Hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trụ tọa độ không gian

G ợ i ý: Bản chất Bài toán toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O và song song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) một góc lớn nhất... G ợ i[r]

HIỂU RÕ BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA BÀI TỐN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN ĐỂ GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Để giải nhanh tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian, cần tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( sốđo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính tốn cịn vài dòng đơn giản kết Sau các toán cực trị thường gặp , chất hình học cơng thức giải nhanh tốn

Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d cách điểm M∉d khoảng lớn

Giải: Gọi hình chiếu vng góc M mặt phẳng d H, K Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng đoạn

MH ≤MK Vậy MH lớn H trùng K Hay mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng chứa M d Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n=ud;AM,ud, A∈d

Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng :

2 1

x y z

d − = = +

− cách M(2;1;1) khoảng lớn

Giải: Ta có ud =(2;1; ,− ) A=(1; 0; 2− )⇒ AM =(1;1;3) Vậy n=ud;AM,ud= − − −( 6; 6; 18) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: (x−1)+y+3(z+2)=0⇔x+y+3z+ =5 0

Ví dụ 2: Viết phương trình mp qua điểm A(1; 2;1− ), song song với đường thẳng : 1 2 2 x y

d = − =z

cách gốc tọa độ khoảng lớn

Gợi ý: n=u OA ud; , d, phương trình mặt phẳng 11x−16y+10z−53=0

Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng ( )Q : 2x−y+ − =z 1 0 cách điểm 1; 0;

2 M 

  khoảng lớn

Gợi ý: Bản chất mp cần tìm qua đường thẳng cố định qua O vng góc với (P) Nến véc tơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm n=n( )Q ,OM;n( )Q 

Ví dụ 4: Tìm a để khoảng cách từ M(1; 2; 2− ) đến mặt phẳng ( ) (P : 1−a x) +(2 3− a y) +az+ −1 a=0lớn

d

M

Gợi ý: Ta áp dụng cơng thức khoảng cách trực tiếp mp cho chứa đtường thẳng cố đinh

2

:

3

x y d

x y z − + =

 

− − + − =

 , ud =(2;1;5) qua A(−1; 0; 0), khoảng cách lớn

; ;

P d d

n =u AM u , từ ta tìm a=2

Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’ không song song với d) góc lớn

Giải: Lấy K điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song với d’ Gọi H I hình chiếu vng góc M (P)

d Khi sin(d';( )P ) cosKMH MH MI KM KM

= = ≤ Vậy góc

giữa d (P) lớn H trùng I, hay (P) mặt phẳng nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’

Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P cần tìm n=u ud; d';ud Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa : 1

2

x y z

d − = + = − tạo với đường thẳng

1

:

1

x y z

d′ + = = − góc lớn

Giải: Ta có n=u ud; d';ud=(3; 12;3− ) (P) qua điểm A(1; 1; 2− ) nên có phương trình (x−1)−4(y+1) (+ z−2)=0⇔x−4y+ − =z 7 0

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng qua O vng góc với mặt phẳng ( )P : 2x+y− − =z 1 0 tạo với trục Oy góc lớn

Gợi ý: Bản chất không thay đôi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n=nP;j;nP= −( 2;5;1) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 2x−5y− =z

Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng qua O, song song với đường thẳng :

2

x y z

d − = = − tạo

với mặt phẳng ( )P :x+2y− + =z 1 0 góc nhỏ

Gợi ý: Bản chất Bài tốn tốn tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O song song với d) tạo với đường thẳng b vng góc với mp(P) góc lớn Vậy véc tơ pháp tuyến mp

(P)

d'

d

M

H K

cần tìm n=u nd; P;ud= −( 12; 27;17− ), nên phương trình mặt phẳng cần tìm 12x+27y−17z=0

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(1; 2; ,− ) B(2;1;3) tạo với trục Ox góc lớn

Gợi ý: Mặt phẳng cần tìm qua AB, mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước Vậy

( )

; ; 17; 1; 4 n=AB i AB= − −

Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng ( )P cho trước cách điểm M cho trước khoảng nhỏ ( AM khơng vng góc với (P))

Giải: Gọi H K hình chiếu vng góc M (P) d Dễ thấy d M d( ; )=MK ≥MH Khoảng cách nhỏ K ≡H Hay d đường thẳng qua A hình chiếu H M (P)

Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm

( ); ; ( )

d P P

u =n AM n 

Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O , nằm mặt phẳng ( )P : 2x− + =y z 0 cách điểm M(1; 2;1) khoảng nhỏ

Giải: Ta có véc tơ phương đường thẳng cần tìm ud =n( )P ;OM;n( )P = − −( 4; 13; 5− ) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm

4 13

x y z = =

Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1; 2), vng góc với đường thẳng

1

:

2

x y z

a + = = − cách gốc tọa độ O khoảng nhỏ

Gợi ý: Bản chất d đường thẳng qua A nằm mặt phẳng cố định ( qua A vng góc với a) Nên véc tơ phương ud =u OA ua; ; a

Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d qua O song song với mặt phẳng ( )P : 2x−y− + =z 1 0 cách điểm M(1; 1; 2− ) khoảng nhỏ

Gợi ý: Bản chất d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng cố định ( qua O song song với (P)) Nên véc tơ phương ud =n( )P ;OM;n( )P 

d

M

H K

Ví dụ 12: Tìm cặp số nguyên dương (a, b ) nhỏ để khoảng cách từ O đến đường thẳng

( )

( )

1

:

1 2

x a at

d y b bt a

z a b a b t

 = + + 

= + + ≠

 

= + − + −



nhỏ

Gợi ý: Đường thẳng d cho qua điểm cố định A(1; 2;1) ud =(a b; ; 2a b− )⊥n(2; 1; 1− − ) nên d nằm mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến n Vậy véc tơ phương đường thẳng

cần tìm ud =n OA; ;n= − −( 8; 11; 5− ) Vậy ta phải có 11

8 11

a a b a b

b =



−

= = ⇒ 

=



Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước, nằm mặt phẳng (P) cách điểm M ( M khác A, MA khơng vng góc với (P)) khoảng lớn

Giải: Gọi H , K hình chiếu vng góc M (P) d Khi ta dế thấy d M d( ; )=MK≤MA, khoảng cách d M d( ; ) lớn K trùng A, hay d đường thẳng nằm (P), qua A vng góc với AM

Đường thẳng d cần tìm có véc tơ phương ( );

d P

u =n AM

Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm (1;1; 1)

A − cho trước, nằm mặt phẳng ( )P : 2x− − =y z 0và cách điểm M(0; 2;1) khoảng lớn

Giải: Ta có véc tơ phương đường thẳng cần tìm u=AM n; ( )P =(1;3; 1− ) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 1

1

x− y− z+

= =

−

Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vng góc với đường thẳng

1 :

2

x y z

d − = =

− − cách điểm M(2;1;1) khoảng lớn Gợi ý: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm

1;

d

u=u AM

Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 0; 2), song song với mặt phẳng ( )P : 2x−y+ − =z 1 0 cách gốc tọa độ O khoảng lớn

Gợi ý: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm u=OA n; ( )P 

d

M

H K

Ví dụ 16: Tìm a để đường thẳng ( )

: 2

1

x a at

d y a a t

z t = − +

 

= − + + −

 

= +



( a tham số ) cách điểm 1;1; M 

 

khoảng lớn

Gợi ý: Dựa vào phương trình tham số đường thẳng d cho, ta thấy d qua điểm cố định A(1; 0;3) ( ứng với t=2) vuông góc với đường thẳng có véc tơ phương u1 =(1;1; 1− ) Do véc tơ phương đường thẳng d khoảng cách từ M đến lớn 1; 2; 3;

2 d

u =u AM= − 

  Vậy

ta có: 1

1

2

2

a a

a −

= = ⇔ =

−

Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) điểm A∈( )P , đường thẳng d( d cắt (P) d khơng vng góc với (P)) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, nằm (P) tạo với d góc nhỏ nhất

Giải: Từ A vẽ đường thẳng AM//d Gọi H, I hình chiếu vng góc M (P) d’ Ta có

( )

cos d d; ' cosMAH MH MI AM MA

= = ≤ Vậy góc (d;d’) bé

khi I trùng H Hay d’ qua A H, hay d’ qua A song song với hình chiếu vng góc d (P)

Véc tơ phương đường thẳng d’ cần tìm

( ); ( );

d p P d

u ′=n n u 

Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O , nằm mặt phẳng ( )P : 2x+y− =z 0 tạo với đường thẳng : 1

2

x y z

d = − = +

− góc nhỏ

Giải: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm ua n( )p; n( )P ;ud ( 10; 7; 13)

  

=  = − − Vậy

phương trình đường thẳng cần tìm là:

10 13

x y z

= =

− −

Ví dụ 18: Viết phương trình đường thẳng qua O, vng góc với đường thẳng : 1

2

x y z

d − = − = +

và tạo với mặt phẳng ( )P :x− +y 2z− =1 0 góc lớn

Gợi ý: Bản chất Bài toán toán 5, với véc tơ phương đường thẳng cần tìm ( )

; ;

d P d

u=u n  u 

(P)

d

d'

M

H A

Ví dụ 19: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, cắt đường thẳng :

1

x y z

d = − = tạo

với trục Oy góc nhị

Gợi ý: Bản chất đường thẳng cần tìm qua O nằm mp O d( ; ) Do véc tơ phương cần tìm u=n(O d; ), j;n(O d; )

Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( )P điểm A∈( )P đường thẳng d cắt (P) điểm khác M khác A Viết phương trình đường thẳng d’ nằm (P), qua A khoảng cách d d’ lớn Giải: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d song song với d’ Khi d d d( ; ')=d(( )Q d; ')=d A Q( ,( )) Theo toán 1, khoảng cách lớn n( )Q =ud;ud;AB,B∈d Khi d’//(Q) d’ nằm (P), nên ud' =n( )Q ;n( )P 

Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm ud′=n( )P ;ud;ud;AB,B∈d

Ví dụ 20: Cho mặt phẳng ( )P : 2x+y+ − =z 3 0,A(0; 2;1) đường thẳng :

1

x y z

d′ − = = Viết

phương trình đường thẳng d qua A, nằm (P) khoảng cách d d’ lớn

Giải: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d’ cách A khoảng lớn Khi ta có: B(1; 0; 0)∈d', ( )Q d ; d;

n =u ′ u ′ AB = −( 10; 4; 2), véc tơ phương cuat đường thẳng d cần tìm ( ); ( ) (2;14; 18)

d Q P

u =n n = − Phương trình đường thẳng d là:

1

x y+ z−

= =

−

Bài toán 7: Cho mặt phẳng ( )P đường thẳng d/ /( )P Viết phương trình đường thẳng d′/ /d và cách d khoảng nhỏ

Giải: Gọi A điểm thuộc d, A’ hình chiếu A (P) Khi đường thẳng d’ cần tìm qua A’ song song với d

Ví dụ 21: Cho mặt phẳng ( )P : 2x−y+ + =z 1 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm mp(P), song với mặt phẳng ( )Q :x−2y+ + =z 2 0 cách gốc O khoảng nhỏ

Gợi ý: Đường thẳng d cần tìm qua hình chiếu O’ O mp(P) có véc tớ phương ( ); ( )

d P Q

u =n n 

Giải: Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n=AM

Ví dụ 22: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 0; 2− ) cách điểm M(2;1;1)một khoảng lớn

Giải: Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n=AM =(1;1; 3− ) Do phương trình mặt phẳng cần tìm (x−1)+y−3(z+2)=0⇔x+y−3z− =7 0

Bài tốn 9: Các tốn khác địi hỏi cần có trực giác hình học để giải nhanh

Ví dụ 23: Cho đường thẳng : 1

2

x y z

d − = = − , viết phương trình đường thẳng d’ song song với d,

cách d khoảng cách điểm K(−3; 4;3) khoảng lớn nhất, nhỏ

Giải: Giả sử mp(P) qua K vng góc với d cắt d I, d’ M Khi ta có IM =3, mp(P): ta cần tìm M thuộc đường trịn tâm I, bán kính R=3 cách K khoảng nhỏ nhất, lớn

Gọi I(1 ; ;1 2+ t t + t), KI =(4 ;+ t t−4; 2 ,− + t u) d =(2;1; 2), KI u. d =0⇔ =t 0 Vậy I(1; 0;1) IK =6>3 Dễ thấy KM nhỏ M trùng E, KM

lớn M trùng F Để tìm E x y z( ; ; ) ta dùng véc tơ

( )

1

1; 2; 2

IE= IK ⇔E= −

Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K khoảng nhỏ

nhất 2

2

x+ y− z−

= = Tương tự phương trình

đường thẳng d’ cách K khoảng lớn

2

x− y− z

= =

Ví dụ 24: Cho đường thẳng : 3

2 1

x y z

d − = − = −

− Viết phương trình đường thẳng d’ song song với

d, cách d khoảng cách đường thẳng :

1

x− y x−

∆ = =

− khoảng nhỏ ( lớn )

Giải: đường thẳng d’ cần tìm đường sinh mặt trụ trịn xoay có trục d, bán kính R= Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ song song với d Dễ dàng thấy ngay, d’ giao mặt trụ với mặt phẳng (Q) chứa d vng góc với (P) ( trường hợp (P) không cắt mặt trụ )

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n( )P =u ud; ∆=(3;3;3) Phương trình mặt phẳng (P)

3

x+y+ − =z Lấy I(3;3;3)∈d, hình chiếu I (P) H(1;1;1), IH =2 Gọi

F I E K

( ; ; )

M x y z giao điểm IH với mặt trụ ( gần (P)) Ta có: (2; 2; 2)

IM = IH ⇒M Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm qua M 2

2 1

x− y− z−

= =

−

Ví dụ 25: Cho đường thẳng

3 2

: 2

2

x t

d y t

z t

= +

 

= +



 = +



Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách d

khoảng R=2 2 cách M(0;1; 2) khoảng nhỏ ( lớn nhất)

Giải: Gọi (Q) mp qua M vng góc cắt d I Giả sử đường thẳng qua M vng góc với (P) cắt (P) A Gọi B hình chiếu vng góc I (P) Ta thấy điểm I, M,

B, A thuộc mp(Q) IB=d d P( ,( ))=R, d M( ;( )P )=MA Ta tìm I(1;1;1) IM = 2<R

Dễ thấy MA MI+ ≥IE=IB⇒MA≥IB−MI, MA nhỏ A trùng B trùng E Để tìm E ta sử dụng véc tơ

( )

2 1;1;3

IE= IM ⇔E − Mặt phẳng (P) qua E có véc tơ pháp tuyến

( )

; 1; 3;1

d

n=u IM= − , nên có phương trình là:

( ) ( ) ( )

1 x+1 −3 y−1 +1 z−1 =0⇔x−3y+ + =z 3 0 Trường hợp khoảng cách từ M đến (P) lớn mp(P) qua F có véc tơ pháp tuyến

Nhận xét: Nếu IM >Rthì khoảng cách từ M đến (P) lớn (P) qua M, khoảng cách lớn (P) qua F

Ví dụ 26 Cho mặt cầu ( ) ( )2 ( )2 2

:

S x+ + y− +z = điểm A(3; 0; 0), B(4; 2;1) Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ biểu thức MA+2MB

Giải: Gọi M a b c( ; ; )thuộc mặt cầu (S), ta có: ( )

2 2 2 2 2 2

3 6 9

MA= a− +b +c = a +b +c − a+

( )

2 2

4a 4b 4c 6a 9 2a 8b

= + + − + − − − + 2

4a 4b 4c 24b 36

= + + − +

( )2

2 2 2

2 a b c 6b 9 2 a b 3 c 2MB′

= + + − + = + − + = với B′(0;3; 0) Dễ dàng kiểm tra thấy B’ nằm mặt cầu, B nằm mặt cầu, M nằm mặt cầu, MA+2MB=2(MB′+MB) nhỏ B’, M, B thẳng hàng, hay giá trị nhỏ 2BB′ =4 2

Câu 1: Cho mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z 1 0 đường thẳng

1

: 1

1

x t

d y t

z t = +   = +   = − 

Gọi d’ đường thẳng nằm

trong (P), song song với d khoảng cách d d’ nhỏ Hỏi d’ qua điểm sau đây?

A 2; ;

3 3

M− − 

  B

4 ; ; 3 M 

  C

2 ; ; 6 M 

  D

2

; 1;

3

M − − 

 

Câu 2: Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A(1; 0;1 ,) B(2;1;3) cách gốc tọa độ O khoảng lớn (P) qua điểm sau đây?

A M(0; 2; 1− ) B M(1;1;1) C M(3; 2;1) D M(−1;1;1) Câu 3: Gọi d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng (Oyz) cách điểm M(1; 2;1− ) khoảng nhỏ Tính góc d trục tung

A arccos2

B arccos

C arccos

D arccos

Câu 4: Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng

2

: 1

2

x t

d y t

z t = +   = −   = 

tạo với trục Oz góc lớn Hỏi

mp(P) qua điểm đây?

A M(1;3; 2) B M(2;1;0) C M(4;1;1) D M(1;1;1)

Câu 5: Cho đường thẳng

( )

( )

:

1

x at

d y bt t R

z a b t

 =  = ∈   = − + 

( a, b tham số biết) Biết khoảng cách

giữa d Ox lớn Tính a b

A a 0

b =

B

2 a b = −

C

2 a b =

D a 4

b = −

Câu 6: Cho đường thẳng

1 : 2 1 x t d y z t = +   =   = + 

Gọi d’ đường thẳng qua điểm I(1; 2;1) tạo với d góc

0

30 cách điểm J(0;0; 2− ) khoảng nhỏ Một véc tơ phương d’là:

Câu 7: Cho hai điểm A(0; 0;3), B(1; 4; 0) mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−8y+2z+ =9 0 Gọi M thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ MA−2MB

A 2 2 B 3 2 C 6 D 3 6

Câu 8: Gọi d đường thẳng qua O song song với mặt phẳng ( )P : 2x+3y− + =z 1 0 tạo với trục Ox góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây?

A M(5; 3;1− ) B M(2; 3; 1− − ) C M(4;6; 2) D M(5; 6;1− ) Câu 9: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 2; 0) nằm mặt phẳng (xOy) cách điểm

(2;1;1)

B khoảng lớn Tìm véc tơ phương d

A u=(1; 2; 0) B u=(1; 1; 0− ) C u=(1;1; 0) D u= −( 2;1; 0)

Câu 10: Gọi (P) mặt phẳng qua O song song với đường thẳng : 1

2

x y z

d = − = + cách điểm

( 1; 2;3)

A − khoảng lớn Hỏi (P) song song với đường thẳng sau đây?

A

2

x− y z

= =

− −

B

3 12

x+ y z+

= =

−

C 1

1

x+ y− z+

= =

−

D

1

2

x+ y z

= =

− − −

Câu 11: Cho đường thẳng

2

: 2

2

x t

d y t

z t

= +

 

= +



 = +



điểm M(2; 4; 1− − ) Gọi d’ đường thẳng song song với d

và cách d khoảng R= 2 cách điểm M khoảng nhỏ Hỏi d’ qua điểm đây?

A K(3; 2;3) B K(0; 2;5− ) C K(3;1; 2) D

Câu 12: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 2; 4), nằm mặt phẳng (P) 2x+y− =3 tạo với trục Oy góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây?

A M(−1;6; 4) B M(− −1; 6; 4) C M(−1; 6; 4− ) D M(1; 2;6) Câu 13: Cho mặt phẳng ( )P : 2x+ + − =y z 4 0,A(1;1;1) Gọi d đường thẳng qua A nằm (P) cách O khoảng nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây?

Câu 14: Gọi d đường thẳng qua A(1; 2;1− ), vng góc với trục Oy, tạo với đường thẳng 2

: 2

1

x t

d y t

z t

= −

 

=



 = +



một góc nhỏ d nhận véc tơ làm véc tơ phương?

A u=(1; 0; 2) B u= −( 1; 2; 1− ) C u=(1; 0;1) D u= −( 1; 0;1) Câu 15: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 2; 4− ), song song với mặt phẳng x+y− + =z tạo với Oy góc lớn Góc d Ox là:

A 600 B 300 C 450 D arccos

3

Câu 16: Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng

1 :

2 2

x t

d y t

z t

= +

 

=

 

= +



cách A(1; 1;1− ) khoảng lớn

nhất Hỏi (P) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến?

A n=(3;1; 2− ) B n=(1; 1; 0− ) C n=(0; 2;1− ) D n=(1;1; 1− ) Câu 17: Gọi (P) mặt phẳng chứa trục Ox, tạo với đường thẳng : 1

2

x y z

d − = + =

− góc lớn Hỏi mp(P) qua điểm đây?

A A(3; 1;1− ) B A(1;3; 4) C A(1; 2;1) D A(−1;1; 2) Câu 18: Gọi d đường thẳng qua A(1; 2; 1− ) vng góc với trục Ox cách điểm M(2;1; 2− ) khoảng nhỏ Một véc tơ phương d là:

A u=(3; 2;1− ) B u= −( 1; 2;1) C u=(0; 2; 1− ) D u=(0;1;1) Câu 19: Gọi (P) mặt phẳng qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng ( )Q : 2x− − + =y z 1 0 tạo với trục Oz góc lớn Hỏi (P) qua điểm đây?

A M(−2;1;1) B M(1; 2; 1− ) C M(1;1;1) D M(1; 1;1− )

Câu 20: Gọi d đường thẳng qua gốc tọa độ O vuông góc với đường thẳng :

2

x y z

d + = − = − cách điểm A(2; 1; 1− − ) khoảng lớn Hỏi d qua điểm sau đây?

Câu 21: Cho mặt phẳng (P): x−y+z=0 điểm A(2;1; 1− ) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Oy d lớn Góc d Oz là:

A 450 B arccos

6

C arccos

D 600

Câu 22: Cho mặt phẳng (P): x−y−2z+ =1 điểm A(2;1; 1− ) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) Tính khoảng cách lớn Oy d

A ( ; )

5

d d Oy = B ( ; )

d d Oy = C ( ; )

d d Oy = D ( ; ) d d Oy =

Câu 23: Cho hai điểm A(0; 0;3), B(4;1; 2− ) mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−8y+2z+ =9 0 Gọi M thuộc mặt cầu (S) cho MA+2MBnhỏ Hoành độ điểm M là:

A 2

M

x = B 3

M

x = − C

2 M

x = − D 5

M x =

Câu 24: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 2; 4− ), song song với mặt phẳng x+y−2z+ =1 tạo với Oy góc lớn Một véc tơ phương d là:

A u= −( 1;5; 2) B u=(1;1;1) C u=(5;1;3) D u=(2; 0;1) Câu 25: Cho mặt phẳng (P): x−y+ − =z điểm A(2;1; 0) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Ox d lớn Một véc tơ phương d là: