Đại 12 chuyên đề 4 số phức

CHƯƠNG Toán SỐ PHỨC BÀI SỐ PHỨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa số phức Định nghĩa Một số phức biểu thức dạng a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu C Ví dụ Các số sau số phức: √ − 5i ; − + 5i ; + (−4) i Số phức Định nghĩa Hai số phức gọi phần thực phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di ⇔ a = c b = d Ví dụ Tìm số thực x, y, biết (3x − y) + (2y − 1) i = (x + 1) + (y + 2) i Lời giải Từ định nghĩa hai số phức nhau, ta có  3x − y = x + 2y − = y +  x = ⇔ y = Vậy x = y = ! Mỗi số thực a gọi số phức với phần ảo 0, tức a = a + 0i Như vậy, số thực số phức Ta có R ⊂ C Số phức + bi gọi số ảo viết đơn giản bi, tức bi = + bi 3 Biểu diễn hình học số phức Định nghĩa y Điểm M (a; b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi M b a O x Môđun số phức Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Định nghĩa # » Độ dài véc-tơ OM gọi mô-đun số phức z kí hiệu y |z| # » # » Từ định nghĩa, suy |z| = OM hay |a + bi| = OM Khi |a + bi| = M b √ a2 + b a O x Số phức liên hợp Định nghĩa y Cho số phức z = a + bi Ta gọi a − bi số phức liên hợp z kí b hiệu z = a − bi Tức a + bi = a − bi O −b Tính chất z = z Tính chất |z| = |z| B CÁC DẠNG TOÁN z = a + bi a z = a − bi x DẠNG Xác định phần thực - phần ảo số phức Phương pháp giải Số phức z = a + bi, a, b ∈ R có a phần thực, b phần ảo Ví dụ Xác định phần thực, phần ảo số phức: z = + 3i z = z = 2i − 4 z = 15i DẠNG Xác định mô-đun số phức Phương pháp giải Mô-đun số phức z = a + bi |z| = √ a2 + b Ví dụ Tìm mơ-đun số phức sau: z = + 2i z = −4i z = − 5i z = z = −5 + 4i DẠNG Hai số phức Phương pháp giải Hai số phức z = a + bi, z = a + b i gọi a=a b=b Ví dụ Tìm số thực x, y biết: x + 2y + 3i = 4x − 5y + (6 − y)i −3x + 6y − (8 + 4y)i = 3x − + (4x − y)i Ví dụ Cho z = (3a + 2) + (b − 4)i Tìm số a, b để z số thực z số ảo DẠNG Tìm tập hợp điểm biểu diễn Phương pháp giải Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M (a; b) Ví dụ Biểu diễn mặt phẳng tọa độ số phức sau: − 3i, + 2i, −5, 5i Ví dụ Biết A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn theo thứ tự số: −1 + i, −1 − i, 2i, − 2i # » # » # » # » Tìm số z1 , z2 , z3 , z4 theo thứ tự biểu diễn vec-tơ AC, AD, BC, BD Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: a Phần thực z 3; b Phần ảo z −5; c Phần thực thuộc khoảng (−2; 3); d Phần ảo thuộc đoạn [−3; 6] DẠNG Số phức liên hợp Phương pháp giải Số z = a − bi gọi số phức liên hợp z = a + bi Ví dụ Tìm z, biết: √ a z = − i 2; √ √ b z = − + i 3; c z = 3; d z = −5i BÀI CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Phép cộng phép trừ hai số phức a) Tổng hai số phức Cho hai số phức z = a + bi w = c + di (a, b, c, d ∈ R) Khi ta có (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i b) Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức có tất tính chất phép cộng số thực Tính chất kết hợp (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ C Do ta kí hiệu chung số (x + y) + z x + (y + z) x + y + z Nếu z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i, , zn = an + bn i (ai , bi ∈ R, i = 1, 2, , n) z1 + z2 + · · · + zn = (a1 + a2 + · · · + an ) + (b1 + b2 + · · · + bn )i Tính chất giao hoán x + y = y + z, ∀ x, y ∈ C Cộng với z + = + z = z, ∀ z ∈ C Với số phức z = a + bi (a, b ∈ R), kí hiệu số phức −a − bi −z ta có z + (−z) = (−z) + z = Số −z gọi số đối số phức z Điểm biểu diễn số phức z điểm biểu diễn số đối đối xứng qua gốc tọa độ Với số phức z w ta có z + w = z + w c) Phép trừ hai số phức Hiệu hai số phức z w tổng z với −w, tức z − w = z + (−w) Nếu z = a + bi w = c + di (a, b, c, d ∈ R) z − w = (a − c) + (b − d)i d) Ý nghĩa hình học phép cộng phép trừ số phức Nếu z = a + bi, w = c + di (a, b, c, d ∈ R) biểu diễn véc-tơ #» u , #» v z + w biểu diễn #» u + #» v , z − w biểu diễn y z+w #» u − #» v z w O x Phép nhân hai số phức a) Tích hai số phức Cho hai số phức z = a + bi w = c + di (a, b, c, d ∈ R) Khi ta có zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Nhận xét Với số thực k ta có kz = ka + kbi Đặc biệt 0z = b) Tính chất phép nhân số phức Phép nhân số phức có tất tính chất phép nhân số thực Tính chất kết hợp (xy)z = x(yz), ∀ x, y, z ∈ C Do ta kí hiệu số phức (xy)z x(yz) xyz Đặc biệt ta kí hiệu z n = z · z · z · · · z (n ∈ N∗ ) n số phức z Tính chất giao hốn xy = yx, ∀ x, y ∈ C Nhân với 1 · z = z · = z, ∀ z ∈ C Tính chất phân phối phép nhân phép cộng x(y + z) = xy + xz, ∀ x, y, z ∈ C Với số phức z, w ta có zw = z · w, zz = |z|2 B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG Cộng trừ hai số phức Phương pháp giải Phép cộng hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z = a + b i: z + z = (a + a ) + (b + b )i Tính chất: - Kết hợp: (z + z ) + z = z + (z + z ) - Giao hoán: z + z = z + z - Số đối z = a + bi số −z = −a − bi Phép trừ hai số phức z − z = (a − a ) + (b − b )i Ví dụ Thực phép tính (2 + 3i) + (5 − 3i) (−5 + 2i) + (3i) (2 − 3i) − (5 − 4i) Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức sau: (4 Å − i) +ã(2 + Å 3i) − (5 ã+ i) 3 − i + − + 2i − i 2 Ví dụ Giải phương trình sau: z + 2¯ z = − 4i Ví dụ Tìm tập hợp điểm M thỏa: |z + z¯ + 3| = Ví dụ Số phức z = a + bi số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M Số phức z = (4a − 3b) + (3a + 4b)i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ |z + 4i − 5| DẠNG Phép nhân hai số phức Phương pháp giải • Thực phép nhân tương tự nhân hai đa thức với ý i2 = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i • (1 + i)2 = 2i, (1 − i)2 = −2i • ∀n ∈ N∗ ta có: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i ⇒ in ∈ {±1; ±i} Ví dụ Thực phép tính (1 + 2i)(−3 + 5i) −i(2 − 3i) (−3 + 2i)2 Ví dụ Tìm phần thực, phần ảo, mơ-đun tọa độ điểm biểu diễn hình học số phức z biết z = + 3i − (2 + i)(1 − 4i) Ví dụ Tìm số phức z biết z = i2017 z = (1 + i)2018 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn z + (2 + i)z = + 5i Ví dụ 10 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |zi − − i| = BÀI PHÉP CHIA SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT CƠ BẢN Tính chất Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức Tính chất Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức Định nghĩa Nếu c + di = (a + bi)z số phức z gọi thương phép chia c + di cho a + bi khác ! Để tính thương c + di = (a + bi)z ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp a + bi B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG Phép chia số phức đơn giản Phương pháp giải Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di z2 = Khi thương phép chia z1 cho z2 xác định sau: z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) − (ad + bc)i = = = 2 z2 c + di c +d c2 + d Ví dụ Tìm nghịch đảo số phức z = − 3i z Ví dụ Thực phép chia + i cho + 2i Ví dụ Thực phép chia √ + 2i cho √ − 2i Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn (2 − i)z = + 3i DẠNG Các toán tìm phần thực phần ảo số phức Phương pháp giải Để tìm phần thực phần ảo số phức z, ta cần đưa z dạng z = x + iy với x, y ∈ R Khi phần thực z x phần ảo z y Để thực ta cần nắm vững số kiến thức học: z1 z1 · z2 1) = với z1 , z2 ∈ C z2 |z2 |2 2) (1 + i)2 = 2i (1 − i)2 = −2i với i đơn vị ảo 3) Công thức Nhị thức Newton: Cho z = a + bi ∈ C với a, b ∈ R n ∈ N Khi ta có: n n n n Ckn an−k (bi)k z = (a + bi) = k=0 Ckn an−k bk ik = k=0 Để viết kết dạng đại số thông thường, cịn phải áp dụng cơng thức: i2 = −1, i3 = −i, i4 = Từ đó, cách tổng quát ta có:   n = 4k      i n = 4k + in = (k ∈ N)  −1 n = 4k +      −i n = 4k + √ 3−i Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z = − 1+i √ 2−i i Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z ta có (1 + i)2 (2 − i)z = + i + (1 + 2i)z Ç Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z = √ å3 1+i 1+i Å Ví dụ Tính tổng phần thực phần ảo số phức z = Ví dụ Cho số phức z thỏa z = S = a + 2b 1−i 1+i ã2018 (1 − 2i)5 Viết z dạng z = a + ib với a, b ∈ R Tính 2+i DẠNG Một số tốn xác định mơđun số phức Phương pháp giải Môđun số phức z kí hiệu |z| √ 1) Mơđun số phức z = a + bi (a, b ∈ R) |z| = a2 + b2 2) |z| ≥ 0, |z| = ⇔ z = 3) |z| = |z| 4) |z1 z2 | = |z1 | |z2 |, z1 |z1 | = với z1 , z2 ∈ C z2 |z2 | Ví dụ 10 Tìm mơđun số phức z biết z = √ Ví dụ 11 Tìm mơđun số phức z biết z = 2+i − 5i Å Ví dụ 12 Tìm mơđun số phức z biết z = Ä Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn z = 1− 3+i 1+i 1−i ã2018 √ ä3 3i 1−i Tìm mơđun số phức z + iz Ví dụ 14 Tìm mơđun số phức z biết (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1 − i) = − 2i DẠNG Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN Phương pháp giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước Bước Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức: z = x + yi, (x, y ∈ R) Bước Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ x, y kết luận Khi thực bước ta cần lưu ý tính chất sau: z = z z −1 = (z)−1 , ∀z = z · z = |z|2 z1 + z2 = z1 + z2 Ví dụ 15 Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z = zÅ1 · zã2 = z1 · z2 z1 z1 = , z2 = z2 z2 − 4i Ví dụ 16 Tìm tập hợp điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn z + − 2i = − iz √ 10 Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)|z| = + − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn z cho số phức w = (3 − 4i)z − + 2i đường trịn tâm I, bán kính R Tìm tọa độ điểm I bán kính R BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Căn bậc hai số thực âm Các bậc hai số thực a âm ±i |a| Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a, b, c ∈ R, a = Xét biệt thức ∆ = b2 − 4ac phương trình Khi đó: b Khi ∆ = 0, phương trình có nghiệm thực x = − 2a √ −b ± ∆ Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = 2a −b ± i |∆| Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = 2a Định lí (Định  lý Vi-et) Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = với a, b, c ∈ b  x + x = − a R, a = c  x x = a DẠNG Giải phương trình bậc hai hệ số thực Phương pháp giải Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai biết ! Với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0, a = ta đặt t = x2 để đưa phương trình bậc hai lưu ý tập số phức khơng cần điều kiện t ≥ Ví dụ Giải phương trình x2 + 4x + = tập số phức Ví dụ Giải phương trình z − 3z + 10 = tập số phức Ví dụ Giải phương trình z + 5z + = ( ) tập số phức Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z −2z +5 = Tính F = |z1 |+|z2 | Ví dụ Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z − 3z − = Tính tổng 2 2 T = z1 + z2 + z3 + z4 DẠNG Phương trình bậc cao với hệ số thực Phương pháp giải Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử để đưa phương trình tích Đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình z − 2z − = tập số phức Ví dụ Giải phương trình z − 27 = tập số phức Ví dụ Giải phương trình z + 4z + 6z + = tập số phức Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức z + 2z − z + 2z + = Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức 2z − 7z + 9z − 7z + = Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức 25 5z + 2 + (25z + 6)2 = Ví dụ Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z + z − 12 = Tính tổng T = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 |  ... BÀI PHÉP CHIA SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT CƠ BẢN Tính chất Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức Tính chất Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức Định nghĩa... Với số phức z = a + bi (a, b ∈ R), kí hiệu số phức −a − bi −z ta có z + (−z) = (−z) + z = Số −z gọi số đối số phức z Điểm biểu diễn số phức z điểm biểu diễn số đối đối xứng qua gốc tọa độ Với số. .. số phức z biết z = 2+i − 5i Å Ví dụ 12 Tìm mơđun số phức z biết z = Ä Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn z = 1− 3+i 1+i 1−i ã2018 √ ä3 3i 1−i Tìm mơđun số phức z + iz Ví dụ 14 Tìm mơđun số phức