Sử dụng yếu tố hình học để giải quyết hiệu quả một lớp bài toán cực trị tọa độ không gian nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12, nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình phổ thơng, hình học mơn học khơng dễ học sinh Để học tốt mơn hình học ngồi u cầu người học cần phải có tư logic chặt chẽ khả trừu tượng hóa cao mơn học khác Bài tốn cực trị nói chung hay cực trị tọa độ khơng gian Oxyz thường tạo khó khăn định cho học sinh Chính vậy, tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian thường xuất đề thi học sinh giỏi câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia (nay kì thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia) Để thi em đạt kết tốt ngồi việc em phải nắm hệ thống kiến thức em phải có kiến sâu, rộng đồng thời phải lựa chọn phương pháp tối ưu để giải nhanh hiệu Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy, việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với dạng kích thích hứng thú học tập học sinh, giúp em chủ động lĩnh hội tích lũy kiến thức từ có kỹ để vận dụng vào làm thi đạt kết cao, nhiệm vụ đặc biệt quan trọng người thầy Từ lý với tích luỹ kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, tơi chọn đề tài: “SỬ DỤNG YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI HIỆU QUẢ MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN, NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12, NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2019 – 2020 1.2 Mục đích nghiên cứu Hình thành cách giải hiệu lớp tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian Hơn rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, kỹ lựa chọn phương pháp định hướng phát triển lực tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giải lớp tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian cách sử dụng yếu tố hình học 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm: - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu, tơi thấy dạng tốn khơng chỉ khó mà cịn hay, lơi hút em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, kiến thức véctơ, tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị xảy đưa tốn tốn quen thuộc, đơn giản giảm nhẹ tính cồng kềnh biến đổi đại số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn cực trị nói chung tốn cực trị tọa độ khơng gian nói riêng tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh Bên cạnh khó khăn vốn kiến thức, kinh nghiệm cịn ỏi, em học sinh chưa nắm vững kiến thức hình học nhìn tổng quan, phân loại dạng toán phương pháp giải Vậy gặp dạng toán em chưa tự tin lúng túng tìm lời giải, lời giải hiệu Nếu tháo gỡ khó khăn đem lại hiệu cao công tác giảng dạy thầy cô việc học tập em học sinh Ngoài mục tiêu đảm bảo chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn ln tập thể nhà trường quan tâm trăn trở Bên cạnh chất lượng tuyển sinh vào 10 nhà trường không cao, cụ thể tỉ lệ số học sinh đạt điểm thấp nhiều so với trường địa bàn huyện Chính vậy, thầy giáo giảng dạy ln phải tư duy, tìm tịi phương pháp giảng dạy cho đạt hiệu cao 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Ôn tập kiến thức 2.3.1.1 Các công thức cần nhớ * Công thức khoảng cách: - Khoảng cách hai điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )  ( z B  z A )2 - Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mp    : Ax  By  Cz  D  d  M ;     Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C r r r � M M � � � 0M1, u � � r - Khoảng cách từ điểm M đến  : � r : d  M ,    Vtcp u u � �M ' �M ' � - Khoảng cách hai đường thẳng chéo  : � r  : � ur' Vtcp u � Vtcp u � u u u u u r r r  u , u ' MM � urur d(  , � )= � � � u , u � � * Cơng thức góc: r r u1.u2 r r - Cơng thức tính góc  hai đường thẳng d1 , d : cos   r r ( u1 , u2 lần u1 u2 lượt hai vtcp hai đường thẳng) vv r r n.u - Cơng thức tính góc  đường thẳng mặt phẳng: sin  v v ( n, u n u vtpt,vtcp mặt phẳng đường thẳng) r r ur uu r n1.n2 - Cơng thức tính góc  hai mặt phẳng: cos   r r ( n1 , n2 lần luợt hai n1 n2 vtpt hai mặt phẳng)  * Lưu ý: Các cơng thức tính góc nêu có điều kiện: � ,  ,  � 2.3.1.2 Một số kết sử dụng * Kết 1: Trong tam giác cạnh đối diện với góc lớn lớn * Kết 2: Trong đường xiên đường vuông góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn *Kết 3: Với ABC ta ln có AB  AC  BC  AB  AC *Kết 4: Trong không gian Oxyz , cho  P  : ax  by  cz  d  điểm A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; y B ; z B ) * Nếu  ax A  by A  cz A  d   ax B  byB  czB  d   A, B nằm hai phía với mặt phẳng  P  * Nếu  ax A  by A  cz A  d   ax B  byB  cz B  d   A, B nằm phía với mặt phẳng  P  2.3.1.3 Hai tốn hình học tọa độ khơng gian thường sử dụng Bài tốn 1: Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng  P  Phương pháp giải: � �M uuur d : - Viết phương trình đường thẳng � vtcp n P  � - Gọi H hình chiếu vng góc M lên  P  � H  d � P  Bài toán 2: Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d Phương pháp giải: � �M uu r Vtpt ud � - Viết phương trình mp    : � - Gọi H hình chiếu vng góc M lên d � H  d �   Lưu ý: Có thể giải tốn cách khác 2.3.2 Giải toán cực trị hình học tọa độ khơng gian hai phương pháp Ví dụ: (Đại học khối B năm 2009) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   hai điểm A  3,0,1 , B  1, 1,3 Trong đường thẳng qua A song song với mp  P  Viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng nhỏ Phân tích, hướng dẫn: Cách 1: Dùng phương pháp sử dụng yếu tố hình học Gọi d đường thẳng cần tìm A �d gọi  Q  mặt phẳng cho  Q  �d  Q  //  P  � �A  3;0;1 �  Q  : � uuur �  Q  : x  y  2z   Vtpt n P   1; 2;2  � � Gọi K , H hình chiếu B d mp  Q  Áp dụng kết ta có BK �BH , đẳng thức xảy K �H đường thẳng d �AH , đường � x 1 y 1 z  �B  1; 1;3 BH : � BH :   thẳng � uuur  2 Vtcp n 1;  2;2   � Q   � � � 11 �  ; ; � �H  � x  y z 1 � �9 9� � d:   Ta có H  BH �(Q ) � d : � uuur 26 11  26 11 � � � Vtcp AH  � ; ;  � � �9 9 � � Cách 2: Dùng phương pháp hàm số uu r uuur uu r Giả sử ud  (a; b;c) với (a  b  c �0) Do d //  P  � ud n P   , ta có uu r uuu r a  2b  2c  � a  2b  2c � ud  (2b  2c; b;c) , AB  (4; 1;2) uuu r uu r �  c  2b;2a  4c;4b  a  �� AB , u d� � uuuruu r 2 � � AB , u 56b  84bc  69c � d �  c  2b    2a  4c    a  4b  � d  B; d     uu r 5b  8bc  5c ud  2b  2c   b2  c - TH1: Nếu c  d  B; d   56 - TH2: Nếu c �0 ta chia tử mẫu biểu thức cho c ta có �b � �b � 56 � � 84 � � 69 �c � �c � Đặt f (t ) = 56t  84t  69 (t ��) d  B; d   5t  8t  �b � �b � � � � � �c � �c � 28t  130t  132 11 ' � f  t  , f '  t   � t  t   2 (5t  8t  5) Bảng biến thiên y  f  t  x f '  t f  t �  - 11 + 56 � - 100 Từ bảng biến thiên nhận thấy d  B; d   56 100 11 b 11 t   �   c � uu r � 11 � �A  3;0;1 x  y z 1 r � ud  � 13c; c; c �� d : � � d:   26 11 2 Vtcp u 26;11;2 � �   � * Nhận xét: Ngồi tốn cịn có nhiều tốn cực trị tọa độ khơng gian giải phương pháp: - Phương pháp đại số: Chuyển đại lượng cần tìm Min, Max biểu thức đại số dùng bất đẳng thức khảo sát hàm số để tìm Min, Max - Phương pháp sử dụng yếu tố hình học: Sử dụng yếu tố hình học bất đẳng thức hình học để tìm Min, Max Từ hai cách giải toán nhận thấy giải theo phương pháp đại số có lợi dùng đến trí tưởng tượng khơng gian phải tính tốn điều làm nhiều thời gian dễ có sai sót Đối với phương pháp hình học địi hỏi học sinh có tưởng tượng khơng gian lời giải thể tính nhanh gọn, tiết kiệm thời gian, kết thường xác, phù hợp với xu thi THPT Quốc Gia Sau xin đưa số tốn cực trị hình học tọa độ để chứng tỏ tính ưu việt phương pháp hình học 2.3.3 Dạng tốn cực trị hình học tọa độ không gian phương pháp sử dụng yếu tố hình học 2.3.3.1 Dạng tốn cực trị hình học tọa độ không gian liên quan đến khoảng cách Bài toán 1: Cho điểm A cố định điểm M di động đường thẳng (hoặc mặt phẳng) Xác định điểm M để AM có độ dài nhỏ Phương pháp giải: Gọi H hình chiếu A đường thẳng (hoặc mặt phẳng) Xét tam giác AHM áp dụng kết ta có AM �AH Đẳng thức xảy M �H , AM nhỏ M hình chiếu A đường thẳng (hoặc mặt phẳng) Ví dụ 1.1 (KSCL Sở GD&ĐT Lạng Sơn 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2, 2,1 , A  1, 2, 3 đường thẳng r x 1 y  z   Trong véc tơ u , xác định véc tơ chỉ phương đường 2 1 thẳng  qua M , vuông góc với d , đồng thời cách điểm A khoảng bé d: nhất, khoảng cách bé nhấtr là: r r r A u  1;0;2  B u  2;1;6  A u  1;0;2  D u  2;2; 1 Phân tích, hướng dẫn: Gọi  P  mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng d � �M  2; 2;1 mp  P  : � uu �  P  : x  y  z   Gọi K , H hình r Vtpt ud  2;2; 1 � chiếu của A lên mp  P  đường thẳng d , Áp dụng tốn ta có H  3; 2; 1 d  A,      AK �AH , đẳng thức xảy K �H Vậy đường uuur thẳng  đường thẳng AH có véc tơ chỉ phương AH   1;0;  Đáp án A Ví dụ 1.2 (KSCL lần 1, Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai , Sóc Trăng năm 2018): Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;2, 1 mp  P  : x  y  z  13  Xét mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  qua điểm A , tiếp xúc với  P  : x  y  z  13  Tính giá trị biểu thức T  a  2b  3c , mặt cầu  S  có bán kính bé nhất: A T  35 B T  20 C T  25 D T  30 Phân tích, hướng dẫn: Gọi H hình chiếu A mp  P  , với M điểm mp  P  theo kết AH �AM Vậy mặt cầu  S  qua A tiếp xúc với mp  P  có bán kính nhỏ mặt cầu có đường kính AH với H tiếp điểm  S  với mp  P  , hay H hình chiếu A mp  P  Lập phương trình đường thẳng d qua A vng góc với mp  P  �x   2t � �A  2; 2;1 � �d :� �  d  : �y   t � H  d �mp  P  � H  3;4;3 r Vtcp u  1;1;2  �z  1  2t � � Vậy mặt cầu có tâm I trung điểm AH � I  2;3;1 � T  25 Đáp án C Bài toán 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm M , N đường thẳng  a Lập phương mp  Q  qua M cách điểm N cho trước khoảng lớn b Lập phương trình mp  Q  chứa đường thẳng d cách N khoảng lớn Phương pháp: a Gọi H hình chiếu N mp  Q  , d  N ,  Q    NH �NM đẳng thức xảy M �H � d  N ;  Q   max  NM Vậy mp  Q  mặt phẳng qua M vng góc với MN �M r �  Q  : � uuuu Vtpt MN � b Gọi H , I hình chiếu N mp  Q  d , d  N ,  Q    NH �NI , đẳng thức xảy �I H �I � d  N ;  Q    NI �  Q  : � uur Vtpt NI � Ví dụ 2.1 (KSCL lần 2, Ngơ Quyền, Hải Phịng 2018): 2 Trong không gian Oxyz , cho mp    : ax  by  cz  d   a  b  c   qua hai điểm B  1;0;2  , C  5;2;6  cách A  2;5;3 khoảng lớn Khi đó giá trị biểu thức T  A a là: bcd B C  D  Phân tích, hướng dẫn: �x   2t � �B  1;0;2  � � BC : �y  t Đường thẳng BC : � uuur gọi I hình chiếu A Vtcp BC 2;1;2   �z   2t � � BC � I  3;1;4  , áp dụng phương pháp giải toán 2b � d  A;     max  AI � �B  1;0;2  a �    : x  y  z   , T  uur  bcd Vtpt AI  1; 4;1 � Vậy    : � Đáp án C Ví dụ 2.2 (KSCL Lê Q Đơn Điên Biên 2019): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1;2; 1 , B  3;0;3 Biết mp  p  qua A cách B khoảng lớn Phương trình mp  p  là: A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z  Phân tích, hướng dẫn: uuu r AB   2; 2;4  , áp dụng phương pháp giải toán 2a d  B;  P   max  AB � �A  1;2; 1 P : �  P  : x  y  z   Đáp án B Vậy   � uuur Vtpt AB 2;  2;4   � Bài toán 3: Cho mp  P  hai điểm phân biệt A, B Tìm điểm M thuộc mp  P  cho: a MA  MB nhỏ b MA  MB lớn Phương pháp giải: a TH1: Nếu A, B nằm khác phía so với  P  theo kết ta có AM  BM �AB Đẳng thức xảy A, B, M thẳng hàng hay M  AB � P  TH2: Nếu A, B nằm phía so với  P  , gọi A' điểm đối xứng với A qua mp  P  áp dụng kết ta có: AM  BM  A' M  BM �A' B Đẳng thức xảy A' , M , B thẳng hàng ' hay M  A B � P  b TH1: Nếu A, B nằm phía so với  P  , AM  BM �AB Đẳng thức xảy A, M , B thẳng hàng hay điểm M  AB � P  TH2: Nếu A, B nằm khác phía so với  P  , gọi A' điểm đối xứng với A qua  P  ' ' Vậy AM  BM  A M  BM �A B Đẳng thức xảy M , A' , B hay điểm M  A' B � P  Ví dụ 3.1 (KSCL Sở GD&ĐT Sóc Trăng 2018): Trong không gian Oxyz cho mp  P  : x  y  z   hai điểm phân biệt A  1; 3;0  , B  5; 1; 2  Điểm M  a; b; c  thuộc mp  P  MA  MB lớn Giá trị a.b.c bằng: A.1 B.12 C 24 D  24 Phân tích, hướng dẫn: Áp dụng kết ta có  ax A  by A  cz A  d   ax B  by B  cz B  d   3  nên A, B nằm nằm khác phía với mp  P  Gọi B ' điểm đối xứng B qua mặt ' ' phẳng  P  MA  MB  MA  MB �AB , đẳng thức xảy M , A, B ' thẳng x  y 1 z    1 u u u r 10 � 14 � 13 � � � � H  B B ' � P  � H � ;  ;  �� B ' � ;  ;  �, AB ' � ; ;  � �3 3 � �3 3 � �3 3 � �x   5t � � A' B : �y  3  2t từ  * � M  6; 1; 4  � a.b.c  24 Đáp án C �z  4t � ' hàng hay M  AB �mp  P   * ta có BB ' : Ví dụ 3.2 (KSCL Chuyên Hùng Vương phú Thọ 2018): Trong không gian Oxyz cho mp  P  : x  y  z   hai điểm A  0; 2;3 , B  2;0;1 Điểm M  a; b; c  thuộc mp  P  MA  MB nhỏ Giá trị a  b2  c bằng: A 41 B C D Phân tích, hướng dẫn: Áp dụng kết ta có  ax A  by A  cz A  d   ax B  by B  cz B  d   12  nên A, B nằm phía với mp  P  Gọi A' điểm đối xứng A qua  P  , ta có  MA  MB  ' MA  MB  MA'  MB �A' B  A' B hay M , A' , B thẳng hàng x y  z 3   Gọi H hình chiếu A 2 ' '  P  � H  A A � P  � H  1;0;2  H trung điển AA ' � A  2;2;1 � M  AA' �mp  P  , ta có AA ' : �x   4t � �1 � � pt A' B : �y  2t M  A' B � P  � M � 1; ;1�� a  b  c  Đáp án B �2 � �z  � Bài toán 4: Trong không gian Oxyz , cho n điểm M , M , , M n  i  1, n  Viết phương trình mp  P  qua M cho tổng n �d  M ,  P   lớn i i 1 Phương pháp: TH1: Nếu n điểm M , M , , M n  i  1, n  nằm phía so với mp  P  Gọi G n trọng tâm n điểm M , M , , M n � �d  M i ,  P    nd  G ,  P   �nGM i 1 TH2: Nếu m điểm nằm phía k điểm nằm khác phía  m  k  n  nằm phía so với mp  P  Gọi G1 trọng tâm m điểm, G2 trọng tâm k điểm, G3 đối xứng với G1 qua điểm M G3 , G2 nằm phía mp  P  Khi n �d  M ;  P    md  G ,  P    kd  G ,  P   i i 1 - Nếu G2G3 // mp  P  n �d  M ;  P     m  k  d  G ,  P   � m  k  G M i 1 i 3 uuur a uur b - Nếu G2G3 � P   I Gọi D điểm thỏa mãn IG2  ID Và J trung điểm G2 D Vậy n �d  M ;  P    ad  G ,  P    bI i 1 i IG1 d  D,  P   G3 M �2  a  b  JM ID Ví dụ 4.1 (KSCL lần 1,chuyên Lương Vinh, Đồng Nai 2018): Trong không gian Oxyz cho điểm A  4; 1;3 , B  1; 2; 1 , C  3;2; 3  D  0; 3;5  Gọi    mặt phẳng qua D cho tổng khoảng cách từ A, B C đến mp    lớn nhất, đồng thời ba điểm A, B, C nằm phía so với mp    Trong điểm sau, điểm thuộc mp    : A E1   7; 3; 4  B E2   2;0; 7  C E3   1; 1; 6  D E4   36;1; 1 Phân tích, hướng dẫn: 1 � � Gọi G trọng tâm điểm A, B, C � G � ;  ;  � � 3 3� ta có d  A  P    d  B  P    d  C  P    3d  G  P   �3GD �D  0; 3;5  � Vậy mp    � uuur � 14 ��    : x  y  z  47  Đáp án A Vtpt DG �  ; ; � � �3 � � Ví dụ 4.2 (Tạp chí Epsilon, số 17): Trong không gian Oxyz cho điểm A  1;2;3 , B  3;4; 1 , C  2;0; 2  Gọi  P  mặt phẳng qua C tổng khoảng cách từ A B đến mp  P  lớn Khoảng cách h  d  O,  P   là: A h  C h  B h  D h  Phân tích, hướng dẫn: TH1: A B nằm phía so với mp  P  M trung điểm AB M  1;3;1 ta có d  A  P    d  B. P    2d  M  P   �2MC  TH2: A B nằm khác phía so với mp  P  Gọi B ' điểm đối xứng với B qua C N trung điểm AB ' � N (4; 1;0) d  A  P    d  B  P    d  A  P    d  B '  P   �2d  N ,  P   �2 NC  � C  2;0; 2  � mp  P  � uuuu �  P : x  y  z   � h  r Đáp án A Vtpt MC  3; 3; 3 � Bài toán 5: Cho n điểm M , M , , M n , với n số thực k1 , k2 , , kn thỏa mãn k1  k2   kn �0 Tìm điểm M đường thẳng d (hoặc mặt phẳng uuuuu r uuuuur uuuuur (α)) cho T  k1 MM  k2 MM   kn MM n có giá trị nhỏ Phương pháp uuu r uuuu r uuuu r r - Tìm điểm I thỏa mãn k1 IM1 + k IM + + k n IM n  - Áp dụng quy tắc điểm ta phân tích : 10 uuuuu r uuuuur uuuuur T  k1 MM + k MM + + k n MM n uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r = k1 MI  IM1  k2 MI  IM   k n MI  IM n uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r  (k1 + k + + k n )MI  IM1  IM   IM n = k1 + k + + k n MI          k1 + k + + k n MI Áp dụng toán xác định M để MI đạt giá trị nhỏ Ví dụ 5.1: (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019) : Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1,0,0  , B  0, 1,0  , C  0,0,1 mặt phẳng  P  :2 x  y  z   uuur uuur uuuu r uuur M � P  , giá trị nhỏ MA  MB  MC  MB bằng: A 22 B C D 19 uuur uuur uuuu r uuur Phân tích, hướng dẫn: Đặt S  MA  MB  MC  MB uu r uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn đẳng thức IA  IB  IC  � I  1,1,1 Ta có uuu r uuur S  MI  MB  MI  MB  xB  yB  zB    xI  yI  z I    � B, I nằm phía so với mp  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P  � �I  1;1;1 x 1 y 1 z 1 � 17 17 �  : � uuur � :   Vậy H   � P  � H � ; ; � Vtcp n P   2; 2;1 2 � 9 9� � � ' � 25 25 � Gọi I ' điểm đối xứng với I qua mp  P  � I � ; ; � � 9 9� S  MI  MB  MI '  MB �I ' B  22 � Min S  22 Đáp án A Ví dụ 5.2: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  1, 4,  , B  1, 2,  đường thẳng uuur uuur x 1 y  z   Tọa độ điểm M  a, b, c  � để biểu thức T  MA  MB đạt 1 giá trị nhỏ Khi a  b  c bằng: A  B  C D : Phân tích, hướng dẫn: uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r Gọi I trung điểm AB � I  0;3;0  , MA  MB  2MI � MA  MB  2MI uuur uuur  2MI , MA  MB � MI hay IM  d hay M hình chiếu I  uuu r uu r M   t , 2  t , 2t  �d , I  0;3;3 � MI   1  t ;5  t;3  2t  , u   1;1;2  uuu r uu r MI   d  � MI ud  �  1  t   1    t   1    2t   1  � t  � M  1;0;4  � M  1;0;4  � a  b  c  Đáp án D Bài toán 6: Trong không gian Oxyz , cho đa giác M , M , , M n n số thực k1 , k2 , , kn thỏa mãn k1  k2   kn �0 Tìm điểm M cho tổng 11 T  k1MM 12  k2 MM 22   kn MM n2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Phân tích, hướng dẫn: uuur uuuu r uuuu r r - Tìm điểm I thỏa mãn k1 IM1 + k IM + + k n IM n  - Áp dụng quy tắc điểm phân tích tốn ta có: T = k1MM12  k MM 22   k n MM n2 =kMI +(k1IM12  k IM 22   k n IM n2 ) - Ta có k1IM12  k IM 22   k n IM n2 khơng đổi, áp dụng tốn ta xác định vị trí M để MI đạt giá trị nhỏ giá trị lớn * Nhận xét: - Nếu k1  k   kn  k  , Biểu thức T đạt giá trị nhỏ MI nhỏ - Nếu k1  k   kn  k  , Biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ Ví dụ 6.1 (Sở GD &ĐT Điện Biên 2018-2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2, 2,  , B  3,3, 1 , C  1, 1, 1 mặt phẳng  P  :2 x  y  z   Xét điểm M thay đổi thuộc  P  , giá trị nhỏ biểu thức T  2MA2  MB  MC bằng: A 102 B 105 C 30 D 55 Phân tích, hướng dẫn: uuur uur uur r Gọi I điểm thỏa mãn đẳng thức IA  IB  IC  � I  1,0,  IA2  IB  IC  30 Với M  x, y, z  � P  Ta có T  MA2  MB  MC uuu r uu r uuu r uur uuu r uur  MI  IA  MI  IB  MI  IC  2MI   IA2  IB  IC   2MI  30       Tmin � MI   P  � MI  d  I ,  P    � Tmin  2.62  30  102 Đáp án A Ví dụ 6.2 (Sở GD &ĐT Hà Nội 2018-2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;2;1 , B  2; 1;3  điểm M  a; b;0  , tìm giá trị a, b để biểu thức P  MA2  MB nhỏ Giá trị a  b bằng: A B  C D Phân tích, hướng dẫn: uu r uur r Gọi I điểm thỏa mãn đẳng thức IA  IB  I trung điểm AB �, 2 2 , � I� � ; ;2 �P  MA  MB  2MI   IA  IB  Pmin � MI � MI   Oxy  �2 � �3 � Vậy M hình chiếu I mp  Oxy  � M � ; ;0 �� a  b  Đáp án A �2 � *Nhận xét: Ngồi cách giải ta giải tốn cách sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến MA2  MB  2MI  AB Ví dụ 6.3 ( Trích đề tập huấn sở GD&ĐT 2019: x 1 y  z   1 2 Xét điểm M thuộc  giá trị nhỏ biểu thức P  MA  MB bằng: A  B C  D   Trong không gian Oxyz ,cho điểm A  1, 4,  , B  1, 2,   : 12 Phân tích, hướng dẫn: AB Pmin � MI � �I  0;3;3  : r   M I d hình chiếu vng góc lên � VTPT n  1;1;2  � �    :  x  y  z   , M  d �   Tọa độ điểm M nghiệm hệ Áp dụng nhận xét ta có: P  MA2  MB  2MI  �x   t �x  1 �y  2  t � � � �y  � M  1;0;4  � Pmin   Đáp án A � �z  2t � �z  �  x  y  z   � Ví dụ 6.4 (Chuyên KHTN năm 2018-2019 lần 1): 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  1  y   z  3  hai điểm A  3,1, 3 , B  0, 2,3 Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu  S  , giá trị lớn T  MA2  2MB bằng: A.102 B 78 C 84 D 52 Phân tích, hướng dẫn: uuu r uuur N NA  NB  � N  1, 1,1 � NA2  24 Gọi điểm thõa mãn đẳng thức NB  Mặt cầu  S  có tâm I  1,0, 3 R  , ta có T  MA2  MB   MI �NI  MN  3MN   NA2  NB   3MN  36 mà MN NI R MN max  � Max  MA2  2MB   3.42  36  84 Đáp án C *Nhận xét: Cho điểm A cố định điểm M di động đường mặt cầu tâm I bán kính R, Min AM  AI  R , Max AM  AI  R Bài tập tự luyện Bài (KSCL lần 3, THPT Kim Liên Hà Nội 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2, 2,1 , A  1, 2, 3 đường thẳng x 1 y  z   Gọi  đường thẳng qua M , vng góc với d, đồng 2 1 thời cách điểm A khoảng bé nhất, khoảng cách bé là: 34 B C A 29 D d: Bài (Tốn học tuổi trẻ 2018-2019): Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  1, 2,2  , B  3, 1, 2  , C  4,0,3 , tọa độ uu r uur uur mp Oxz IA   cho để biểu thức  2IB  3IC đạt giá trị nhỏ điểm I là: 19 15 � � A I � ;0; � 2� �2 19 15 � � �9 15 � �9 15 � B I � ;0;  � C I � ;0; � D I � ;0; � 2� 4� 2� �2 �4 �2 Bài (Sở GD &ĐT Hà Tĩnh 2018-2019): 13 Trong không gian Oxyz , cho điểm A  5,10,0  , B  4, 2,1 mặt cầu  S  : x  y  z  x  y   , gọi điểm M � S  giá trị nhỏ tổng MA  3MB bằng: A 11 B 22 C 22 D.11 Bài (Đề tham khảo Bộ GD& ĐT 2016 -2017): 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   uuuu r  P  : x  y  z   Giả sử M � P  N � S  cho MN phương với r u  1,0,1 khoảng cách M N lớn Tính MN A MN  B MN   2 C MN  D MN  14 Bài (KSCL lần 1, chuyên ngoại ngữ Hà Nội 2018): 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :( x  1)  ( y  2)  ( z  2)  điểm M  4, 4,  , N  6,0,6  , gọi điểm E � S  cho EM  EN đạt giá trị lớn nhất, phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu  S  E là: A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Bài (2H3-2.8-4): Trong không gian Oxyz , cho  P  :3 x  y  z  29  điểm A  1, 4,5  �x   t � B  3, 4,0  , C  2, 1,0  và, gọi M  a, b, c  điểm thuộc đường thẳng  : �y  2  t �z  2t � Tọa độ điểm I mp  Oxz  cho để biểu thức T  MA2  MB  3MC đạt giá trị nhỏ Tổng a  b  c bằng: A C  10 D  B.10 Bài (GHK2, THPT Hàm Rồng Thanh Hóa, 2019): Trong khơng gian Oxyz cho mp  P  : x  y  z   cho điểm A  1;0;1 , B  3; 2;0  , C  1;2; 2  Gọi  P  mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến mp  P  lớn nhất, biết  P  không cắt đoạn BC Khi pháp tuyến mp  P  r A n   2; 2; 1 r B n   1;0;2  r C n   1;2; 1 r D n   1;0; 2  Bài (KSCL Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;2; 1 , B  3;0;3 Biết mp  P  qua điểm A cách B khoảng lớn Phương trình mp  P  là: A x  y  z   C x  y  z   B x  y  z   D x  y  z  Bài (Đề thức THPTQG 2019, Mã đề 103): Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  0;3; 2  Xét đường thẳng d thay đổi 14 song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A  2;0; 2  B  0; 2; 5 C  0;2; 5  D  0;4; 2  Bài 10 (Đề KSCL lần 4, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, năm 2018): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  x  y  z   điểm A  0; 2;3 , B  2;0;1 Điểm M  a; b;0  thuộc  P  cho MA  MB nhỏ Giá trị a  b2  c bằng: A 414 B 94 C 74 D 2.3.3.2 Dạng tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian liên quan đến góc Bài tốn 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d  P  cắt Viết phương trình mp  Q  chứa d tạo với mặt phẳng  P  góc nhỏ Phương pháp giải: Gọi I  d �( P ) ,    P  �(Q) Lấy điểm M  d ( M I ) Gọi H , K hình chiếu M mp  P   Đặt     P  ,  Q   HM HM � � tan   tan MKH  � Vậy đẳng HK HI (Q)   MHI  � thức xảy K �I , � (Q) �d � d � uuur uu r uu r uu r �M �u � uur � � � n Q   � n ; u ; u � Q : �p d � d �   � � Vtpt n  Q � Ví dụ 7.1 (Trích từ đề tập huấn sở GD & ĐT Lai châu, 2019): x 1 y 1 z      : x  y  z   Gọi 2  P  mặt phẳng chứa  tạo với mp    góc nhỏ Phương trình  P  có dạng ax  by  cz  d   a, b, c, d �� , a, b, c, d � 5;5 Khi tích Trong không gian Oxyz , cho  : a.b.c.d bằng: A 120 B 60 C  60 D  120 Phân tích, hướng dẫn: uur uur uu r uu r � � �M (1;1;0) � � � r nP  � n ; u ; u   8;20;  16 p :    � �  �  �  � Vtpt n  8;20; 16  � �  P  : x  y  z   � a.b.c.d  120 Đáp án D Bài tốn 8: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d d ' chéo Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa d tạo với d ' góc lớn Phương pháp giải: 15 Lấy K �d , vẽ đường thẳng  qua điểm K song song với d ' , lấy A � Gọi H , I hình chiếu A mp  Q  đường thẳng d cos  d ' ,  Q    cos  ,  Q    cos � AKH  KH KI � , đẳng thức xảy H �I AK AK �K �  Q  �d � � uu r uur uu r �� �  Q : � � � � � Vtpt : u ; u ; u Q  AKH     � � �d d ' � d � � � Bài 8.1 (Trích từ tạp chí Epsilon): x 1 y  z x  y 1 z     Gọi d ' : 1 1 '  P  mặt phẳng chứa d góc mp  P  đường thẳng d lớn Tọa độ giao điểm mp  P  trục Oy là: Trong không gian Oxyz , cho d : A  0;3;0  B  0;9;0  C  0; 9;0  D  0; 3;0  Phân tích, hướng dẫn: M (1; 2;0) �d � � uuur uu r uur uu r �  P  : x  y  5z   Ta có  P  : � � �  14; 3;10  � � Vtptn  u ; u ; u ' d d P   � � d� � � � �  P  �Oy   0; 9;0  Đáp án C Bài toán 9: Cho mặt phẳng    điểm A �   đường thẳng  cắt    (  khơng vng góc với    ) Viết phương trình đường thẳng  ' qua A , nằm    tạo với  góc nhỏ Phương pháp giải: Từ A vẽ đường thẳng d //  Lấy B �d , gọi H , K hình chiếu g góc B mp     ' � � cos  ,  '   cos  d ,  '   cos BAK  AK AH � AB AB đẳng thức xảy chỉ K �H Vậy  ' qua A H hay  ' qua A song song với hình chiếu vng góc  mp    A � � uur uuur uuur uu r � :� � � � � Vtcp u n ; n ; u '  d � d � � P  � P  � � ' 16 Ví dụ 9.1 Đường thẳng  thuộc  P  : x  y  z  qua gốc toạ độ O tạo với x y 1 z 1   góc nhỏ Có véc tơ chỉ phương là: 1 r r r r A u   10; 7;13 B u   10;7;13 C u   1; 7;13 D u   10; 7;1 đường thẳng d Phân tích, hướng dẫn: uu r uuur uuur uu r �  10;7; 13 n ;� n ;u � Áp dụng phương pháp giải ta có u  � �( P ) �( P ) d � � Đáp án A * Nhận xét: Thông qua việc giải lớp tốn cực trị khơng gian ta nhận thấy, để giải nhanh toán cực trị hình học khơng gian phương pháp sử dụng yếu tố hình học, ta cần có kỹ thuộc tính hình học từ tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị (khoảng cách, số đo góc hay độ dài) xảy Khi xác định vị trí đó, việc tính tốn để đưa kết lại vô đơn giản Bài tập tự luyện Bài 11 ( Sở GD&ĐT Vĩnh phúc năm 2018-2019 lần 2): Trong không gian Oxyz , gọi d đường thẳng qua điểm A  1, 1,  , song song với mặt phẳng  P  :2 x  y  z   đồng thời tạo với đường thẳng : x 1 y 1 z   góc lớn Phương trình đường thẳng d là: 2 x 1 y 1 z  x 1 y 1 z  A   B   4 5 x 1 y 1 z  x 1 y  z  C   D   3 Bài 12 (2H3-3.8-4): Trong không gian Oxyz cho điểm A  4;0;0  , B  0;4;0  S  0;0; c  đường x 1 y 1 z 1   , gọi A' , B ' hình chiếu O lên SA, SB 1 ' ' Khi góc đường thẳng d mp  OA B  lớn nhất, mệnh đề sau thẳng d : ? A c � 8; 6  B c � 9; 8  C c � 0;3 � 17 � D c ��  ;  � � 2� Bài 13 ( KSCL lần THPT Thanh Miện 2, Hải Dương 2018): Trong không gian Oxyz , cho điểm M  0; 1;2  , n  1;1;3 Gọi  P  mặt phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng  Q  :2 x  y  z   góc có số đo nhỏ Điểm A  1;2;3 cách mặt phẳng  P  khoảng là: A B 11 C D Bài 14 (KSCL lần THPT Minh Châu Hưng Yên 2018): 17 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;2; 1 , B  0;4;0  mặt phẳng  P  :2 x  y  z  2018  Gọi  Q  mặt phẳng qua hai điểm A, B α góc nhỏ hai mặt phẳng  P   Q  Giá trị cos  là: A cos   B cos   C cos   D cos   2.3.3.3 Bài tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian dạng khác giải phương pháp sử dụng yếu tố hình học Ví dụ (Sở GD& ĐT Hà nam năm 2018-2019): 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  3   y     z    25 điểm A  0;1;9  Gọi  C  giao tuyến  S  với mp  Oxy  Lấy hai điểm M , N  C  cho MN  tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây? 12 � � B � ; 3;0 � �5 � A  4;6;0  C  5;5;0  �1 � D �  ;4;0 � �5 � Phân tích, hướng dẫn: � �I  3;4;4  �H  3;4;0  � H nằm  C  Mặt cầu  S  : � , C : � 2 r    � OH  �R  � C  � 1 d  A,  Oxy    V  d  A,  Oxy   SOMN  3SOMN  d  O, MN  MN  5.d   O, MN  MN   5.d  O, MN  � Vmax � d  O, MN  max   d  O; MN  �OH  HK   32   ( K trung điểm MN ), đẳng thức uuur uuur r � OH xảy OH  MN Khi uMN  � � ; k �  4; 3;0  , K trung điểm � 21 �x   4t � �21 28 � � uuur uuur �K �5 ; ;0 � � 28 �21 28 � � � MN : �y   3t MN OK  OH � K � ; ;0 �� MN : � � r 5 �5 � � � Vtcp u  4; 3;0  � �z  � � Vậy MN qua điểm  5;5;0  Đáp án C Ví dụ (Đề tham khảo Bộ GD& ĐT 2016-2017): Trong không gian Oxyz , cho  P  : x  y  z   mặt cầu uuuu r  S  : x  y  z  x  y  z   Giả sử M � P  N � S  cho MN r phương với u  1,0,1 khoảng cách M va N lớn Độ dài đoạn MN là: A MN  D MN  14 B MN   2 C MN  Phân tích, hướng dẫn: 18 uuur Ta có n P    1, 2,  Mặt cầu  S  có tâm I  1, 2,1 , bán kính r  r r  u, n   45 Do d  I ,  P     r nên  P  � S   � Gọi H hình chiếu N NH  NH Vậy NM max � NH max mp  P  � NMH  450 NM  sin 45 lớn H �H với N giao điểm đường thẳng d qua I vng góc với Mp  P  Mp  P  Vây H ' hình chiếu I mp  P  , ta có ' ' NH max  N ' H '  r  d  I ;  P    � MN max  NH max  Đáp án C sin 450 Bài tập tự luyện Bài 15 (KSCL, Sở GD& ĐT Bà Rịa Vũng Tàu, 2018-2019): Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ A  1;2;1 , B  1;0;1 , C  1; 1;0  , D  2;3;4  Trên cạnh AB, AC , AD AB AC AD    tứ diện AB 'C ' D ' tích AB ' AC ' AD ' nhỏ Phương trình mặt phẳng ( B 'C ' D ' ) là: A x  y  B x  y   C y  z   D x  z  lấy điểm B ' , C ' , D ' cho Bài 16 (Đề học sinh giỏi Bắc Ninh 2018-2019): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : ( x  1)2  ( y  2)  ( z  3)  14 x4 y4 z4   Gọi A  x0 ; y0 ; z0   x0   điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu  S  có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P  x0  y0  z0 A P  B P  16 C P  12 D P  đường thẳng d : 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua nhiều năm giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhân thấy để học sinh học tốt chủ đề cực trị hình học tọa độ khơng gian trước tiên phải giúp hoc sinh nắm vững hệ thống lý thuyết gồm định nghĩa, định lý, hệ phương pháp giải Học sinh làm tốt nội dung giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, đồng thời học sinh chủ động việc tiếp thu kiến thức tích cực làm Đề tài thực buổi dạy chuyên đề lại hai lớp12E3, 12E7 Bước đầu tiếp cận đề tài em gặp khó khăn lúng túng chưa giải toán qua số ví dụ em hình thành cách giải cho từ dạng Từ tạo cho cho học sinh hứng thú học tập, đam mê yêu thích mơn tốn Đó tiền đề tốt Cho việc tự học tự nghiên cứu học sinh Bản thân tơi góp phần thành cơng cơng tác chuyên môn nhà trường năm qua, cụ thể: +) Kết thi học sinh giỏi: 19 Năm học 2017-2018 xếp thứ 10 tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện +) Kết thi THPT Quốc Gia: Năm học 2017-2018 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện Từ kết mạnh dạn khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hồn thành đạt kết sau đây: - Đề tài cung cấp cho thầy cô giáo em tài liệu tham khảo, đề tài cải thiện phần chất lượng môn, cố phương pháp góp phần nâng cao chất lượng day học - Đề tài đưa số dạng tập áp dụng hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, Sở giáo dục Đào tạo số tỉnh, thành phố đề học sinh giỏi nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Toán Từ em có hứng thú với dạng tốn cực trị hình học giải tích, học sinh giỏi cịn tích cực tìm tịi phương pháp khác để giải dạng toán Đề tài kinh nghiệm cá nhân thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn có hiệu quả, xin chia sẻ tới thầy cô giáo em học sinh Tuy nhiên đề tài thể tránh khỏi thiếu xót cần bổ sung, mong đóng góp ý kiến q thầy, để đề tài hồn thiện 3.2 Kiến nghị Đối với giáo viên : Tìm tịi phương pháp giải toán hiệu dể nâng cao chất lượng dạy học em tiếp thu hiệu hứng thú học tập Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên môn cần làm tốt nội dung xây dựng chuyên đề dạy học, đề xuất cách giải hay, phương pháp giải hiệu trao đổi toán khó Tơi xin trân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Hằng 20 ... tốn cực trị hình học tọa độ để chứng tỏ tính ưu việt phương pháp hình học 2.3.3 Dạng tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian phương pháp sử dụng yếu tố hình học 2.3.3.1 Dạng tốn cực trị hình học. .. pháp sử dụng yếu tố hình học: Sử dụng yếu tố hình học bất đẳng thức hình học để tìm Min, Max Từ hai cách giải toán nhận thấy giải theo phương pháp đại số có lợi dùng đến trí tư? ??ng tư? ??ng không gian. .. đề học sinh giỏi nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Tốn Từ em có hứng thú với dạng tốn cực trị hình học giải tích, học sinh giỏi cịn tích cực tìm tịi phương pháp khác để giải dạng toán