CHUỖI lũy THỪA (GIẢI TÍCH)

Trắc nghiệm, bài giảng pptx các môn chuyên ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành Y dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php?use_id=7046916. Slide bài giảng môn giải tích ppt dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế và Y dược. Trong bộ sưu tập có trắc nghiệm kèm đáp án chi tiết các môn, giúp sinh viên tự ôn tập và học tập tốt môn giải tích bậc cao đẳng đại học ngành Y dược và các ngành khác

CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞   n D =  x ∈ R : ∑ an ( x − x0 ) hộ i tụ n =1   ∞ n a X Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành ∑ n , n =1 nên không tính tổng quát ta xét chuỗi Định lý Abel Neá u ∞ n a x ∑ n hộitụ x0 ≠ hộitụ n =1 tuyệ t đố i ( − x0 , x0 ) Hệ quả: Neá u ∞ n a x ∑ n phân kỳtại x0 phân kỳ n =1 moïi x ∉ [ − x0 , x0 ] Chứng minh định lý ∞ n n a x hoä i tụ tạ i x ≠ lim a x ∑ n n =0 Neá u n →∞ n =1 ⇒ ∃M > : n an x = n an x0 n an x0  ≤ M , ∀n n x  x ≤M ÷ x0  x0  n x ∀x ∈ ( − x0 , x0 ) : 0 cho ∞ n a x ∑ n hộitụ ( −R , R ) n =1 vàphâ n kỳbê n ngoà i [ −R , R ] gọi làbá n kính hộ i tụ củ a chuỗ i ( −R , R ) gọi làkhoảng hộitụ chuỗi Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm ± R Trường hợp chuỗi tổng quát ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 SoáR >0 cho ∞ n n ∑ an ( x − x0 ) hộitụ n =1 ( x0 − R , x0 + R ) vàphân kỳbên [ −R , R ] gọi làbá n kính hộ i tụ củ a chuỗ i Khoảng hội tụ: ( x0 − R , x0 + R ) Cách tìm bán kính hội tụ Tính: α = lim n →∞ n an an +1 α = lim n →∞ an 0, α = +∞  ⇒ R =  , < α < +∞ α +∞, α = c{ x0 } cho chuoã i TQ ) R = : MHT ={ 0} ( hoaë  R = ∞ : MHT = ( −∞, +∞ ) Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ sau: R = lim n →∞ n an an hay R = lim x →∞ an +1 Trường hợp R = hay R = ∞, khơng gọi bán kính hội tụ gọi tạm cho dễ sử dụng Ví dụ ∞ n (−1) n / Tìm miề n hộ i tụ ∑ x n =1 n R = lim n →∞ n (−1) an = n n n = lim n = ⇒ Khoảng ht: (−1,1) an n →∞ ∞ (−1)n x = : chuỗ i trởthà nh ∑ , ht theo tc L n =1∞ n x = −1: chuỗ i trởthà nh ∑ , phâ n kỳ n =1 n Vậ y miề n hộ i tụ : D = ( −1,1] ∞ (n !) n / Tìm bá n kính hộ i tụ: ∑ x n =1 (2n )! (n !) an = (2n )! an R = lim n →∞ an +1 = lim n →∞ (n !) (2n )! [ (n + 1)!] (2n + 2)! (2n + 1)(2n + 2) = lim =4 n →∞ (n + 1) Chuỗi Maclaurin ∞ n x 1/ e = ∑ , MKT: D = R n! n = 0∞ ∞ 1 n n n 2/ = ∑x , = ∑ (−1) x , D = ( −1,1) − x n =0 + x n =0 x ∞ α (α − 1) (α − n + 1) n / (1+ x) =1+ ∑ x n! n =1 α α ∈N R , [ −1,1] , α >  D= ( −1,1] , − < α < ( −1,1) , α ≤ −1 ∞ / ln(1 + x ) = ∑ (−1) n −1 x n n =1 ∞ n , D = ( −1,1] 2n +1 x / sin x = ∑ ( −1) (2n + 1)! n =0 n ∞ 2n x cos x = ∑ (−1)n (2n )! n =0 ∞ 2n +1 x n / arctan x = ∑ ( −1) , 2n + n =0 D=R D = ( −1,1) Ví dụ / Tìm chuỗ i Taylor lâ n cậ nx=2 f ( x ) = ln( x + 2) Đặt: X = x − X  f ( x ) = ln ( + X ) = ln + ln 1 + ÷ 4  ∞ n −1 (−1) = ln + ∑ n n =1 n X X ,  ÷ MKT : ∈ ( −1,1] 4 ∞ n −1 ∞ n −1 (−1) f ( x ) = ln + ∑ n n =1 n X X ,  ÷ MKT : ∈ ( −1,1] 4 (−1) n = ln + ∑ ( x − 2) , n n =1 n.4 với x−2 ∈ ( −1,1] hay x ∈ ( −2,6] 2 / Tìm chuỗ i Maclaurin : f ( x ) = ln(1 + x − x )    f ( x ) = ln  −2( x − 1)  x + ÷ = ln(1 − x )(1 + x )    = ln(1 − x ) + ln(1 + x ) ∞ n ∞ n ( − x ) n −1 n −1 (2 x ) = ∑ (−1) + ∑ (−1) n n n =1 n =1 Điều kiện: −1 < − x ≤ −1 ⇔ < −x ≤ 2 −1 < x ≤ f (x) = ∞ ∑ (−1) n −1 ( − x ) n n =1 ∞ n n −1 + (−2) n =∑ x n n =1 −1 < −x ≤ Với: 2 + ∞ ∑ (−1) n =1 n −1 (2 x ) n n / Tìm chuỗ i Maclaurin : f ( x ) = e −x ∞ ( − x )n f ( x ) = (1 + x ) ∑ n =0 n ! ∞ n ∞ n ∞ (− x ) (− x ) = ∑ +∑x n! n =0 n ! n =0 ∞ n n (−1) n (−1) n +1 = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =0 n ! ∞ (−1)n n ∞ (−1)n −1 n = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =1 (n − 1)! (1 + x ) (1 + x )e −x ∞ ∞ n n −1 (−1) n (−1) n = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =1 (n − 1)! ∞ n ∞ n −1 (−1) n (−1) n = 1+ ∑ x +∑ x n =1 n ! n =1 (n − 1)! ∞  (−1)n (−1)n −1  n = 1+ ∑  + x (n − 1)!  n =1  n ! ∞ (−1)n n = 1+ ∑ − n x ( ) n =1 n ! D=R ( / Tìm chuỗ i Maclaurin : f ( x ) = ln x + + x 1+ x 1 + x f ′( x ) = = x + 1+ x2 1+ x2 Khai triển cho f’(x)  −1  − − 1 ÷  ÷   ′ f (x) = − x + x +L 2!  −  − − 1L  − − n + 1  ÷ ÷  ÷    2n   +L x +L n! ) f ′( x ) = + ∞ ∑ n =1 n 1.3.5 (2n − 1) 2n (−1) x n n! Điều kiện: ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ x ′(t )dt f f (x) = ∫ =x+ ∞ ∑ n =1 + f (0) n 1.3.5 (2n − 1) 2n +1 (−1) x n n !(2n + 1) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Các ví dụ tính tổng ∞ (n + 1).2 1/ S = ∑ n! n =1 ∞ n 2n ∞ 2n s = ∑ n + ∑ n =1 n ! n =1 n ! ∞ ∞ 2n =∑ + e2 − n =1 (n − 1)! n −1 2 = 2∑ + e −1 n =1 (n − 1)! ∞ n 2 =2∑ + e − = 2e + e − = 3e − n =0 n ! 2/S = ∞ ∑ (−1) n =1 1 1 − ÷ n  n 3 n −1  Xét chuỗi lũy thừa: R(x) = ∞ n −1 n ( − 1) x ∑ n =1 ∞ ∞ n x T ( x ) = ∑ ( −1)n −1 n n =1 −x R ( x ) = − ∑ (− x ) = − , x ∈ ( −1,1) 1+ x n =1 n T ( x ) = ln(1 + x ), x ∈ ( −1,1] 1 1   ⇒ S = R  ÷− T  ÷  3  3 ∞ (−3)n 3/S = ∑ n +1 n ( n + 2) n =1 ∞ n 1   n1 S = ∑ (−1)  − ÷ ÷ 10 n =1  n n +   n n+2    3  3 ∞   ∞  ÷  ÷ 5 5  n − n +       = − ∑ (−1) +  ÷ ∑ (−1) 10  n =1 n n+2    n =1     n n+2    3  3 ∞   ∞  ÷  ÷ 5 5  n − n +       = − ∑ (−1) +  ÷ ∑ (−1) 10  n =1 n n+2    n =1     n   3   ∞  ÷ 3  n −1     = − ln 1 + ÷+ (−1) ∑ 10  n    25 n =3     n   3   ∞  ÷ 3  n −1     = − ln 1 + ÷+ (−1) ∑ 10  n    25 n =3     1       =  − ln 1 + ÷+ ln 1 + ÷− +   10    25    25    189  = 16ln − 250   ...  ÷ n = 2n +    π  = 3.arctan  ÷ =  3 CHUỖI TAYLOR Nhận xét: chuỗi đạo hàm chuỗi lũy thừa có khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa hàm khả vi vô hạn khoảng htụ f ( x ) =... Chú ý 1 .Chuỗi lũy thừa liên tục miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) tổng chuỗi chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng 3.Bán kính hội tụ chuỗi đạo hàm chuỗi tích phân BKHT chuỗi. .. khai triển chuỗi 1.Vận dụng chuỗi Maclaurin 2.Viết dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n với hàm f cho trước 3.Chỉ miền hội tụ chuỗi tìm được, miền mà hàm f khai triển thành chuỗi Taylor Chuỗi Maclaurin