CHUỖI số (GIẢI TÍCH)

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1 CHUỖI SỐ CHUỖI SỐ DƯƠNG CHUỖI ĐAN DẤU CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2 CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ số hạng dãy (TỔNG VÔ HẠN) nå=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số hạng : Sn=u1+u2+…+un Tổng chuỗi giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < ¥ n ®¥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ Ngược lại, tức không tồn giới hạn giới hạn vơ tận ta nói chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n =1 n đƠ Đ1 Chui s - Tng quan v chui số Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt chuỗi: n 15 + + + + Þ un = -n 16 2 22 23 24 2n + + + + Þ un = 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un chuỗi ¥ n +2 Tính u5? Þ u5 = + = å n =1 4n - 4.5 - 19 (2n - 1)!! Tính u6 å n =1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 Þ u6 = = = = (6 +1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 Ơ Đ1 Chui s - Tng quan v chui số Ví dụ: Tính tổng chuỗi cấp số nhân ¥ n å q n =0 Ta việc tính tổng riêng thứ n chuỗi ìï n, q = ïï n Sn = 1+ q + q + + q = í 1- q n ùù ,q ùợ 1- q Rừ rng q=1, Sn=n chuỗi phân kỳ n Khi |q|1: Dãy {Sn} khơng có giới hạn → chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ |q| n →∞ ⇒chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb §1 Chuỗi số - Chuỗi khơng âm ∞ 4/ ∑a − ln n n =1 Cn = Dn = , a>0 − ln n n − ln n a =a n v lim Cn = a0 = nđƠ 1−  − ln( n +1) ln  ÷ a ln n −ln( n +1) n +1   =a =a − ln n a lim Dn = a0 = nđƠ (Ta khụng dựng c tiờu chun Cauchy, d’Alembert) Biến đổi a − ln n = e − ln n×ln a = n − ln a Suy chuỗi cho chuỗi điều hòa Chuỗi HT lna>1 ↔ a>e ∞ ∑ ln a n n =1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số ¥ n n å (- 1) un = - u1 + u2 - u3 + + (- 1) un + , un ³ n, " n n=1 gọi chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : Nếu ìï un £ un- ¥ ïï n ( 1) un hội tụ å chuỗi í lim u = ùù n n=1 ùợ nđƠ Khi y, ta gọi chuỗi chuỗi Leibnitz tổng S chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi 1/ å n=1 n n (- 1)n n 2/ å n=2 n - 1 1/Ta có : un = đơn điệu giảm dần n Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz n 2/ un = đơn điệu giảm dần n- Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n ¥ ( 1) Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 n + (- 1) Số hạng tổng quát chuỗi un = (- 1)n n n + (- 1) viết dạng (- 1)n v n ,v n ³ Tức chuỗi không chuỗi đan dấu Ta có un = (- 1)n n n + (- 1) = (- 1)n ( n - (- 1)n ) 2n n - (- 1) (- 1)n n = n- n- §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n n Chuỗi å chuỗi đan dấu hội tụ n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n=2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chui PK Đ1 Chui s - Chui an du Ơ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=1 n - ln n Chuỗi đan dấu với un = n - ln n Để khảo sát đơn điệu dãy un ta đặt x-  f (x) = ị f (x) = < 0, " x > x - ln x x ( x - ln x )2 Tức hàm f(x) dãy {un} đơn điệu giảm dần Vậy chuỗi cho HT theo Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: ¥ Nếu chuỗi å | un | hội tụ n=1 ¥ hội tụ Thì chuỗi å un n=1 ¥ ¥ Khi đó: å u n £ å | un | n=1 n=1 ¥ Và ta gọi chuỗi å un chuỗi hội tụ tuyệt đối n=1 §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức chuỗi ¥ ¥ å un không suy chuỗi å | un | n=1 n=1 hội tụ ¥ ¥ Khi chuỗi å un HT chuỗi å | un | PK ta n=1 n=1 ¥ gọi chuỗi å un chuỗi bán hội tụ n=1 Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy d’Alembert ¥ mà biết chuỗi å | un | PK chuỗi n=1 PK ¥ å un n=1 §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ¥ 1 n 1/ å (- 1) tan sin n n n=1 ¥ sin n 2/ å n n=1 1 1 : = , n đ Ơ 1/ Xột un = tan sin n n n n n ¥ Chuỗi å HT, suy chuỗi cho HTTĐ n=1 n n sin n ổử 1ữ 2/ Xột un = Ê =ỗ chui ó cho HTT ữ ữ n n ỗ ố3 ø 3 §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu ¥ n n +1 Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å (- 1) 2n - n=1 Chuỗi cho chuỗi đan dấu với un = n +1 2n - Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm dần nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz Mặt khác, coi chuỗi có dấu n +1 | un |= : , n ® ¥ 2n - 2n ¥ ¥ n +1 Tức chuỗi å | un | = å PK n=1 n=1 2n - Vậy chuỗi cho chuỗi bán HT §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu nỉ ¥ (- 1) Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 Ta cú n2 1ổ n +1ử n n ữ ỗ un = lim lim ữ ỗ n ố ứ n ữ nđƠ nđƠ n ổ 1ữ e ỗ = lim ỗ1+ ữ = >1 ữ nđƠ è n ø ¥ Vậy chuỗi å un n=1 PK theo t/c Cauchy nên chuỗi cho PK n2 n +1ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ố n ứ §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu ¥ arcsin(- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=2 n( n + 1)( n - 1) ìï p , n = 2k n ïï arcsin(- 1) = í ïï - p , n = 2k +1 ïỵ p p Nên u £ : n đ Ơ n n(n +1)( n - 1) n Vì Vậy chuỗi cho HTTĐ §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi ¥ - , u2 n = å un , u2n- = 3n + 3n - n=1 Ta tính tổng riêng thứ 2n chuỗi S2n = u1 + u2 + + u2n- + u2n S2n = (u1 + u2 ) + (u3 + u4 ) + + (u2n- + u2n- ) + (u2n- + u2n ) æ æ æ ỉ 1 - 1ư - 1ư - - ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç S2n = ç + ÷ +ç + ữ + + ỗ + +ỗ + ữ ữ ÷ ÷ ÷ ÷ è5 ø è8 ø è3n - 3n - ø è3n + 3n - 1ứ - 1 - V nđƠ S2n = + ắ ắ ắắ đ 3n + 2 - S2n +1 = S2n + u2n +1 ắ nđƠ ắ ắắ đ Vy tng chuỗi S = lim Sn = Chuỗi HT nđƠ ...§1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ số hạng dãy (TỔNG VƠ HẠN) nå=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số. .. Chú ý: Tổng chuỗi HT chuỗi PK PK §1 Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Chuỗi số ¥ å un , un ³ với tất số hạng n=1 không âm gọi chuỗi khơng âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} dãy số không giảm nên chuỗi HT dãy... n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n=2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chuỗi PK §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=1 n - ln n Chuỗi đan dấu với