chuyên đề bất đẳng thức và phương trình do thầy Trần Sĩ Tùng biên soạn với đầy đủ công thức , phân chia thành nhiều vấn đề để giải quyết , Sau đó là phần bài tập với hướng dẫn rõ ràng tỉ mỉ . rất mong mọi người ghé xem
WWW.TOANTRUNGHOC.COM BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a0 a b a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab c ab ; bc a bc ; ca b ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x y2 ) Dấu "=" xảy ay = bx www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 30 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A2 + A2 B2 + A.B với A, B + A2 B2 AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a4 b4 c2 2a(ab2 a c 1) f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) i) a2 b2 c2 ab ac 2bc 1 1 1 với a, b, c > a b c ab bc ca k) a b c ab bc ca với a, b, c HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 2 2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 d) (a b c)2 2 e) (a b ) (a c) (a 1) a f) (b c) 2 g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 2 1 1 1 i) 0 b b c c a a 2 k) a b b c c a Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 a b a) ; với a, b b) a4 b4 a3b ab3 c) a4 4a d) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > e) a4 b4 g) a 3 a 2 HD: a) a6 b b6 a ; với a, b 2 (a b)(a b)2 f) 1 a 1 b ; với ab 1 ab h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > b) (a3 b3 )(a b) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 31 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng c) (a 1)2 (a2 2a 3) d) Sử dụng đẳng thức a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) 2 2 (b a)2 (ab 1) 0 e) (a b ) (a a b b ) g) (a2 1)2 Bài f) h) ab(a b)(a3 b3 ) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a4 b4 c4 d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2c2d ; a2b2 c2d 2abcd b) a2 2a; b2 2b; c2 2c c) a2 4a; b2 4b; c2 4c; d 4d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a ac a (1) Áp dụng chứng b bc b minh bất đảng thức sau: a a b b c c d a) b) 2 2 ab bc ca abc bcd cd a d ab ab bc cd d a c) 3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < b c a ba cb ac a) Sử dụng (1), ta được: , , ab abc bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b Tương tự, abcd bcd bd c c c abcd cd a ac d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm ab ab abd c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) (a b c) 3(a b c ) a2 b2 c a b c b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a4 b4 c4 abc(a b c) 2 2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 32 Trần Sĩ Tùng e) Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com abc ab bc ca với a,b,c>0 3 f) a4 b4 c4 abc a b c HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 a2 b b2a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c > a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 b) với a, b, c > abc = 1; a3 b3 b3 c3 c3 a3 1 1 1; c) với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 Bài d) e*) 4(a3 b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a3 ) 2(a b c) ; sin A sin B sin C cos A B C cos cos ; 2 với a, b, c với ABC tam giác HD: (1) (a2 b2 )(a b) a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) a3 b3 abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) ab(a b c) d) Từ (1) 3(a3 b3 ) 3(a2b ab2 ) 4(a3 b3 ) (a b)3 (2) Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) e) Ta có: sin A sin B cos C AB C cos cos 2 Sử dụng (2) ta được: a b 4(a3 b3 ) sin A sin B 4(sin A sin B) 4.2.cos Tương tự, A , sin B sin C cos C C cos 2 sin C sin A cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 x b2 y2 (a b)2 ( x y)2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b thoả a b Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2 1 a2 b2 b2 b2 a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh: x2 x y2 y z2 z2 82 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 33 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: P= 223 x 223 y2 223 z2 HD: Bình phương vế ta được: (1) (a2 b2 )( x y2 ) ab xy (*) Nếu ab xy (*) hiển nhiên Nếu ab xy bình phương vế ta được: (*) (bx ay)2 (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: a2 b2 (1 1)2 (a b)2 b) Sử dụng (1) P 2 1 1 (a b) (a b)2 17 a b ab 1 (với a, b > 0) a b ab c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: Chú ý: 1 1 1 x y z ( x y z) x2 y2 z2 x y z 2 2 Chú ý: 2 ( x y z) 82 xyz 1 (với x, y, z > 0) x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P 223 ( x y z)2 2010 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y Bài Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a b c)(a2 b2 c2 ) 9abc a) (a b)(b c)(c a) 8abc c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc d) bc ca ab a b c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc ab bc ca a b c ; với a, b, c > ab bc ca a b c g) ; với a, b, c > bc ca ab f) HD: a) a b ab; b c bc; c a ca đpcm b) a b c 33 abc ; a2 b2 c2 a2b2c2 đpcm c) (1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc ab bc ca a2b2c2 a b c 33 abc (1 a)(1 b)(1 c) 33 abc 33 a2 b2c2 abc 1 abc d) bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT 2(a2 b b2c c2 a) a3b3c3 6abc f) Vì a b ab nên ab ab ab bc bc ca ca ; Tương tự: a b ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 2 (vì ab bc ca a b c ) a b c 1 1 1 g) VT = bc ca ab 1 1 = (a b) (b c) (c a) 3 2 bc ca ab Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 35 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng x y z x z y 3 (2 3) y x x z y z 2 Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c Khi đó, VT = b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 a c b a c b Chú ý: a3 b3 a2 b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) 2(a3 b3 c3 ) a2b b2 a b2c bc2 c2a ca2 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1 1 a) ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > ab bc ca 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c a b c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x 2y 4z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 HD: (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: a b c 2a b c a 2b c a b 2c 11 1 ab ( a b) d) Theo (1): ab 4a b ab Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Bài Cho a, b > Chứng minh www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 36 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 1 4 p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh a b c abc BĐT sau: 1 a) (a2 b2 c2 ) (a b c ) ab bc ca x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P= 2 a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 30 2 ab bc ca a b c 1 e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: cos2 A cos2B cos2C 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) Áp dụng (1) ta được: VT 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) ( a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: 1 x 11 y 11 z 11 P= = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 Ta có: Suy ra: P 4 x 1 y 1 z 1 x y z Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN x y z kx ky kz 9 c) Ta có: P 2 a 2bc b 2ca c 2ab (a b c)2 d) VT 2 ab bc ca a b c 1 = 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c biểu thức: P = (a b c) 30 ab bc ca 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 37 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 1 cos2 A cos2B cos2C cos2 A cos2B cos2C 6 Chú ý: cos2 A cos2B cos2C Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x x 18 b) y ; x y ; x x 1 x 3x x 1 y ; x 1 d) y ; x x 1 2x 1 x x3 f) y y ; x 1 ; x0 1 x x x2 e) Áp dụng (1): Bài a) c) e) g) y x2 4x ; x0 x h) y x ; x0 x3 b) Miny = x = HD: a) Miny = x = 6 x = 1 5 e) Miny = x 30 30 x = 3 f) Miny = x = 3 g) Miny = x = h) Miny = x = 5 27 Bài Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x); x b) y x(6 x); x c) Miny = 6 c) y ( x 3)(5 x ); x e) y (6 x 3)(5 x ); g) y d) Miny = d) y (2 x 5)(5 x ); x 2 f) y x x2 x5 ; x0 x2 x 3 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x 2 x ) 2 e) Maxy = x = g) Ta có: x x x ( x 2)3 27 x x2 ( x 2)3 27 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 38 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Maxy = x = 1 27 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x y2 ) Dấu "=" xảy ay = bx Với a, b, c, x, y, z R, ta có: (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x y2 z2 ) Hệ quả: (a b)2 2(a2 b2 ) Bài (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 3a2 5b2 a) 3a2 4b2 , với 3a 4b c) 7a2 11b2 2464 , với 3a 5b 137 d) a2 b2 735 , với 2a 3b 47 , với a 2b f) ( x y 1)2 (2 x y 5)2 e) 2a2 3b2 , với 2a 3b HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 3a, 5b 5 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , , 7a, 11b 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT a2 b2 Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2 b2 , với a b b) a3 b3 , với a b c) a4 b4 , với a b d) a4 b4 , với a b Bài HD: a) (1a 1b)2 (12 12 )(a2 b2 ) đpcm b) a b b a b3 (1 a)3 3a 3a2 a3 1 1 b a 3 a 2 4 3 c) (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 đpcm d) (12 12 )(a2 b2 ) (a b)2 a2 b2 Bài (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 a4 b4 Cho x, y, z ba số dương x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 39 Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng P 1 x 1 y 1 z P (1 x) (1 y) (1 z) HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: Dấu "=" xảy x y z x y z Vậy Max P = x y z Cho x, y, z ba số dương x y z Chứng minh rằng: Bài x2 x y2 y z2 z2 82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 1 9 9 2 (1) x x (1 ) x x x x 82 x x 1 9 1 9 Tương tự ta có: y z2 z y (2), y z 82 82 y z2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 80 1 ( x y z ) x y z x y z 82 1 80 2 ( x y z) 82 82 x y z x y z Dấu "=" xảy x y z P Bài 1 ( x y z) = 82 x y z Cho a, b, c thoả a b c Chứng minh: (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) Chú ý: x y z x y z Dấu "=" xảy x = y = z = Từ (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A , với x + y = b) B x y , với x y x 4y 2 HD: a) Chú ý: A = x 2 y Áp dụng BĐT (B) với số: x ; ta được: ; y; x y 4 25 x y ( x y) x y x 4y 25 Dấu "=" xảy x ; y Vậy minA = x ; y 5 5 2 2 3 b) Chú ý: x y x y www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 40 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Áp dụng BĐT (B) với số: ; x x; y; ta được: y 2 3 2 3 3 ( x y) x y 3 x y x y x y Dấu "=" xảy x Bài 3 Tìm GTLN biểu thức sau: ; y 3 Vậy minB = 3 a) A x y y x , với x, y thoả x y2 HD: a) Chú ý: x y 2( x y2 ) ( x y2 )(1 y x ) x y A Dấu "=" xảy x y Bài 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A x x , với –2 x b) B x x , với x x y2 (12 12 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy x c) C y x , với 36 x 16 y2 d) D x y , với HD: a) A A (7 x) ( x 2) Dấu "=" xảy x = –2 x = maxA = x ; b) B minA = x = –2 x = (62 82 )( x x ) 10 Dấu "=" xảy x = 43 25 B ( x 1) (3 x ) x Dấu "=" xảy x = maxB = 10 x = 43 ; 25 minB = x = 1 c) Chú ý: 36 x 16 y2 (6 x)2 (4 y)2 Từ đó: y x y x 1 1 y x 16 y 36 x 4 16 15 25 C y 2x y 2x 4 4 15 25 2 9 minC = x , y ; maxC = x , y 5 20 20 4 y 2x d) Chú ý: x y2 (3x )2 (2 y)2 Từ đó: x y 3x y 36 4 1 3x y x y 9 4 5 x y 7 D x y 2x y www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 41 Bất đẳng thức – Bất phương trình minD = –7 x , y www.toantrunghoc.com ; Trần Sĩ Tùng maxD = x , y 5 Bài a) II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b a>0 S = ; a b a (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x ) Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) (2) Q( x ) P( x ) Cách giải: Lập bảng xét dấu Từ suy tập nghiệm (2) Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình Dạng 2: Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com g( x ) f ( x ) có nghóa f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) A B B A B ; Chú ý: Với B > ta có: A B A B A B Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x 1)( x 1)(3x 6) d) 3x(2 x 7)(9 3x) e) Bài Giải bất phương trình sau: (2 x 5)( x 2) 0 a) b) 4 x 3x 1 d) e) x 2 x3 8x 17x 10 x 3 x 5 x 1 x 2x 1 2 x 2x2 x 4 g) h) 1 x 1 2x 3x x Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x b) 5x 12 x 1 d) 3x 15 e) x g) x x h) x x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 2x m 1 mx m 0 a) b) 0 x 1 x 1 HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương: a x b1x 0 (a1x b1 )(a2 x b2 ) , a2 x b2 x – Đặt x1 c) x x 20 2( x 11) b) (2 x 7)(4 5x) f) x3 x 11x x 1 2x x 5 x 3 f) x 1 2x 1 x 3x i) 3x 2 x c) c) 2x x f) x i) x x c) x 1( x m 2) (hoặc < 0, 0) b1 b ; x2 Tính x1 x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1 x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta a x b1x xét dấu (a1x b1 )(a2 x b2 ) (hoặc ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x b2 x 3 m ; m : S (; 1) 3 m a) m : S ; (1; ) m : S R \ { 1} m : S (1; ) c) m : S (m 2; ) Bài Giải bất phương trình sau: a) m 1 ; m : S (;1) m m 1 ;1 b) m : S m m : S (;1) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 44 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai 0 f(x) = ax bx c (a 0) a.f(x) > 0, x R b a.f(x) > 0, x R \ 2a a.f(x) > 0, x (–∞; x1) (x2; +∞) a.f(x) < 0, x (x1; x2) a Nhận xét: ax bx c 0, x R ax bx c 0, x R a Bất phương trình bậc hai ẩn ax bx c (hoặc 0; < 0; 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x x b) x x c) 4 x 12 x d) 3x x e) x x f) x x g) (3x 10 x 3)(4 x 5) 2 h) (3x x )(2 x x 1) i) Bài Giải bất phương trình sau: (3x x )(3 x ) 4x2 x a) x 5x b) 5x x 12 c) 16 x 40 x 25 d) 2 x 3x e) 3x x f) x x g) 3x x 0 h) x 3x x 5x x 3x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 0 i) 5x 3x x2 7x 0 a) x mx m b) (1 m) x 2mx 2m c) mx x HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình 2 x x a) x x x2 4x d) 2 x x 10 2 x x g) 4 x2 2x x2 1 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 2 x x b) 3 x 10 x 2 x x c) x 3x 10 x x e) x 2x 1 x2 x f) x 6x x2 2x h) 1 13 x 5x i) 1 10 x 3x x 3x 1 VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vơ nghiệm a) (m 5) x 4mx m b) (m 2) x 2(2m 3) x 5m c) (3 m) x 2(m 3)x m d) (1 m) x 2mx 2m e) (m 2) x 4mx 2m f) (m2 2m 3)x 2(2 3m)x Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x 2(m 1) x m b) x (m 1) x 2m c) x (m 2) x m d) mx (m 1) x m e) (m 1) x 2(m 1)x 3(m 2) f) 3(m 6) x 3(m 3) x 2m Bài Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m 2) x 2(m 1)x b) (m 3) x (m 2) x c) (m2 2m 3) x 2(m 1) x d) mx 2(m 1) x e) (3 m) x 2(2m 5) x 2m f) mx 4(m 1) x m Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ f ( x) C1 g( x ) C2 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) f ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 2: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) Dạng 3: f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 46 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com g( x ) f ( x ) có nghóa f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 4: A A A 0; A A A Với B > ta có: Chú ý: A B B A B ; A B A B AB ; A B A B A B A B A B AB Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) (hoaëc g( x ) 0) Dạng 2: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) t f ( x ), t Dạng 3: a f ( x ) b f ( x ) c at bt c u f ( x ) Dạng 4: ; u, v đưa hệ u, v f ( x ) g( x ) h( x ) Đặt v g( x ) f (x) Dạng 5: f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )2 g( x ) f ( x) f ( x ) g( x ) g( x ) Dạng 6: f ( x ) g( x )2 Bài Giải phương trình sau: a) x 5x x x d) x x b) x x x e) x x c) 3x x x2 x 2 f) x ( x 2) Bài Giải bất phương trình sau: a) x 5x b) x x 3x c) x x d) x x x x e) x x f) x 3x x x x2 4x 2x 1 x 3 x 2 3 1 h) a) 2x x b) 5x 10 x c) x x d) x2 2x x e) 3x x x f) g) x2 x Bài Giải phương trình sau: i) x 5x 3x x x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 47 Bất đẳng thức – Bất phương trình 3x x g) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com x2 x2 h) 21 x 21 x i) 21 x 21 x 21 x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x x x 11 b) x 3x x c) x x x 1 x x Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) d) a) x 2x x 2x b) x x 1 x x 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 1 Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) c) a) x x x x b) ( x 4)( x 1) x 5x c) ( x 3)2 3x 22 x 3x d) ( x 1)( x 2) x 3x Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) 3x 5x 3x 5x b) x 1 x 1 d) 47 x 35 x f) a) c) e) 5x 5x 13 24 x x x 4356 x x x 4356 x x Bài Giải bất phương trình sau: a) x x 12 x b) x x 12 x c) x x 21 x d) x 3x 10 x e) 3x 13x x f) 2x 6x2 x x x 3 x i) x x 2x h) Bài Giải bất phương trình sau: g) a) ( x 3)(8 x ) 26 x 11x b) ( x 5)( x 2) x( x 3) d) c) ( x 3) x x 2 x 15x 17 0 x 3 d) x2 4x 2 3 x 3x 5x 3x 5x b) c) ( x 1)( x 4) x 5x 28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) 2x x x2 x x2 x 2x x4 Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x x Bài 12 Giải phương trình sau: a) b) 3 x 3x c) x 1 x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 48 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 b3 c3 a b c , với a, b, c > xyz = abc abc abc b) , với a, b, c > a b c 1 1 1 c) , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi pa pb pc a b c d) a b b a ab , với a 1, b HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 b3 c3 a3b3c3 2(a3 b3 c3 ) (1) a3 a3 a3 3a (2) Tương tự: b3 3b (3), c3 3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a b c c a b) BĐT Dễ dàng chứng minh a b c b a c 1 1 4 c) Áp dụng BĐT: , ta được: x y xy pa pb pa pb c 1 1 ; Cộng BĐT đpcm pb pc a pc pa b a ab a ab d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b a ab a 2 ab Tương tự: b a Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) A x , với x > b) B , với x, y > x y x 1 x 4y Tương tự: c) C a b 1 , với a, b > a b a b d) D a3 b3 c3 , với a, b, c > ab bc ca 1 1 HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x 1) x 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 49 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Dấu "=" xảy x = Vậy minA = b) B = 4 y 4x y x x 4y x 4y Vậy minB = 1 4 c) Ta có B ab 2 ab ab ab ab ab a b ab Dấu "=" xảy a = b = Vậy minC = Dấu "=" xảy x 1; y d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 b3 3ab , b3 c3 3bc , c3 a3 3ca 2(a3 b3 c3 ) 3(ab bc ca) a3 b3 c3 Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) A a b , với a, b –1 a b b) B x (1 x ) , với < x < c) C ( x 1)(1 x) , với 1 x HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a 1, b ta được: A a b (1 1)(a b 1) Dấu "=" xảy a = b = maxA = x x 1 2x b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x(1 x ) 27 1 Vậy maxB = 27 1 2x 1 2x c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2 x 2)(1 x ) 2 Dấu "=" xảy x = Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: a) x 4m 2mx b) x x (m 1) x 3x x 7 x 4 x 19 c) d) x x 2 x 3m m x Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: a) mx 3x m b) x 10 x 16 4 x x mx 3m Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x x2 6x x 3 b) x 5x x 5x x 1 x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 50 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com 1 2x 1 d) 0 x x 1 x 1 x2 x x x3 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: c) a) (m 1) x 2(m 3)x m b) (m 1) x 2(m 3)x m Bài Tìm m để biểu thức sau không âm: a) (3m 1) x (3m 1) x m b) (m 1) x 2(m 1)x 3m Bài Tìm m để biểu thức sau âm: a) (m 4) x (m 1) x 2m b) (m2 4m 5) x 2(m 1)x Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) x 8x 20 mx 2(m 1) x 9m x mx 0 b) 3x 5x (m 4) x (1 m) x 2m d) 4 1 0 x mx 6 2x2 2x x2 x Bài 11 Tìm m để phương trình sau có: i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt c) a) (m 2) x 2(m 1)x 2m Bài 12 Giải phương trình sau: b) (m 3) x (2m 1) x a) ( x 1) 16 x 17 ( x 1)(8x 23) 2x b) 13x x x 10 x2 4x x d) x 1 x 1 6 x 5x x x Bài 13 Giải phương trình sau: c) 21 a) x 8x 12 x 8x 12 b) x x 1 x x 1 c) 2 x d) x 14 x 49 x 14 x 49 14 e) x x 2(2 x 1) Bài 14 Giải bất phương trình sau: a) x x x 17 d) x 5x x 4 1 g) x x x Bài 15 Giải phương trình sau: a) x x b) x x e) 2x 1 x 3x c) x 3x x f) x x 5x h) x x 3x b) x x 3x (2 x 3)( x 1) 16 c) x x 2x d) x x ( x 1)(4 x ) e) 4x 1 4x2 f) 3x x x x x g) ( x 5)(2 x ) x 3x h) x( x 4) x x ( x 2)2 i) x x 11 31 k) Bài 16 Giải bất phương trình sau a) x 8x 12 x b) x x x2 9x 5x 61x x c) x 4x 2 x www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 51 Bất đẳng thức – Bất phương trình d) 3(4 x 9) 3x 2x Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com e) ( x 3) x x f) 9x2 5x 3x Bài 17 a) www.toantrunghoc.com Chúc em học tốt ! www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 52 .. .Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c