bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Trang 1BÀI TẬP NHểM
Trang 2
LỜI NểI ĐẦU
Bắt đẳng thức, bất phương trỡnh là một chủ đề trọng tõm trong
chương trỡnh toỏn phổ thụng Trong tài liệu này nhúm trỡnh bày phõn loại cỏc mục tiờu trong giỏo dục toỏn ở chương “Bắt đăng thức và bất phương trỡnh” (sỏch Đại số 10-nõng cao) với cỏc nội dung:
-Nhận biết
-Thụng hiểu -Vận dụng
-Những khả năng bậc cao
Thụng qua cỏc vớ dụ cụ thể nhúm phõn tớch và làm rừ những nội dung phõn
loại cỏc mục tiờu giỏo dục
Do thời gian ngắn nờn cỏc kết quả của nhúm cũn hạn chế, nội dung
cũn nhiều thiếu sút Nhúm mong nhận được sự gúp ý của Thầy hướng dẫn
và cỏc bạn trong lớp
Trang 3
A NHẬN BIẾT
Là một mục tiờu trong giỏo dục toỏn học, giỳp học sinh định hỡnh
được dạng bài tập, bài toỏn cần làm, cần thực hiện
Để làm rừ hơn về vấn đề này, chỳng ta đi cụ thể vào vấn đề giải bất đắng thức và bất phương trỡnh
Cụ thể, trong chương bất đẳng thức và bất phương trỡnh học sinh cần nhận biết được hai bất đẳng thức quen thuộc là bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức bunhiacopxki, cỏc bất đẳng thức, bất phương trỡnh thường gặp như bắt phương trỡnh chưa trị tuyệt đối, bất phương trỡnh chứa căn Và
cỏch vận dụng của chỳng
Ngoài ra chương bất đẳng thức và bất phương trỡnh cũn yờu cầu học
sinh biết được khỏi niệm hệ bất phương trỡnh, bất đẳng thức cú điều kiện
I Bất đắng thức
VDI Chứng minh rằng |x| + 1 > 1
Học sinh nhận biết đõy là bất đẳng thức cú dạng trị tuyệt đối
VD2: cho x,y thỏa món x/1—y? + yv1— x? =1 Chứng minh rằng x?+y?= 1
Học sinh nhận biết bất đăng thức đó cho cú dạng bất đẳng thức Bunhiacopsky nếu nhận ra
1= (I= +y/1-#)
VD3: chứng minh rằng: x” + y” > 2xy, với mọi số thực x, y
Học sinh nhận biết đõy là bất đẳng thức Cauchy
II Bắt phương trỡnh
VDI Giải bất phương trỡnh
Trang 4
Học sinh nhận biết đõy là bất phương trỡnh tớch của cỏc nhị thức bậc
nhất, từ đú nhận định giải bất phương trỡnh trờn bằng cỏch xột dấu nhị thức bậc nhất
VD2 Giải bất phương trỡnh
x? —-6x+5>0
Hoc sinh nhận biết đõy là bất phương trỡnh bậc hai một ấn, từ đú
nhận định giải bất phương trỡnh bằng cỏch mở dấu trị tuyệt đối để đưa về
cỏc bất phương trỡnh đơn giản VD3 Giải bất phương trỡnh
Vx?— 2x— 15< x—3
Học sinh nhận biết đõy là bất phương trỡnh chứa căn thức, từ đú nhận
định giải bất phương trỡnh bằng cỏch bỡnh phương hai về để làm mất dấu
căn thức
VD4 Giải bất phương trỡnh: 2* > 5*
Học sinh nhận biết đõy là bat phương trỡnh mũ, nếu logarit co số 2
hai về của bất phương trỡnh thỡ cú thờ đưa về bất phương trỡnh đơn giản B THONG HIEU
Yờu cầu học sinh nắm được ý nghĩa của tài liệu, khả năng giải thớch hay suy ra ý nghĩa của cỏc dữ liệu, mở rộng lập luận và giải cỏc bài toỏn mà
ở đú sự lựa chọn cỏc phộp toỏn là cần thiết Mục tiờu giỏo dục toỏn trong
phạm trự thụng hiểu bao gồm 3 loại : chuyờn đổi, giải thớch và ngoại suy
Trong chương bắt đẳng thức và bất phương trỡnh, quỏ trỡnh chuyển đổi đũi hỏi học sinh biết chuyển đổi ý tưởng thành cỏc dạng song song
Giải thớch chớnh là sự phõn tớch một bài tập thành những giả thiết cụ thể,
lập luận với những giả thiết đú rồi đi đến cỏch giải bài toỏn
Trang 5
VDI Tỡm m để hệ sau cú nghiệm
fx + 2x—ms0 m <—x? q) Giải „2 +2x<m 1)câ F i) 1n < —x?
Khi đú, trờn cựng một hệ trục tọa độ ta cú đồ thị của hai hàm số
1; =x?+2x V2 = —x? 2 Dộ thiy, =x? +2x vay, =—x
Bài toỏn đưa đến tỡm?n sao cho cú một phần đồ thị của hàm số
y = m nằm trờn đồ thị hàm số 1; và nằm dưới đồ thị hàm số yz Căn cứ
vào đồ thị của hai hàm số đú học sinh đi đến kết luận —1 < ?n < 0 thỏa món bài toỏn
Đõy là quỏ trỡnh trớ tuệ về sự chuyờn đổi ý tướng từ dạng ngụn ngữ bat phương trỡnh thành dạng ngụn ngữ đồ thị Nếu khụng chuyờn đụi được như vậy học sinh sẽ khụng cú cỏch giải bài toỏn này
Trang 6
VD2 Cho 2 số a,b > 0 Chứng minh rằng
a? + b > ab(a + b) (2)
Ching minh
(2) = (a+ b)(a? — ab +b?) = ab(a+b) = (a? —ab+b?) = ab
= a? +b*>2ab (dung theo bat dang thuc Cauchy)
Trong vớ dụ này, học sinh phải phõn tớch được giỏ thiết bài toỏn thật cụ thờ a,b > 0 nhằm ỏp dụng bắt đẳng thức Cauchy
a3 +b = (a + b)(a? — ab + b3) theo hằng đẳng thức
Như vậy hai về của bất đẳng thức sẽ nhúm được a + b chung, rồi giản ước
vàa+b >0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được bài toỏn
Kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải hiểu trong vớ dụ này vẫn là bất đẳng thức Cauchy
a? + b2 >2ab với a,b>0
Từ đú, học sinh cú thể ứng dụng nú để mở rộng thành những bài toỏn khỏc
như :
a?+ bˆ+c?> ab + bc + ca
Trang 7Thụng hiểu trong bài toỏn được thẻ hiện ở chỗ học sinh phải phõn
tớch giả thiết bài toỏn cho là a,b,e > 0, a+ b + e = 1 để làm gỡ?
Học sinh biết nhõn vào về trỏi với a + b + c sau đú ỏp dụng bất
đăng thức Bunhiacopsky Vấn đề là phải hiểu một cỏch chắc chắn về bất đẳng thức này Trong bài toỏn, thụng hiểu cũn được thể hiện ở chỗ học
sinh cú thể chuyển đối ý tưởng giải bài toỏn bằng bất đẳng thức Bunhiacopsky thành ý tưởng giải bằng bất đẳng thức Cauchy
1.1 1 1.1 1 b
a tb + =( 745 +- )(a+ b+c) > 3l 3Vabe =9 abc
VD4 Giai bất phương trỡnh sau x?—9x+ 14
x?-5x+4 > (3)
Giai
hope 2 x#l
điờu kiện: xˆ — 5x +4 #0â tếua
x?-9x+14>0, {xix 414 <0
ST h x?—5x+4<0
x>7
eS x<1
2<x<4
Bài toỏn yờu cầu học sinh nắm chắc về cỏch xột dấu của tam thức
bậc hai Đồng thời phải hiểu được kiến thức cũ
A A>0,B>0
P>0 °lA<0,p<0
Khi đú, phõn tớch bài toỏn ra hai trường hợp, giải từng trường hợp rồi lấy nghiệm
Khụng chỉ yờu cầu học sinh thong hiểu kiến thức về tam thức bậc hai
Trang 8
Trờn cơ sở đú, học sinh cú thể ứng dụng bài toỏn trờn để cú ngững kết quả khỏc :
(x? —5)(x? + 2x-3)<0 x?—2x—3
————> x-5
C VAN DUNG
Là quỏ trỡnh sử dụng ý tưởng, quy tắc, phương phỏp chung vào cỏc tỡnh huống mới cỏc cõu hỏi yờu cầu học sinh phải ỏp dụng cỏc khỏi niệm quen thuộc vào cỏc tỡnh huống khụng quenn thuộc, cú nghĩa là phải ỏp dụng kiến thức vào việc hiểu cỏc kỷ năng về cỏc tỡnh huống mới hoặc những tỡnh huống được trỡnh bày theo một dạng mới
a+b+c+d=7
VDI: Cho(,2 +22 22+ g2 — 13
Chứng minh rằng: 1 < a,b,c,d < >
Học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này, cụ
thể là: Tacú:z+b+c+d =7 => (7 —a)? =(b+c+d)? <= b?+c?+d? ( bất đẳng thức Bunhiacopsky) = (7 -a)* <13-a’ = 4a?— 14a +10< 0 5 2 =>l<qa<
Do vai trũ bỡnh đẳng cua a, b, c,d suy ra điều phải chứng minh
VD2 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
a + b + c < | a + b + Cc a+b b+c cta b+c c+a a+b
Học sinh vận dụng bất đăng thức cúi và cỏc bất đăng thức cơ bản đả
Trang 9
Theo bất đẳng thức Cauchy
a a 2a
bt+c aS? *aebere” a+b+c
bs 2b c+a at+b+c Cc >———— 2c a+b qa+b+c | a + b + Cc >2 (a) => a b+c c+a a+b Tương tự ; Mặt khỏc ta cú a+c a a+b b b+c c > , > , >
a+b+c a+ba+b+c b+ca+b+c c+a
2> + P + â b
= ———
a+b b+c ct+a (b)
Tir (a) va (b) suy ra điều phải chứng minh
VD3 Chứng minh rằng
Vx? + xy+y? +Vx?+xz+z? > JjJy?+yz+z?
Học sinh vận dụng bắt đẳng thức vectơ vào để giải bài toỏn đó cho, cụ thộ; Chọn ọ=(x+Š, -Šy) =(x +227)
=b-ọ= y v3 227”2 +3,
Ta cú : |đ|/x? + xy + y2, |b| = Vx? + xz + z? |P - ọ| = Wy? + yz+z?
Trang 10
Mà lđ| + || > |b— đ| =>đpem
VD4: giải bất phương trỡnh :
+ — 5x? +6<0 (4)
Học sinh ỏp dụng phương phỏp đặt õn phụ để đưa về phương trỡnh bậc hai và sau đú ỏp dụng phương phỏp xột dấu tam thức bậc hai để giải bat
phương trỡnh, cụ thể ĐặtX = +? > 0 Khi đú 2 (1) Trở thành X? — 5X +6 < o={ Š x.¿=“1< X <6 >11<x”<6â —V6<x< —1 1<x<w6 VDS5 : cho ứ,b,c,> vàa+b+c=1 Chứng minh rằng: (1 ++) (1 +2) (1 ++) > 64
Ở đõy, học sinh nhận biết bất đẳng thức đó cho cú dạng bất đắng thức Cauchy nếu nhận ra 1 1 1+—=_-(a+a+b+c) aoa 142-2 +b+b+ 5 pet c) 1 1 1+- = -(a+b+c+c) c c
VD5 Giai bat phuong trinh
[e+ ave=T+ x—2ve=1>3
Hoc sinh nhan biột
x +2Vx—1=x-1+42Vx—-1+1=(Vx-1+1),
x—2Wx~1=x—1—2Vx—=1+1=(Vx=1- 1),
Trang 11
D NHUNG KHA NANG BAC CAO
Là một phạm trự rộng, bao gồm cỏc phạm trự con, phõn tớch, tổng
hợp, đỏnh giỏ Là việc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phỏn xột đựa trờn kết quả của lời giải bằng việc phõn tớch bài toỏn, học sinh phải nhận ra cụng thức hoặc quy luật mà trước đú học sinh chưa thấy rừ rang hoặc chưa phỏt hiện ra
VDI: cho ba số thực a, b,c > 0 thỏa món abc = 1 Chimg minh rang:
bc + ca + ab >> 3
a(b+c) b?(at+c) c?(at+b) 2
Giai:
— 1 + 1 + 1
_ ứ*“(b+c) b“(c+a) c*(a+b)
“a“œ+đ) 4` 9 *”b(e+a 41979” s4(a+b)
VT
1 1
++(a+b)—2(a+b+e)
>2 22+ [a1 fo 4a*(b+c) 4b*(a+c) 4c*(a+b) -(a+b+o) 2
=(a+b+ce)— z(g+b+â) = 2(g+b+c)
>=3Vabe Nie = Nw : Đpcm
Thụng qua những vấn đề của bài toỏn và lời giải học sinh đặt ra
những thắc mắc:
+ Vỡ sao tử số cú bc, ca, ab liệu giả thiết œbc = 1 cú phải sử dụng
đõy khụng
+ Vỡ sao lại cộng *(b +c) *(c +a), s(a + b) vào mà khụng phải
là lượng khỏc
Trang 12
Qua việc phõn tớch giả thiết học sinh mới nhận ra (hoặc được sử dụng hưởng dẫn của giỏo viờn) về sơ đồ điểm rơi
Ta dự đoỏn dấu bằng xảy ra khi a = b = e = 1 để khử b +c,c+a,a+b dưởi mẫu
Ta mới cộng vào ứ(b + €), œ(c + a), œ(a + b)
a=b=c=1 1 Tacú |———= a(b+c) đ#=† a* (b+c) Nộn VT = , + 204 )+ + J(a+ử+ _gứ#(b+c) 4 â b* (c+a) +9 ° c* (a+b) 1 1 + a+b)-z(a+b+o),
rồi ỏp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra Dpcm ab>0
VD2( Tp ca tim MinS, voi S = 5a + 6b +Š + =
Giải
2 12
Ss =3a+3b+(<+2a)+(3b4+—)>94+224+26=23
Mặc dự là dựng sơ đồ điểm rơi, nhưng khụng phải khi nào cũng suy đoỏn theo kiểu đối xứng:
a+b=3=a=b=
3|
G3
thỡ sẽ khụng giải được bài toỏn
Hai vớ dụ trờn yờu cầu sự chia nhỏ thụng tin thành những phần phủ
hợp và tổ chức chỳng lại cho cỏc mối quan hệ trong một bài toỏn những khả năng bậc cao của học sinh cũn dược thẻ hiện ở chỗ học sinh biết phõn biệt cỏc sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nao cộ thộ phai tao nộn để minh chứng cho những quy tắc nào đú Hay cụ thể hơn, là việc phõn tớch kiểm định lời giải của một bài toỏn là đỳng hay sai
VD3 : Hỏi lời giải sau đõy là đỳng hay sai :
Trang 13
\x?+3x+2+ 2x? +6x+5 <2x?+9x+7 (5) x?+3x+2 >0 x<-5 Điều kiện :‡ x?+6x+5 >0 = [ks = 2x?+9x+7 >0 ()â ÿVŒœ+1)(x+2)+/Œ+1)(œx+5) < /Œ+1)(x+7) (Œ9 âvdx+1vx+2+Vx+1VvVx+5 <vx+1V2x+7 (Œ*#đ) (*** ) âvdWx+2+Vx+5 <V2x+7 â2x+7 +2j(x+2)(x+5)< 2x+7 = J(x+2)(x+5) <0 â(x+2)(x+5) = x=-=5 “đèy =-2
Đối chiếu điều kiện suy rax = —5 là nghiệm của bất phương trỡnh Như vậy, chỉ khi học sinh nắm chắc kiến thức chương trỡnh về bất
phương trỡnh, và kiến thức từ trước thỡ học sinh mới đủ lập luận, chứng cứ
để cú thể phỏt hiện ra những bước giải sai lầm Cụ thể :
x <- er
Với điờu kiện l > - thỡ bước biờn đụi (*) <â> (**) khụng đỳng
vWŒô+1)ôx+2) = vVx+l Vx+2 khụng đỳng trong trường hợp
x<—B5
Tương tu cho J(x + 1)(x +5) va J (x + 1)(2x+7)
Bước biến đổi (**) â> (***) là sai vỡ cũn sút trường hợp V + 1 = 0, dẫn đến sút nghiệm x = —1
Những khả năng bậc cao cũn được thể hiện ở chỗ học sinh cú khả
năng sang tạo, xõy dựng được những cỏch giải mới, dể hiểu hơn, thực dụng
hơn là đi theo lý thuyết đó học
Trang 14
VD4 Giải bất phương trỡnh : |x +1| > |1— 2*x| (6) Theo lý thuyết, học sinh sẽ xột dấu cỏc biểu thức trong dấu trị tuyệt
đối, để mở dấu trị tuyệt đối đú, rồi giải theo 3 trường hợp
1 1
x2;,x< -l,và l<x<-
đưa ra đỏp số 0 < +x < 2 là tập nghiệm của bất phương trỡnh
Tuy nhiờn, nếu học sinh cú khả năng tư duy tốt thỡ cú thể phỏt hiện cỏch
giải mới hay hơn Vớ dụ :
(6) â (|x + 1)? > (|1— 2xl)°
âx?+2x+1>1-4x+4+7 = 3x*- 6x <0
â0<x<2
Ngoài ra, mục tiờu của phạm trự cỏc khả năng bậc cao cũn được thể
hiện ở chỗ đũi hỏi học sinh
+ Phõn biệt một kết luận từ cỏc mệnh đề hỗ trợ nú;
+ Cú được cỏc khỏm phỏ toỏn học và tổng quỏt húa từ nhiều kết quả;
+ Đưa ra được một kế hoạch hay phỏt triển một quy tắc giải toỏn;
+ Trừu tượng húa, kớ hiệu húa và tổng quỏt húa (trong cựng một bài
toỏn);
+ Cú thể giải cỏc bài toỏn quy nạp
Trang 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đại số 10-nõng cao,NXB Giỏo dục 2007
2 Tài liệu đỏnh giỏ trong giỏo đục Toỏn, Nguyễn Đăng Minh Phỳc
3 Phương phỏp giải Toỏn Đại số,Lờ Hồng Đức -Lờ Bớch Ngọc-Lờ Hữu
Trớ, NXB Hà Nội 2005
4 Chuyờn đề bất đẳng thức, Vừ Giang Giai, NXB ĐHQGHN 2002