hình học 12- Nhà xuất giáo dục
(11)(12)Sở giáo dục đào tạo Cao Bằng Trờng THPT Chuyờn
Chuyờn :
Một số dạng toán khối đa diện
Họ tên : Nông Văn Truyền
Đơn vị : Tổ Toán -Trờng THPT Chuyên
(13)