CHUỖI hàm (GIẢI TÍCH)

§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng � � n n � an ( x - x0 ) hay � an x n=0 n=0 a0, a1, a2, số Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n biến x, hàm lũy thừa theo x (x-x0) Ta đặt X=x-x0 đưa dạng (1) thành dạng (2) nên ta viết kết sau với số hạng tổng quát dạng (2) §2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ � n Miền HT chuỗi lũy thừa � an x tập D n=1 � n a x � " x = x0 �D chuỗi số n HT n=1 Ví dụ: Chuỗi � n � x n=0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT |x|1 Vậy MHT (-∞,-1)U(1,+ ∞) 2n §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT � Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa �an x n n=1 � � an x0 tức chuỗi số n n =1 HT x=x0, HT Theo đkccsht ta n n a x = � $ M > : a x < M, " n lim n n n �� Biến đổi số hạng tổng quát chuỗi: n �x � n n � n an x = an x � � = a x � n � � x �0 � n n �x � �x � � � � � = vn, " n < M � � � � � � � � x0 � x0 � � � � v n HT Nếu |x||x1| n Bán kính hội tụ (BKHT): � Số R>0 cho chuỗi �an x n HT với x: |x|R gọi BKHT chuỗi §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT chuỗi lũy thừa � n lim | a | n � n �� R= Thì BKHT r =� Đặt: � | an+1 | r lim � n �� | an | � Cách tìm MHT chuỗi lũy thừa Sau tìm xong BKHT, ta xét HT chuỗi điểm x=R x=-R có kết luận §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT chuỗi sau n � � x n � (nx ) � n n=1 n=1 n Với chuỗi lũy thừa này, ta có an=nn: r = lim n | an | = lim n = +� � R = n�� n�� BKHT R=0 tức MHT gồm điểm {0} 1 n n = �R =2 an = n � lim | an | = lim n 2 n �� n �� n n � Khi x=2: � chuỗi số dương HT n=1 n � (- 1)n Khi x=-2: � chuỗi HTTĐ n=1 n Vậy MHT [-2,2] §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT chuỗi: n n � � �n +1 � x 2n � � � n � � ( x - 1) � n � 2n - 1� n=1 + n=1� (n - 1)! x � n=1 5n � n n! � n n n=1 n x � Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT (-5,5) 1 n an = n � lim | an | = lim n n = → R=5 n n n �� n �� + +5 � (�5)n Khi x=± 5: � n Là chuỗi PK theo đkccsht n n=1 + Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht chuỗi đan dấu tương ứng PK theo đkccsht §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n �n +1 � � , X = ( x 1) �0 Chuỗi lũy thừa với an = � � � � � 2n - 1� n � � n +1 � n n � lim | an | = lim � = → R=2 � � n�� n�� � 2n - 1� n � �n + � n � Ta xét X=2: � � Chuỗi PK theo đkccsht � � � 2n - 1� n=1� n 2n- 1�2n- � n � � � �3 � 2n + 2� � � �0 � � � � un = � = + n � � e � uuu uuu r � � � � � 2n - 1� � � � � �2n - 1� � � � � � � Suy ra, chuỗi cho HT � X < � �( x - 1)2 < � 1Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2) < x < 1+ §2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT (n - 1)! Chuỗi lũy thừa với an = 5n | an +1 | n! 5n n � lim = lim n +1 = lim = +� → R=0 n �� | an | n �� (n - 1)! n�� Vậy BKHT R=0, MHT {0} §2 Chuỗi Taylor - Maclaurint � / ln(1  x )  �(1) n 1 x n n 1 � n , D   1,1 2n 1 x / sin x  �( 1) (2n  1)! n 0 n � 2n x cos x  �(1)n (2n )! n 0 � 2n 1 x / arctan x  �( 1)n , 2n  n 0 DR D   1,1 §2 Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: x f ( x ) = x - 5x + f ( x ) = ln(2 - x + x ) �1 x � � � = x � � � � x - x - 2� x - 5x + � � � � n n� � � � � � �� �� 1 1 x x � � � � � � � � � � = x� + = x + � �� � � � � � � � � � � x x � �� ��� 3 2 � n =0 n =0 � � � 11- � � � � 2� � �1 � n +1 � x Vậy: f ( x ) = � � MHT: (-2,2) � � n + n + � n =0 � � f ( x ) = x x Chuỗi HT - < < - < < ↔ -2