Đại 10 chương 4 bất đẳng thức bất phương trình

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨCBẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT CÁC KHÁI NIỆM Khái niệm (Bất đẳng thức) Cho hai số thực a, b Các mệnh đề “a > b”, “a < b”,“a ≥ b”, “a ≤ b” gọi bất đẳng thức Khái niệm (Bất đẳng thức chiều, trái chiều) Cho bốn số thực a, b, c, d Các bất đẳng thức “a > b”, “c > d” gọi bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức “a > b”, “c < d” gọi bất đẳng thức trái chiều Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả) Nếu mệnh đề “a > b ⇒ c > d”đúng ta nói bất đẳng thức “c > d” bất đẳng thức hệ bất đẳng thức “a > b” viết a > b ⇒ c > d Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương) Nếu bất đẳng thức “a > b” hệ bất đẳng thức “c > d” ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a > b ⇔ c > d TÍNH CHẤT Tính chất Điều kiện Nội dung a 0, c > a < b c < d ⇒ ac < bd Nhân hai bất đẳng thức chiều ∗ 2n+1 n∈N a a < b ⇔ a2n < b2n √ √ a có nhiều hướng đánh giá khai thác: … √ b b ab • a + b ≥ ab;a + b = a + + ≥ ; 2 a a 1 • a + 2b = a + b + b; a + = + + = a + + ; 2 √ √ 2 • + a + b ≥ 3 ab; + a = 1…+ + a ≥ 3 a; √ √ 1 1 • a2 + = a2 + + ≥ 3 ; ab = a · b · b; ab2 = a · b · b; a 2a 2a d) Cô-si ngược dấu, với a, b, c dương thì: 1 1 1 ≤ √ ; ≤ √ ; ≤ √ , a+b a a+b+c ab a + abc Ví dụ Cho Å a, b làãhai số dương Chứng minh: 1 a) (a + b) + ≥ 4; a b √ √ 1 b) a2 + b2 + + ≥ 2( a + b) a b Ví dụ Chứng minh a, b dấu a b a b + ≥ a, b trái dấu + ≤ −2 b a b a Ví dụ Chứng minh a2 + b2 = |a + b| ≤ Ví dụ Chứng minh với ba số a, b, c ≥ a + b + c ≥ √ √ √ √ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy nào? Ví dụ Cho a, b dương Chứng minh bất đẳng thức: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab Dấu đẳng thức xảy nào? HDedu - Page Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Định lí Cho a, b, c, d số thực tùy ý, ta có bất đẳng thức sau (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 (Bunhiacopxki) a b = c d Hệ Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng Dấu ” = ” xảy ad = bc ⇔ Cho 2n số a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có bất đẳng thức sau (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Dấu ” = ” xảy a1 a2 an = = = b1 b2 bn Hệ Bất đẳng thức cộng mẫu Cho n số a1 ; a2 ; ; an n số dương x1 ; x2 ; ; xn ta có bất đẳng thức sau a1 a2 an (a1 + a2 + + an )2 + + + ≥ x1 x2 xn x1 + x2 + + xn x1 x2 xn Dấu ” = ” xảy = = = a1 a2 an ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho x2 + y = tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x + 2y Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức A = √ √ − x + x + Dạng Sử dụng bất đẳng thức hệ Ta sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho nhiều số, tốn có mẫu, ta sử dụng Bất đẳng thức cộng mẫu ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức A = √ √ − 2x + + x Ví dụ Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác thỏa mãn x + y + z = 3, tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + + x+y−z y+z−x z+x−y HDedu - Page Dạng Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh rằng: √ (a + c)2 + b2 + (a − c)2 + b2 ≥ a2 + b2 với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Chứng minh rằng: a2 + 4b2 + 6a + + a2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Tìm GTNN P = x2 − x + + x2 + x + Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh |a − b| |a| |b| ≤ + + |a − b| + |a| + |b| Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn |ax2 + bx + c| ≤ 1, ∀|x| ≤ Chứng minh |a| + 2|b| + 3|c| ≤ Ví dụ Tìm GTNN biểu thức A = |x + 2017| + |x − y − 6| + |2x − y + 44| HDedu - Page §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình (bpt) sau thu gọn có dạng ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ a, b số thực với a = x ẩn số GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH AX + B > Å ã b b • Với a > 0, bpt ⇔ x > − Tập nghiệm bpt S = − ; +∞ ; a Å a ã b b • Với a < 0, bpt ⇔ x < − Tập nghiệm bpt S = −∞; − ; a a • a = 0, bpt thành 0x + b > Ta xét hai trường hợp: b ≤ 0, tập nghiệm bpt S = ∅; b > 0, tập nghiệm bpt S = R GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH AX + B ≤ Å ị b b • Với a > 0, bpt ⇔ x ≤ − Tập nghiệm bpt S = −∞; − ; a ẫ ï b b • Với a < 0, bpt ⇔ x ≥ − Tập nghiệm bpt S = − ; +∞ ; a a • a = 0, bpt thành 0x + b ≤ Ta xét hai trường hợp: b ≤ 0, tập nghiệm bpt S = R; b > 0, tập nghiệm bpt S = ∅ HDedu - Page B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn Xét bất phương trình bậc ẩn dạng: ax + b > (*) b • Nếu a > bất phương trình (*) có nghiệm x > − hay bất phương trình có tập nghiệm a Å ã b S = − ; +∞ a b • Nếu a < bất phương trình (*) có nghiệm x < − hay bất phương trình có tập nghiệm a Å ã b S = −∞; − a Các bất phương trình dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ có cách giải tương tự Các bất phương trình khác ta biến đổi bất phương trình dạng ax + b > (hoặc dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) 3x − ≥ b) 2x + < 4x − c) (x − 3)(2x + 5) ≤ 2x2 + 4x − Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) − 2x ≥ x2 + b) x2 + 3x − x2 − x − < x2 + 2x + x2 + 2x + Ví dụ Giải bất phương trình sau: √ x − 1(3x − 8) ≤ 4x + b) √ ≥ 2−x a) √ − 5x c) √ > 2x + 2x + x−1 d) < 2−x HDedu - Page Dạng Giải biện luận bất phương trình bậc ẩn Xét bất phương trình ẩn dạng: ax + b > Trường hợp a = 0: (*) b • Nếu a > bất phương trình (*) có nghiệm x > − hay bất phương trình có tập a Å ã b nghiệm S = − ; +∞ a b • Nếu a < bất phương trình (*) có nghiệm x < − hay bất phương trình có tập a Å ã b nghiệm S = −∞; − a Trường hợp a = 0: • Nếu b > bất phương trình (*) ln nghiệm với x ∈ R hay bất phương trình có tập nghiệm S = R • Nếu b ≤ bất phương trình (*) vơ nghiệm hay bất phương trình có tập nghiệm S = ∅ Các bất phương trình dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ có cách giải biện luận tương tự Các bất phương trình khác ta biến đổi bất phương trình dạng ax + b > (hoặc dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải biện luận bất phương trình mx + > 2x + Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình (m2 − 4m + 3)x + 2m − < vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận bất phương trình √ x − (x − m + 2) > HDedu - Page Dạng Tìm giá trị tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước • Biến đổi bất phương trình bốn dạng sau ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ • Nêu điều kiện mà bất phương trình phải thỏa, từ tìm giá trị tham số ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho bất phương trình (4m2 − 6m)x + 7m ≥ (3m2 − 5)x + + 5m Định m để bất phương trình thỏa với x ∈ R Ví dụ Định m để bất phương trình mx + 3m3 ≥ −3(x + 4m2 − m − 12) có tập nghiệm [−24; +∞) Dạng Hệ bất phương trình bậc ẩn Khi cho hệ bất phương trình bậc ẩn tập hợp nghiệm hệ giao tập hợp nghiệm bất phương trình hệ • Các bước thực hành giải tốn: Tìm điều kiện hệ (nếu có) Biến đổi để đưa hệ bất phương trình dạng đặc trưng a1 x + b1 ≤ (1) a2 x + b2 ≤ (2) Giải bất phương trình hệ Gọi S1 , S2 tập nghiệm phương trình (1), (2) hệ Tập nghiệm hệ bất phương trình S = S1 ∩ S2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải hệ bất phương trình: 3−x≥0 − 2x ≥  2x − < − 2x Ví dụ Giải hệ bất phương trình:  2x − < 5(3x − 1) HDedu - Page 10 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 3x + y ≥ Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x − 4y < Ví dụ a) Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn −2x + 3y > b) Cho hai điểm A(2; 1) B(3; 3), hỏi hai điểm phía hay khác phía bờ (d) Dạng Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Viết bất phương trình hệ dạng phương trình đường thẳng (thay dấu lớn, bé dấu bằng) • Vẽ đường thẳng hệ trục tọa độ • Xác định điểm M thỏa bất phương trình hệ • Lần lượt tơ đậm nửa mặt phẳng khơng chứa M có bờ đường thẳng vẽ Ta miền nghiệm hệ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau x+y >1 x−y −1 HDedu - Page 20 Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau   2x + 5y >   x − 3y ≥    x+y 0, ∀x ∈ R ß ™ Å ã b b • ∆ = ⇒ af (x) > 0, ∀x ∈ R\ − f − = 2a 2a af (x) > 0, ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞) • ∆>0⇒ af (x) < 0, ∀x ∈ (x1 ; x2 ) Với x1 ; x2 nghiệm phương trình f (x) = 0, x1 < x2 ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Định nghĩa Bất phương trình bậc hai ẩn số bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > (hoặc ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0; ax2 + bx + c ≤ 0) với a, b, c số thực cho, a = 0, x ẩn số BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax2 + bx + c < (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0), a, b, c số thực cho, a = HDedu - Page 23 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xét dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) Đặt ∆ = b2 − 4ac • Nếu ∆ < a.f (x) > 0, ∀x ∈ R b • Nếu ∆ = a.f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R f (x) = ⇔ x = − 2a • Nếu ∆ > f (x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 +o a.f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞) +o a.f (x) < 0, ∀x ∈ (x1 ; x2 ) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xét dấu tam thức bậc hai f (x) = x2 − 2x + Ví dụ Xét dấu tam thức bậc hai f (x) = x2 − 5x − Ví dụ Xét dấu tam thức bậc hai f (x) = −x2 + 3x + Ví dụ Xét dấu biểu thức f (x) = x2 + 4x + x−1 2 Ví dụ Cho tam thứcÅbậc hai ã f (x) = x − (2m − 1)x + m − m Tìm giá trị tham số m để f (x) < với ∀x ∈ ;1 HDedu - Page 24 Dạng Tìm điều kiện tham số để tam thức bậc hai mang dấu Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) Đặt ∆ = b2 − 4ac a>0 • f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ∆≤0 a Ví dụ Giải bất phương trình −2x2 + 3x + > Ví dụ Giải bất phương trình (3x2 − 10x + 3)(4x − 5) ≥ Ví dụ Giải bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình (3x2 − x) (3 − x2 ) ≤ 4x2 + x − x2 < −4 3x + x − HDedu - Page 26 Dạng Bài tốn có chứa tham số Để giải dạng tốn ta phải xác định dấu hệ số x2 dấu biệt thức ∆ từ áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tìm giá trị tham số m để biểu thức sau không dương với x ∈ R a) f (x) = −2x2 + 2(m − 2)x + m − b) f (x) = (m − 1)x2 − 2(m − 1)x − Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [1; 3] x2 − (m + 2) x + m2 + 4m ≤ (1) Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x2 − (2m + 3) x + 6m có tập x2 + 2x + xác định R HDedu - Page 27 HDedu - Page 28 HDedu - Page 29 HDedu - Page 30 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Năm học 2018 -2019 Lớp 10 Mơn :Tốn Thời gian làm bài: 90 phút - Câu I ( 2,0 điểm ) Giải bất phương trình 5x2  (3  x)2  Giải phương trình  3x   x Câu II ( 2,0 điểm ) Tìm tập xác định hàm số f ( x)  1  x2 4x  x2 Giải bất phương trình x  x    Câu III (2 ,0 điểm ) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x2  2(m  1) x  4m  vơ nghiệm Giải bất phương trình x   x   1200 Câu IV ( 1,5 điểm ) Cho tam giác ABC có AB  cm , AC  10 cm , BAC Tính diện tích tam giác ABC Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Câu V ( 1,5 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A( ;  1) đường thẳng d có phương trình 2x  y   Viết phương trình tham số đường thẳng d Tìm điểm M thuộc d cho AM  Trong đường thẳng qua O, viết phương trình tổng quát đường thẳng mà khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn x 1 Câu VI ( 1,0 điểm ) Cho x   Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  x2  Hết -Học sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi khơng giải thích thêm HDedu - Page 31 HDedu - Page 32 HDedu - Page 33 HDedu - Page 34 ... dụ Giải bất phương trình 3x2 + 2x + > Ví dụ Giải bất phương trình −2x2 + 3x + > Ví dụ Giải bất phương trình (3x2 − 10x + 3)(4x − 5) ≥ Ví dụ Giải bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình (3x2... Giải bất phương trình |3 − 2x| < x + Ví dụ Giải bất phương trình |2x − 2| + |3 − x| > Ví dụ Giải bất phương trình |5 − 8x| < 11 Ví dụ Giải bất phương trình |2x − 4| ≥ Ví dụ Giải bất phương trình. .. chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng cách sau: + Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức biết + Sử dụng bất đẳng thức biết, biến đổi để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng