Đang tải... (xem toàn văn)
+Nếu nhìn SCDE là hình chóp tam giác S.CDE có mặt đáy CDE là tam giác vuông tại E, ta có ngay trục d đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE, khi đó ta tìm trục d’ đường tròn[r]
(1)P
A1
A2
A3
A4 O
S
H PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
A LỜI MỞ ĐẦU
Bài tốn mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xuất nhiều đề kiểm tra, các đề thi vào đại học Qua thực tế giảng dạy thấy rằng: Nhiều học sinh tỏ lúng túng gặp tốn có liên quan đến mặt cầu
Bài viết trao đổi với em bạn đồng nghiệp vài kỹ thuật giải tốn thơng qua ví dụ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Các vấn đề thường gặp liên quan đến tốn mặt cầu ngoại tiếp hình chóp kiểu như:Chứng minh điểm nằm mặt cầu? Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp? Hay tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp?
B NỘI DUNG I. Cơ sở lí thuyết
Định lí:
Điều kiện cần đủ để hình chóp SA1A2…An có mặt cầu ngoại tiếp đa giác
đáy A1A2…An phải đa giác nội tiếp
Chứng minh: 1. Điều kiện cần:
Giả sử tồn mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An , tức ta có OS=OA1=OA2=…=OAn (1)
Kẻ OH vng góc mặt phẳng đáy (A1A2…An ) HA1=HA2=…=HAn (2)
(2)2. Điều kiện đủ
Giả sử A1A2…An đa giác nội tiếp Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy Qua H dựng đường thẳng vng góc (A1A2…An ) Vẽ mặt phẳng
trưng trực (P) cạnh hình chóp ( chẳng hạn cạnh SA1)
Do không song song (P) nên giả sử (P) =O Khi ta thấy OA1=OA2=…=OAn, OA1=OS
Từ suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác SA1A2…An
Chú ý: Từ định lí ta rút kết luận sau:
Nói riêng hình chóp tam giác (tứ diện), hình chóp đều, có mặt cầu ngoại tiếp
II. Các phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài tốn: Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An
Phương pháp 1: Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An
- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.( đường
thẳng qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy.)
- Vẽ mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên hình chóp - Giả sử I= (P) I tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng
Lưu ý:
a) trường hợp sau mặt phẳng trung trực thay đường trung trực
+ Khi hình chóp (vì qua đỉnh S)
+ Khi hình chóp có cạnh vng góc với mặt phẳng đáy
b) Có thể phát trục dựa vào tính chất số hình chóp đặc biệt chứng minh thay dựng
(3)Phương pháp 2: Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An
- Dựng trục 1 đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.(
đường thẳng qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy.)
- Dựng trục 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên cho 1
đồng phẳng
- Giả sử I=1 2 , I tâm mặt cầu ngoại tiếp
Phương pháp 3:
Ta chứng minh đỉnh hình chóp nhìn hai đỉnh cịn lại hình chóp góc vng tất đỉnh hình chóp nhìn hai điểm góc vng
Phương pháp 4: Trong khơng gian ta dự đốn điểm đặc biệt I chứng minh I cách đỉnh hình chóp
III. Cách xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình chóp đặc biệt
1 Trường hợp hình chóp có cạnh bên
Giả sử SA=SB=SC=SD Ta dựng SO(ABCD). Trong tam giác SAO kẻ trung trực SA cắt SO I; Ta I tâm mặt cầu ngoại tiếp
Trường hợp để tính bán kính ta sử dụng tứ giác nội tiếp đường tròn Cụ thể ABCD nội tiếp đường trịn có AB cắt CD M, MA.MB=MC.MD
(4)- Xác định trục đường tròn ngoại tiếp mặt vng góc đáy - Giao hai trục đường trịn tâm đường trịn ngoại
3 Trường hợp hình chóp có cạnh vng góc với đáy Giả sử SA vng góc (ABCD)
- Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp đáy, d song song SA
- Xác định trung trực cạnh bên SA cắt d I I tâm mặt cầu ngoại tiếp
Để tính bán kính ta sử dụng định lý Pitago tam giác vng IV. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA=a, đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a, AD=2a Gọi E trung điểm AD.Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp SCDE theo a
Phân tích tốn:
+Nếu nhìn SCDE hình chóp tam giác S.CDE có mặt đáy CDE tam giác vng E, ta có trục d đường trịn ngoại tiếp tam giác CDE, ta tìm trục d’ đường tròn ngoại tiếp tam giác chứa mặt bên hình chóp cho d d’ đồng phẳng tìm hay dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp, trường hợp khơng nên dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên bất kì, cạnh bên hình chóp khơng đồng phẳng với d
(5)O1 A D B C S E N O M I O1 A D B C S E N O M I P
Từ ví dụ dụ có cách giải sau Cách giải thứ Tam giác CDE vuông E nên gọi O trung điểm CD d đường thẳng qua O song song SA d trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE
Gọi M, N trung điểm AB SC Ta chứng minh MN trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SEC
Thật
CESE nên N tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác SCE
MN CE MN (SCE) MN SC
Dễ dàng chứng minh MN d cắt nhau,
gọi IMNd, I tâm mặt cầu ngoại tiếp SCDE Bán kính R=IC= 2
OI OC ,
trong OC=a
2 ,
OI OM 3a
3 OI
O1N O1M , Suy R= a 11
2
Cách giải thứ hai Gọi M, N, P trung điểm AB, SC SE, ta có AMNP hình bình hành (AMNP) mặt phẳng trung trực SE,
APSE ( Tam giác ASE cân A) NPSE ( NP//AB, ABSE)
Gọi O trung điểm CD ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CDE
(6)A
D
B C
S
E
O
P
E
S
D C
O M
I MN (AMNP) cắt d I, ta I tâm
mặt cầu ngoại tiếp SECD Bán kính R=IC= 2
OI OC
Trong OC=a
2 ,
OI OM 3a
3 OI
O1N O1M Suy R= a 11
2
Cách giải thứ ba:
Nếu nhìn tứ diện SECD hình chóp C.SED ta có đường cao CE mặt đáy tam giác SED,
có góc SED > 900
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SDE d trục đường tròn ngoại tiếp đáy SDE, Khi d// CE
Dựng mặt phẳng trung trực (P) CE qua trung điểm M CE cắt d I Ta I tâm mặt cầu ngoại tiếp CSDE
Bán kính R= IE= 2
EM OE
Với R1= OE bán kính đường trịn ngoại tiếp
tam giác SED
Tam giác SED có ED=a, SE=a 2,SD=a Theo định lí hàm số cơsin ta tính góc SED=1350
Theo định lí hàm sin R1=
SD a 10
2 sin E Suy R=
(7)A D
B C
S d
P
E
F I
Vídụ 2: Cho hình S.ABCD, đường cao SA=2a đáy ABCD hình thang cân đáy lớn AD=2a, AB=BC=CD=a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Phân tích tốn
+Hình chóp SABC có SA đường cao nên theo phương pháp giải có thể sử dụng phương pháp dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC Có trục đường tròn ngoại tiếp đáy song song SA chọn mặt phẳng trung trực cạnh SA, xác định thêm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC xong
+ Đáy hình thang cân với AD=2a, AB=BC=CD=a nên ta nghĩ đến việc xem xét quan hệ vng góc từ số liệu tốn định lí đường vng góc để chứng minh A,B,C nhìn SD góc vng
Từ ta có cách giải sau:
Cách giải thứ nhất Gọi E,F trung điểm AD BC có BE trung trực AC EF trung trực BC nên E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong mp(SAD) đường thẳng d qua E song song SA trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi (P) mặt phẳng trung trực SA
khi (P) d I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC
Bán kính 2
RIA AE IE a
Cách giải thứ hai Ta có SAAD
Gọi E trung điểm AD EC=ED=EA=a nên ACCD suy SCCD
(8)A C
B S
A' B'
C' Do A,B,C,S,D nằm trêm mặt cầu đường kính SD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC R=SD
2 =a
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc mặt phẳng (ABC) AC=b, AB=c, góc BAC Gọi B’, C’ hình chiếu vng góc A lên SB,SC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu theo b,c
Cách giải thứ nhất
Gọi AA’ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi ACA’C, ABA’B
Ta chứng minh AC’A’C’: SAA’C ( SA(ABC)) ACA’C
A’C AC’ Mà AC’SC
AC’ A’C’
Tương tự AB’ A’B’
Như B,C,B’,C’ nhìn AA’ góc vng nên A,B,C,C’,B’ thuộc mặt cầu đường kính AA’
Tính bán kính: Gọi R bán kính mặt cầu qua A,B,C,C’,B’ R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong tam giác ABC:
BC2=AB2+AC2-2AB.AC cosA = 2
2 cos
c b bc 2
2 cos
BC b c bc
Trong tam giác ABC: sin
BC R A
2
2 cos
sin
b c bc
R
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp A.BCC’B’ I trung điểm AA’ bán kính
2
2 cos
sin
b c bc
R
(9)O
A C
B S
d2
d1 C'
B' trung trực d2 AB, tam giác ACC’ vuông C’ nên
trong mp(ABC) dựng đường trung trực d1
AC
Gọi Od1d2 ta có OA=OB=OB’=OC=OC’ nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCC’B’ đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bán kính R=OA Trong tam giác ABC:
2 sin
BC R A
2
2 cos
sin
b c bc
R
V. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA=SB=a mặt phẳng (SAB) vng góc (ABCD) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD Bài 2: Cho tứ diện ABCD biết AB=BC=AC=BD=a AD=b, hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 3:Cho chóp SABC có SA vng góc đáy SA=a, AB=b, AC=c Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp trường hợp sau:
a) Góc BAC 900
b) Góc BAC 600 b=c c) Góc BAC 1200 b=c