Hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian võ trọng trí

HIỂU RÕ BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM Để giải nhanh toán cực trị hình học tọa độ không gian, cần tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán vài dòng đơn giản kết Sau các toán cực trị thường gặp , chất hình học công thức giải nhanh toán Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d cách điểm M ∉ d khoảng lớn M Giải: Gọi hình chiếu vuông góc M mặt phẳng d H, K Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng đoạn MH ≤ MK Vậy MH lớn H trùng K Hay mặt phẳng chứa d vuông góc với mặt phẳng chứa M d d Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n =  ud ; AM  , ud  ,    A ∈ d Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng d : H K x −1 y z + = = cách M ( 2;1;1) khoảng −1 lớn Giải: Ta có ud = ( 2;1; −1) , A = (1;0; −2 ) ⇒ AM = (1;1;3) Vậy n =  ud ; AM  , ud  = ( −6; −6; −18 )    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: ( x − 1) + y + ( z + ) = ⇔ x + y + z + = Ví dụ 2: Viết phương trình mp qua điểm A (1; −2;1) , song song với đường thẳng d : x y −1 = = z 2 cách gốc tọa độ khoảng lớn Gợi ý: n =  ud ; OA , ud  , phương trình mặt phẳng 11x − 16 y + 10 z − 53 =    Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = 1 2   cách điểm M  ;0;  khoảng lớn Gợi ý: Bản chất mp cần tìm qua đường thẳng cố định qua O vuông góc với (P) Nến véc tơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm n =   n(Q ) , OM  ; n(Q )     Ví dụ 4: Tìm a để khoảng cách từ M (1; 2; −2 ) đến mặt phẳng ( P ) : (1 − a ) x + ( − 3a ) y + az + − a = lớn VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN Gợi ý: Ta áp dụng công thức khoảng cách trực tiếp mp cho chứa đtường thẳng cố đinh x − y +1 = , ud = ( 2;1;5 ) qua A ( −1;0; ) , khoảng cách lớn d : − x − y + z − = nP =  ud ; AM  ; ud  , từ ta tìm a=2   Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’ không song song với d) góc lớn Giải: Lấy K điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song với d’ Gọi H I hình chiếu vuông góc M (P) ( ) d Khi sin d '; ( P ) = cos KMH = M MH MI ≤ Vậy góc KM KM d' d (P) lớn H trùng I, hay (P) mặt d phẳng nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) mặt phẳng chứa d vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’ H K I (P) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) cần tìm n =  ud ; ud '  ; ud   Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : d′:   x −1 y +1 z − = = tạo với đường thẳng 2 x +1 y z −1 = = góc lớn Giải: Ta có n =  ud ; ud '  ; ud  = ( 3; −12;3) (P) qua điểm A (1; −1; ) nên có phương trình    ( x − 1) − ( y + 1) + ( z − ) = ⇔ x − y + z − = Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng qua O vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = tạo với trục Oy góc lớn Gợi ý: Bản chất không thay đôi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n =   nP ; j  ; nP  = ( −2;5;1)    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x − y − z = Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng qua O, song song với đường thẳng d : x −1 y z − = = tạo với mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = góc nhỏ Gợi ý: Bản chất Bài toán toán tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O song song với d) tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) góc lớn Vậy véc tơ pháp tuyến mp VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN cần tìm n =  ud ; nP  ; ud  = ( −12; −27;17 ) , nên phương trình mặt phẳng cần tìm   12 x + 27 y − 17 z =  Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 2;1;3) tạo với trục Ox góc lớn Gợi ý: Mặt phẳng cần tìm qua AB, mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước Vậy n =   AB; i  ; AB  = ( −17; −1; )   Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng ( P ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng nhỏ ( AM không vuông góc với (P)) Giải: Gọi H K hình chiếu vuông góc M M (P) d Dễ thấy d ( M ; d ) = MK ≥ MH Khoảng cách nhỏ K ≡ H Hay d đường thẳng qua A hình chiếu H M (P) d Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm H A K ud =   n( P ) ; AM  ; n( P )    Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O , nằm mặt phẳng ( P ) : x − y + z = cách điểm M (1; 2;1) khoảng nhỏ Giải: Ta có véc tơ phương đường thẳng cần tìm ud =   n( P ) ; OM  ; n( P )  = ( −4; −13; −5 )  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm   x y z = = 13 Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1;1; ) , vuông góc với đường thẳng a: x +1 y z − = = cách gốc tọa độ O khoảng nhỏ 2 Gợi ý: Bản chất d đường thẳng qua A nằm mặt phẳng cố định ( qua A vuông góc với a) Nên véc tơ phương ud =  ua ; OA ; ua     Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d qua O song song với mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = cách điểm M (1; −1; ) khoảng nhỏ Gợi ý: Bản chất d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng cố định ( qua O song song với (P)) Nên véc tơ phương ud =   n( P ) ; OM  ; n( P )   VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN   Ví dụ 12: Tìm cặp số nguyên dương (a, b ) nhỏ để khoảng cách từ O đến đường thẳng  x = + a + at  d :  y = + b + bt ( a ≠ ) nhỏ  z = + 2a − b + 2a − b t ( )  Gợi ý: Đường thẳng d cho qua điểm cố định A (1; 2;1) ud = ( a; b; 2a − b ) ⊥ n ( 2; −1; −1) nên d nằm mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến n Vậy véc tơ phương đường thẳng cần tìm ud =   n; OA ; n  = ( −8; −11; −5 ) Vậy ta phải có    a = a b 2a − b = = ⇒ 11 b = 11 Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước, nằm mặt phẳng (P) cách điểm M ( M khác A, MA không vuông góc với (P)) khoảng lớn Giải: Gọi H , K hình chiếu vuông góc M (P) d Khi ta dế thấy d ( M ; d ) = MK ≤ MA , M khoảng cách d ( M ; d ) lớn K trùng A, hay d đường thẳng nằm (P), qua A vuông góc với AM d Đường thẳng d cần tìm có véc tơ phương ud =  n( P ) ; AM    A K H Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1;1; −1) cho trước, nằm mặt phẳng ( P ) : x − y − z = cách điểm M ( 0; 2;1) khoảng lớn Giải: Ta có véc tơ phương đường thẳng cần tìm u =  AM ; n( P )  = (1;3; −1) Vậy phương trình  đường thẳng cần tìm  x −1 y −1 z + = = −1 Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng d1 : x −1 y z = = cách điểm M ( 2;1;1) khoảng lớn −1 −2 Gợi ý: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm u = ud1 ; AM    Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1; 0; ) , song song với mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = cách gốc tọa độ O khoảng lớn Gợi ý: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm u = OA; n( P )   VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN   x = − 2a + at  1  Ví dụ 16: Tìm a để đường thẳng d :  y = −2 + 2a + (1 − a ) t ( a tham số ) cách điểm M  ;1;  2  z = 1+ t  khoảng lớn Gợi ý: Dựa vào phương trình tham số đường thẳng d cho, ta thấy d qua điểm cố định A (1; 0;3) ( ứng với t=2) vuông góc với đường thẳng có véc tơ phương u1 = (1;1; −1) Do véc tơ  −1  phương đường thẳng d khoảng cách từ M đến lớn ud = u1 ; AM  =  2; ;  Vậy    2 ta có: a 1− a = = ⇔a= −1 3 2 Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) điểm A ∈ ( P ) , đường thẳng d ( d cắt (P) d không vuông góc với (P)) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, nằm (P) tạo với d góc nhỏ Giải: Từ A vẽ đường thẳng AM//d Gọi H, I hình chiếu vuông góc M (P) d’ Ta có cos ( d ; d ' ) = cos MAH = M MH MI ≤ Vậy góc (d;d’) bé AM MA d I trùng H Hay d’ qua A H, hay d’ qua A song song với hình chiếu vuông góc d (P) d' A I Véc tơ phương đường thẳng d’ cần tìm H (P) ud ′ =  n( p ) ;  n( P ) ; ud     Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O , nằm mặt phẳng ( P ) : x + y − z = tạo với đường thẳng d : x y −1 z + = = góc nhỏ −1 Giải: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm ua =  n( p ) ;  n( P ) ; ud   = ( −10; 7; −13) Vậy  phương trình đường thẳng cần tìm là:   x y z = = −10 −13 Ví dụ 18: Viết phương trình đường thẳng qua O, vuông góc với đường thẳng d : x −1 y −1 z +1 = = 2 tạo với mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = góc lớn Gợi ý: Bản chất Bài toán toán 5, với véc tơ phương đường thẳng cần tìm u =  ud ; n( P )  ; ud    VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN Ví dụ 19: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, cắt đường thẳng d : x y −1 z = = tạo với trục Oy góc nhò Gợi ý: Bản chất đường thẳng cần tìm qua O nằm mp ( O; d ) Do véc tơ phương cần tìm u =   n( O ;d ) , j  ; n( O ;d )     Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( P ) điểm A ∈ ( P ) đường thẳng d cắt (P) điểm khác M khác A Viết phương trình đường thẳng d’ nằm (P), qua A khoảng cách d d’ lớn Giải: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d song song với d’ Khi d ( d ; d ') = d ( ( Q ) ; d ') = d ( A, ( Q ) ) Theo toán 1, khoảng cách lớn n(Q ) = ud ; ud ; AB   , B ∈ d Khi    d’//(Q) d’ nằm (P), nên ud ' =  n( Q ) ; n( P )    Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm ud ′ =  n( P ) ; ud ; ud ; AB    , B ∈ d     Ví dụ 20: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0, A ( 0; 2;1) đường thẳng d ′ : x −1 y z = = Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm (P) khoảng cách d d’ lớn Giải: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d’ cách A khoảng lớn Khi ta có: B (1; 0;0 ) ∈ d ' , n( Q ) = ud ′ ; ud ′ ; AB   = ( −10; 4; ) , véc tơ phương cuat đường thẳng d cần tìm   x y + z −1 ud =  n( Q ) ; n( P )  = ( 2;14; −18 ) Phương trình đường thẳng d là: = =   −9 Bài toán 7: Cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d / / ( P ) Viết phương trình đường thẳng d ′ / / d cách d khoảng nhỏ Giải: Gọi A điểm thuộc d, A’ hình chiếu A (P) Khi đường thẳng d’ cần tìm qua A’ song song với d Ví dụ 21: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm mp(P), song với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z + = cách gốc O khoảng nhỏ Gợi ý: Đường thẳng d cần tìm qua hình chiếu O’ O mp(P) có véc tớ phương ud =  n( P ) ; n( Q )    Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A cách điểm M ( khác A) khoảng lớn VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN Giải: Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n = AM Ví dụ 22: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A (1; 0; −2 ) cách điểm M ( 2;1;1) khoảng lớn Giải: Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n = AM = (1;1; −3) Do phương trình mặt phẳng cần tìm ( x − 1) + y − ( z + ) = ⇔ x + y − z − = Bài toán 9: Các toán khác đòi hỏi cần có trực giác hình học để giải nhanh x −1 y z −1 = = , viết phương trình đường thẳng d’ song song với d, 2 cách d khoảng cách điểm K ( −3; 4;3) khoảng lớn nhất, nhỏ Ví dụ 23: Cho đường thẳng d : Giải: Giả sử mp(P) qua K vuông góc với d cắt d I, d’ M Khi ta có IM = , mp(P): ta cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R=3 cách K khoảng nhỏ nhất, lớn Gọi I (1 + 2t ; t ;1 + 2t ) , KI = ( + 2t ; t − 4; −2 + 2t ) , ud = ( 2;1; ) , KI ud = ⇔ t = Vậy I (1; 0;1) IK = > Dễ thấy KM nhỏ M trùng E, KM M lớn M trùng F Để tìm E ( x; y; z ) ta dùng véc tơ IE = IK ⇔ E = ( −1; 2; ) F I E K Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K khoảng nhỏ x +1 y − z − = = Tương tự phương trình 2 x−3 y −2 z = = đường thẳng d’ cách K khoảng lớn 2 x −3 y −3 z −3 = = Viết phương trình đường thẳng d’ song song với −2 1 x − y x −1 cách đường thẳng ∆ : = = khoảng nhỏ ( lớn −2 Ví dụ 24: Cho đường thẳng d : d, cách d khoảng ) Giải: đường thẳng d’ cần tìm đường sinh mặt trụ tròn xoay có trục d, bán kính R= Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ song song với d Dễ dàng thấy ngay, d’ giao mặt trụ với mặt phẳng (Q) chứa d vuông góc với (P) ( trường hợp (P) không cắt mặt trụ ) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) = ud ; u∆  = ( 3;3;3) Phương trình mặt phẳng (P)   x + y + z − = Lấy I ( 3;3;3) ∈ d , hình chiếu I (P) H (1;1;1) , IH = Gọi VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN M ( x; y; z ) giao điểm IH với mặt trụ ( gần (P)) Ta có: IM = phương trình đường thẳng d’ cần tìm qua M IH ⇒ M ( 2; 2; ) Vậy x−2 y−2 z−2 = = −2 1  x = + 2t  Ví dụ 25: Cho đường thẳng d :  y = + t Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách d z = + t  khoảng R = 2 cách M ( 0;1; ) khoảng nhỏ ( lớn nhất) Giải: Gọi (Q) mp qua M vuông góc cắt d I Giả sử đường thẳng qua M vuông góc với (P) cắt (P) A Gọi B hình chiếu vuông góc I (P) Ta thấy điểm I, M, ( ) ( ) B, A thuộc mp(Q) IB = d d , ( P ) = R , d M ; ( P ) = MA Ta tìm I (1;1;1) IM = < R Dễ thấy MA + MI ≥ IE = IB ⇒ MA ≥ IB − MI , MA nhỏ A trùng B trùng E Để tìm E ta sử dụng véc tơ IE = IM ⇔ E ( −1;1;3) Mặt phẳng (P) qua E có véc tơ pháp tuyến n = ud ; IM  = (1; −3;1) , nên có phương trình là: 1( x + 1) − ( y − 1) + 1( z − 1) = ⇔ x − y + z + = Trường hợp khoảng cách từ M đến (P) lớn mp(P) qua F có véc tơ pháp tuyến Nhận xét: Nếu IM > R khoảng cách từ M đến (P) lớn (P) qua M, khoảng cách lớn (P) qua F 2 Ví dụ 26 Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + z = điểm A ( 3;0; ) , B ( 4; 2;1) Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ biểu thức MA + MB Giải: Gọi M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu (S), ta có: MA = ( a − 3) + b + c = a + b + c − 6a + = 4a + 4b + 4c − 6a + − ( −9 − 2a + 8b ) = 4a + 4b + 4c − 24b + 36 = a + b + c − 6b + = a + ( b − 3) + c = MB′ với B′ ( 0;3;0 ) Dễ dàng kiểm tra thấy B’ nằm mặt cầu, B nằm mặt cầu, M nằm mặt cầu, MA + MB = ( MB′ + MB ) nhỏ B’, M, B thẳng hàng, hay giá trị nhỏ BB′ = BÀI TẬP VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN x = 1+ t  Câu 1: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d :  y = + t Gọi d’ đường thẳng nằm z = 1− t  (P), song song với d khoảng cách d d’ nhỏ Hỏi d’ qua điểm sau đây?   3 1 3 A M  − ; ; −  4 2 3 3 B M  ; ;  2 5 3 6 C M  ; ;  2 3 2 3 D M  ; −1; −  Câu 2: Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A (1;0;1) , B ( 2;1;3) cách gốc tọa độ O khoảng lớn (P) qua điểm sau đây? A M ( 0; 2; −1) B M (1;1;1) C M ( 3; 2;1) D M ( −1;1;1) Câu 3: Gọi d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng ( Oyz ) cách điểm M (1; −2;1) khoảng nhỏ Tính góc d trục tung A arccos B arccos C arccos D arccos x = + t  Câu 4: Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = − t tạo với trục Oz góc lớn Hỏi  z = 2t  mp(P) qua điểm đây? A M (1;3; ) B M ( 2;1;0 ) C M ( 4;1;1) D M (1;1;1)  x = at  Câu 5: Cho đường thẳng d :  y = bt ( t ∈ R ) ( a, b tham số biết) Biết khoảng cách  z = − a + 2b t ( )  a d Ox lớn Tính b A a =0 b B a =− b C a = b D a = −4 b x = 1+ t  Câu 6: Cho đường thẳng d :  y = Gọi d’ đường thẳng qua điểm I (1; 2;1) tạo với d góc z = 1+ t  300 cách điểm J ( 0;0; −2 ) khoảng nhỏ Một véc tơ phương d’là: A u = ( −1;1;0 ) B u = (1;1;0 ) VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN C u = ( −1;0;1) D u = ( −1;1; ) Câu 7: Cho hai điểm A ( 0;0;3) , B (1; 4;0 ) mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − y + z + = Gọi M thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ MA − 2MB A 2 B C D Câu 8: Gọi d đường thẳng qua O song song với mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = tạo với trục Ox góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây? A M ( 5; −3;1) B M ( 2; −3; −1) C M ( 4;6; ) D M ( 5; −6;1) Câu 9: Gọi d đường thẳng qua điểm A (1; 2;0 ) nằm mặt phẳng ( xOy ) cách điểm B ( 2;1;1) khoảng lớn Tìm véc tơ phương d A u = (1; 2;0 ) B u = (1; −1;0 ) C u = (1;1;0 ) Câu 10: Gọi (P) mặt phẳng qua O song song với đường thẳng d : D u = ( −2;1; ) x y −1 z +1 cách điểm = = 2 A ( −1; 2;3) khoảng lớn Hỏi (P) song song với đường thẳng sau đây? x −1 y z = = −1 −2 x +1 y z = = −2 −2 −1 A B x + y z +1 = = 12 −4 C x + y −1 z +1 = = 1 −2 D x = + t  Câu 11: Cho đường thẳng d :  y = + t điểm M ( 2; −4; −1) Gọi d’ đường thẳng song song với d z = + t  cách d khoảng R = cách điểm M khoảng nhỏ Hỏi d’ qua điểm đây? A K ( 3;2;3) B K ( 0; −2;5 ) C K ( 3;1; ) D Câu 12: Gọi d đường thẳng qua điểm A (1; 2; ) , nằm mặt phẳng (P) x + y − = tạo với trục Oy góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây? A M ( −1;6; ) B M ( −1; −6; ) C M ( −1;6; −4 ) D M (1; 2;6 ) Câu 13: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0, A (1;1;1) Gọi d đường thẳng qua A nằm (P) cách O khoảng nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây? A M ( −1;6;0 ) 10 B M ( −1;3;3) VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN C M ( 0;3;1) D M ( 0;0; ) Câu 14: Gọi d đường thẳng qua A (1; −2;1) , vuông góc với trục Oy, tạo với đường thẳng x = − t  d :  y = 2t góc nhỏ d nhận véc tơ làm véc tơ phương? z = 1+ t  A u = (1;0; ) B u = ( −1; 2; −1) C u = (1; 0;1) D u = ( −1;0;1) Câu 15: Gọi d đường thẳng qua điểm A (1; −2; ) , song song với mặt phẳng x + y − z + = tạo với Oy góc lớn Góc d Ox là: A 600 B 300 C 450 D arccos x = 1+ t  Câu 16: Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng d :  y = t cách A (1; −1;1) khoảng lớn  z = + 2t  Hỏi (P) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến? A n = ( 3;1; −2 ) B n = (1; −1;0 ) C n = ( 0; −2;1) Câu 17: Gọi (P) mặt phẳng chứa trục Ox, tạo với đường thẳng d : D n = (1;1; −1) x −1 y +1 z = = góc lớn −2 Hỏi mp(P) qua điểm đây? A A ( 3; −1;1) B A (1;3; ) C A (1; 2;1) D A ( −1;1; ) Câu 18: Gọi d đường thẳng qua A (1;2; −1) vuông góc với trục Ox cách điểm M ( 2;1; −2 ) khoảng nhỏ Một véc tơ phương d là: A u = ( 3; −2;1) B u = ( −1; 2;1) C u = ( 0; 2; −1) D u = ( 0;1;1) Câu 19: Gọi (P) mặt phẳng qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y − z + = tạo với trục Oz góc lớn Hỏi (P) qua điểm đây? A M ( −2;1;1) B M (1; 2; −1) C M (1;1;1) D M (1; −1;1) Câu 20: Gọi d đường thẳng qua gốc tọa độ O vuông góc với đường thẳng d : x + y −1 z = = −1 cách điểm A ( 2; −1; −1) khoảng lớn Hỏi d qua điểm sau đây? A M ( 3; −4;1) 11 B M (1; −2;0 ) VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN C M ( 2;1; ) D M ( −2; −4;0 ) Câu 21: Cho mặt phẳng (P): x − y + z = điểm A ( 2;1; −1) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Oy d lớn Góc d Oz là: A 450 B arccos C arccos D 600 Câu 22: Cho mặt phẳng (P): x − y − z + = điểm A ( 2;1; −1) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) Tính khoảng cách lớn Oy d A d ( d ; Oy ) = B d ( d ; Oy ) = C d ( d ; Oy ) = D d ( d ; Oy ) = Câu 23: Cho hai điểm A ( 0;0;3) , B ( 4;1; −2 ) mặt cầu ( S ) : x + y + z − y + z + = Gọi M thuộc mặt cầu (S) cho MA + MB nhỏ Hoành độ điểm M là: A xM = B xM = −3 C xM = − D xM = Câu 24: Gọi d đường thẳng qua điểm A (1; −2; ) , song song với mặt phẳng x + y − z + = tạo với Oy góc lớn Một véc tơ phương d là: A u = ( −1;5; ) B u = (1;1;1) C u = ( 5;1;3) D u = ( 2; 0;1) Câu 25: Cho mặt phẳng (P): x − y + z − = điểm A ( 2;1;0 ) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Ox d lớn Một véc tơ phương d là: A u = (1;1; −1) B u = ( 0;1;1) Người gửi: Võ Trọng Trí Trường THPT Anh Sơn 1- Nghệ An 12 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN C u = (1;1;1) D u = ( 0;1; −1) ... lớn Gợi ý: Bản chất Bài toán toán 5, với véc tơ phương đường thẳng cần tìm u =  ud ; n( P )  ; ud    VÕ TRỌNG TR - NGHỆ AN Ví dụ 19: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, cắt... Gợi ý: Bản chất Bài toán toán tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O song song với d) tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) góc lớn Vậy véc tơ pháp tuyến mp VÕ TRỌNG TR - NGHỆ... Một véc tơ phương d là: A u = (1;1; −1) B u = ( 0;1;1) Người gửi: Võ Trọng Trí Trường THPT Anh Sơn 1- Nghệ An 12 VÕ TRỌNG TR - NGHỆ AN C u = (1;1;1) D u = ( 0;1; −1)