2-CHUYEN DE 2 - SO PHUC (GIAI CHI TIET-CT)
Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ PHỨC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Khái niệm phép toán Phần thực phần ảo số phức, số phức liên hợp z a bi a) Số phức có dạng gọi đơn vị ảo a, b �R, i 1 Phần thực z a , phần ảo z b i b) Số phức liên hợp z z a bi a bi 2 + z.z a b + z1 �z2 = z1 �z2 + Tổng tích z z số thực + z1.z2 = z1.z2 �z1 � z1 � � = �� � �z � + �2 � z 4n 4n+1 = i; i 4n+2 = - 1; i 4n+3 = - i ; với n �N * Lưu ý: i = 1; i Số phức a a2 � z1 z2 � �1 b1 b2 z a1 b1i z2 a2 b2 i a1 , a2 , b2 , b2 �R � Cho hai số phức , Khi đó: Biểu diễn hình học số phức, mơ đun số phức a) Biễu diễn hình học số phức M a; b z a bi a, b �R + Số phức biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ + z z biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục Ox * Chú ý: Một số ý giải tốn tìm tập hợp điểm (1) Phương pháp tổng quát Để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ta gọi M (x; y) biểu diễn số phức z dựa vào điều kiện cho để tìm hệ thức liên hệ x; y mà kết luận tập hợp điểm (2) Một số phương trình đường thường gặp: | z z1 || z z2 |� ax by c a) tập hợp điểm đường thẳng b) | z z1 | k � (x a)2 (y b)2 r (E) : tập hợp điểm đường tròn tâm I (a;b) bán kính r x2 y2 1 a b2 tập hợp điểm đường Elip với hai tiêu điểm | z z1 | | z z2 | k � c) 2 F1 (c;0), F2 (c;0) F F 2c ; tiêu cự ; Trục lớn 2a, trục bé 2b a b c x2 y2 ( H ) : 1 | z z1 | | z z2 | k � a b2 d) tập hợp điểm đường Hypabol b) Mô đun số phức uuuur z OM a b + Mô đun số phức z z z.z z z + ; Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia hai số phức Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu a , a , b , b �R Khi đó: Cho hai số phức z1 a1 b1i , z2 a1 b1i 2 z �z2 = ( a1 �a2 ) + ( b1 �b2 ) i + z z = ( a1 + b1i ) ( a2 + b2i ) = ( a1a2 - b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i + z1 ( a1 + b1i ) ( a1 + b1i ) ( a2 - b2i ) ( a1a2 + b1b2 ) ( a1b2 - a2b1 ) = = = i z2 ( a2 + b2i ) a22 + b22 a22 + b22 a22 + b22 + z 1 ( z �0) 1 z Số phức nghịch đảo z kí hiệu z + II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ax bx c a, b, c �; a Cho phương trình bậc hai Xét b 4ac , ta có b x 2a (1) : phương trình có nghiệm thực b � 2a (2) : phương trình có hai nghiệm thực xác định cơng thức: b �i | | x1,2 2a (3) : phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức: Chú ý: b� ac (với b 2b� Có thể dùng biệt thức � ) Khi nghiệm phương trình bậc hai cho x1,2 xác định công thức: x1,2 b� �i | � | a n n 1 Mọi phương trình bậc n : Ao z A1 z An 1 z An ln có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) Hệ thức Vi–ét phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax bx c a �0 x1 , x2 (thực phức) Ta có hệ thức Vi–ét: có hai nghiệm phân biệt b � S x1 x2 � � a � �P x x c � a B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ Câu Liên hợp số phức z biết z 2i A z 1 2i B z 1 2i C z 2i Câu Môđun số phức i B Cho số phức z a bi Số z z A Câu A Số ảo Câu A B Tìm số phức liên hợp số phức B 2 C C Số thực z i3 i D z 2i D 2 D a a b bi C 2i Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội D 2 2i Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Câu Thu gọn số phức z i (2 4i) (3 2i) , ta được: Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu A z 3i Câu A 5i B z 1 2i C z 2i Cho hai số phức z , w 3i Tổng hai số phức B i Câu Hỏi điểm A z 1 3i C i D z 1 i D 5i M 3; 1 điểm biểu diễn số phức sau đây? B z 3i C z i D z 3 i z 1 i z 5 2i z z Câu Cho hai số phức Kết phép tính A 4 3i B 4 3i C 3i D 5 Câu Tính A 1 2i Câu 10 z 6i 4i B 1 2i C 2i D 2i Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng? A Phần thực , phần ảo C Phần thực 3 , phần ảo 2i B Phần thực , phần ảo 2i D Phần thực 3 , phần ảo z i 2i i i là: Câu 11 11 A 10 Phần ảo số phức B 10 Câu 12 Môđun số phức 2i A 13 Câu 13 A i B 13 C C 3i 10 D D 11i 10 Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z Số phức z B 2i C 2i D i i i z i 2i z Phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn Câu 14 A 2;3 Câu 15 A 29 B 2; 3 C 2;3 Cho số phức z 2i Số phức z có phần ảo là: B 21 C 29 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội là: D 2; 3 D 29 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Câu 16 A 13 – Chuyên đề: Số phúc – z 3i 3i Môđun số phức B Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu bằng: C D 5 z 3i Câu 17 4i 6i Tìm phần thực phần ảo số phức z biết: 73 17 17 73 A Phần thực: 15 , phần ảo: 15 B Phần thực: 15 , phần ảo: 15 73 17 17 17 C Phần thực: 15 , phần ảo: 15 D Phần thực: 15 , phần ảo: 15 Câu 18 z3 Nếu z 3i bằng: A 145 B 13 13 C 27 D 673 Câu 19 Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức z 1 i i ? A P D Q C N B M z 1 i z 2i Câu 25 Cho hai số phức Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1 z2 có toạ độ A 4;1 Câu 20 B Thu gọn A z 7 2i Câu 22 10 A Câu 23 A 10 4;1 C D 1; Tìm số phức z thõa mãn z 1 3i ? A 3i 3i Câu 21 1; z B 3i 1 3i 3i D 3i 1 3i C z 5 D z 7 2i ta được: B z 9i Tìm Mơđun số phức z biết z 2i 10 B Nội dung Cho số phức thỏa mãn B 10 C 1 3i 3i 1 i 2i 10 C z 2i z 4i C Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội D 10 Tìm mô đun w z z ? D Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Câu 24 A i Tổng i i k k 1 i k 2 i k 3 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu bằng: B i C D Câu 25 Cho hai số phức z1 i, z2 i , kết luận sau sai: z1 i z z z z z A B z1 z2 C D z i 3i i Câu 26 Số phức có mơ đun là: A B C D 2 Câu 27 Cho số phức z a bi, (a, b �R) Khẳng định sau khẳng định đúng? A Modun số phức z z a (bi) B Modun số phức z z a b2 C Số phức liên hợp số phức z z a bi D Số phức liên hợp số phức z z a bi Câu 28 Tìm modun số phức z (3 2i) (2 i ) z 26 z 24 z 34 A B C Câu 29 Số phức sau có mơ dun ? A z 2020 2020i B z i C z 1 i D z 16 D z Câu 30 Các điểm biểu diễn số phức z bi (b �R ) mặt phẳng tọa độ, nằm đường thẳng có phương trình là: y b A B y C x b D x Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực z -2 là: A x 2 B y C y x D y x Câu 32 Trong mặt phẳng phức Oxy , cho số phức z , z ' thỏa mãn phần thực z phần ảo z ' phần ảo z phần thực z ' Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x y tập hợp điểm biểu diễn số phức z ' đường thẳng sau đây? A x y B x y C x y D x y z = x + yi, ( x, y �R ) Câu 33 Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình vẽ ? �z �2 �z �2 � � � � � �x - y < x - y �0 � A B � �z �2 �z �2 � � � � � �x - y > x - y �0 � C D � Câu 34 A z 2i � � z 2i � Trong C , phương trình z có nghiệm B z 2i � � z 2i � C z 1 i � � z 2i � D z 2i � � z 5i � z ,z Câu 35 Trong C , biết nghiệm phương trình z z 34 Khi đó, tích hai nghiệm có giá trị bằng: Tổ Tốn – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 A 16 – B Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu C D 34 z ,z Câu 36 Trong C , biết nghiệm phương trình z 3z Khi đó, tổng bình phương hai nghiệm có giá trị bằng: A B C D Câu 37 Cho số phức z 4i z số phức liên hợp z Phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm z2 6z i z 6z 2 2 A z z 25 B z z 25 C D Câu 38 Phương trình nhận hai số phức 2i 2i nghiệm? 2 2 A z z B z z C z z D z z Câu 39 Cho số phức z 2 i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 2 phần ảo i B Phần thực 2 phần ảo 1 C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo i Câu 40 Tìm phần ảo số phức z thỏa z (2 3i ) (4 i)(2 i ) A Phần ảo 1 B Phần ảo C Phần ảo 2 D Phần ảo Câu 41 Trong �, nghiệm phương trình z là: � � z z 5i � � z z 5i � A B � C 5i D 5i Câu 42 z A z Cho số phức z 3i Tìm số phức z B 2 3i 3i z C 2 3i z D i 2 z Câu 43 Cho số phức z i Tìm số phức z z z z i i 0 5 A z 5 B z C z z 1 D z w z1 z2 z 3i; z2 5i Câu 44 Cho Tìm số phức liên hợp số phức w biết A w 10i B w 28i C w 12 8i D w 12 16i z 4i 2i Câu 45 Tìm phần ảo số phức z , biết A 22 B 26 C 26 Lời giải Chọn A z 4i 2i 7 24i 2i 8 22i D 26 Ta có � z 7 22i Câu 46 A Cho hai số phức z 3i z ' 2i Tính mơđun số phức z z ' z z ' Câu 47 B z z ' 41 C z z ' 35 D z z ' 37 z Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu O 0;0 O 0;0 A Hình trịn tâm bán kính R B Đường trịn tâm bán kính R C Hình vành khăn D Đường thẳng Câu 48 Tìm điểm M ( x, y ) thỏa x (3 y 2)i i A M (3; 1) B M (2; 1) C z1 i, z2 2i Câu 49 Cho hai số phức A Câu 50 B Khẳng định sau A i m 1 Tính Ta có z1 z2 M (2; ) D D 4m , m nguyên dương B i m 1 i , m nguyên dương D i m 1 i , m nguyên dương C i Lời giải Chọn D 2m 1 ) C i , m nguyên dương i m 1 i m i i M (3; i 1 2m i 1.i i MỨC ĐỘ z i 13i Câu Cho số phức z thỏa mãn Tính mơđun số phức z A z 34 B z 34 C z 34 D z 34 z z Câu Cho hai số phức z1 i z2 3 i Phần ảo số phức A 2 B 2i C D 2i Câu Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: | z i || z i | A Trục Oy B Trục Ox C y x D y x z 3i Câu Cho số phức Tìm phần ảo của số phức 2z z A 18 B 18i C 18 D 30 Lời giải Chọn A Ta có z 3i � 3i 3i 6i 24i 15 18i Vậy 15 18i z ,z z Câu Kí hiệu nghiệm phức phương trình z 10 z 29 ( có phần ảo âm) Tìm số 2 phức liên hợp số phức z1 z2 A 40 i B 40i C 10i Lời giải Chọn B z ,z z 2i; z 2i Do nghiệm phương trình nên Khi D 40i z12 z2 (5 2i)2 (5 2i) 40i � 40i Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Câu Cho số phức z 5i Tìm phần thực số phức z iz A 12 B 12 C Lời giải Chọn A Ta có z iz 5i i 5i 12 12i Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu D 2 z 1 z i z a bi a, b �� z2 z Câu Số phức thỏa mãn số thực Giá trị biểu thức S a 2b bao nhiêu? A S 1 B S C S Câu Cho số phức z 2i Tìm số phức z z A 4 6i B 4 2i C 4 2i D S 3 D 2i Lời giải Chọn C 2 Ta có z z (1 2i ) (1 2i) 3 4i 2i 4 6i Câu Tìm số phức z , biết z 2iz i A z 3i B z 3 2i C z 2 3i D z 2i Lời giải Chọn A a 2b 4 � a2 � a bi 2i a bi i � � �� b 2a b 3 � � Ta có Suy z 3i Câu 10 Cho số phức z thỏa phương trình z z 4i Tìm phần ảo số phức z A 4 B C D Lời giải Chọn B a bi a bi 4i Ta có a 3a � � � � � � b b 4 � 3a bi 4i � � Câu 11 Tìm số phức z thỏa mãn z z 2i A z i B z 2i C z 2i D z i Lời giải Chọn C a 1 � a bi 2(a bi ) 2i � 3a bi 2i � � b � Ta có Suy z 2i Câu 12 Cho số phức 16 P 25 A z a bi , a, b �� B P P a b thỏa mãn z z 5i Tính giá trị 25 P P 16 C D Lời giải Chọn D Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu 8a � a a bi a bi 5i � 8a 2bi 5i � � �P b �2b Ta có z z2 Câu 13 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z 3z Giá trị A B C D 10 Lời giải Chọn A � 11i z1 � 2 � z 3z � � 11i z2 � z z2 � z1 z2 � Ta có : Suy Câu 14 Cho số phức z i 2i Tìm mơ đun số phức z B 1 3i A 10 Câu 15 Số phức z sau thỏa A z 2i C 1 3i z D 10 phần thực gấp đôi phần ảo C z 3i B z i D z 2i i Tìm z z� Câu 16 Cho z 3i, z � z z � z z � 29 B C z 5 Câu 17 Tìm số phức z biết phần thực lớn phần ảo đơn vị A z z � 21 D z z� 41 z1 3i z2 2 3i , z 4 3i z2 4i D , z 1 z Câu 18 Cho số phức z 4i Tìm mơ đun số phức z1 4i z2 4 3i , z 3i z2 3 4i C , A 16 B 32 24 20 B C D Câu 19 Cho phương trình z z 13 có hai nghiệm z1 z2 Tính giá trị biểu thức A A z1 z A 10 A 42 C D Câu 20 Cho số phức z thỏa phương trình z z 4i Tìm mơ đun z A A A 20 z 25 B B A 26 z2 1201 C z 168 D z 31 z Câu 21 Tìm số phức z , biết , phần thực lần phần ảo phần thực dương A z i B z 2i Lời giải Chọn A a 2b � �a �� �2 b 1 a b 5 � Ta có � 2021 Câu 22 Tìm số phức z [(1 5i ) (1 3i )] C z 15 15 i 3 D z 15 15 i 3 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu 2021 A z 8 i B z 8 i C z 2 D z i Lời giải: z [(1 5i) (1 3i )]2021 � z [2i]2021 � z 22021i 2021 � z 22021i 4.5051 22021i 2020 2021 2019 z z 7 3i z Câu 23 Cho số phức z có phần thực số ngun z thỏa mãn: Tính mơđun số phức: z z A 37 Lời giải Chọn B B 457 C 425 D 457 a, b �� Đặt z a bi , z z 7 3i z � a b a bi 7 3i a bi � 8a 42a 40 � � a � � b3 � � � � a b 2a 7 a �۳� � 2b b � a4 � � b3 � � 3i 3i 21i � 42 212 457 Vậy z 3i Câu 24 Cho hai số phức z1 z2 thỏa A z1 z2 1; z1 z B Tính z1 z2 D 1 C Lời giải Chọn C z1 z2 z1 z2 z1 z2 � z1 z2 z2 z1 Ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z ( z1 z z z1 ) 2 Câu 25 Trong mặt phẳng phức, điểm bằng: A B M 1; 2 biểu diễn số phức z Môđun số phức w i z z C 26 D 26 Lời giải Chọn D Vì điểm M 1; 2 biểu diễn z nên z 2i , suy z 2i w 25 26 w i 2i 2i 2 i 3 4i 5i Do Vậy z z Câu 26 Gọi hai nghiệm phức phương trình z z 10 Tính giá trị biểu thức 2 A z1 z2 A 10 Lời giải Chọn A B 10 C 10 D 10 z 1 3i � 2 z z 10 � z 1 3i � �1 z2 1 3i � Ta có Tổ Tốn – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 10 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Câu 34 Trong mặt phẳng Oxy , gọi A, B, C ba điểm biểu diễn cho số phức z1 i, z2 5, z3 4 7i Trong khẳng định sau khẳng định SAI? A M (1;3) trung điểm AC B Tam giác ABC �7 � G� ;2� �là trọng tâm tam giác ABC � D C Tam giác ABC vuông B Câu 35 Tính giá trị biểu thức 1010 A A Lời giải Chọn A A 1 i 2020 1010 C A i 1010 B A 2 1 i Ta có: 2i 1010 D A 2 i 1010 1010 A� 2i 21010.i1010 21010 �1 i � � Suy z 3i, Câu 36 Trong mặt phẳng Oxy , gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z2 2i, z3 5 i Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi G điểm biểu diễn số phức số phức sau: A z 1 2i B z i C z 1 i D z 2i Lời giải Chọn A A 0; 3 , B 2; , C 5; 1 � G 1; Vì Câu 37 Cho số phức A z1 z2 + z1z2 = z + z2 = z1 = z2 = z1 z2 z z + z1z2 , thoả mãn , Tính B z1 z2 + z1z2 = C z1 z2 + z1z2 = D z1 z2 + z1z2 = - Lời giải Chọn B z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = z1 + z2 + z1 z2 + z1z2 Ta có � ( 3) 2 = 12 + 12 + z1 z2 + z1z2 � z z + z z = 1 2 z0 nghiệm phức có phần thực âm phần ảo dương phương trình z z 10 2020 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w i z0 ? Câu 38 Kí hiệu A M 3; 1 B M 3;1 M 3;1 C Hướng dẫn giải D M 3; 1 Chọn D z 1 3i � z z 10 � � z 1 3i Suy z0 1 3i � Ta có: M 3; 1 w i 2021 z0 i(1 3i) 3 i Suy : Điểm biểu diễn số phức w m Câu 39 Trong tập số phức, cho phương trình z z m 0, m �R (1) Gọi giá trị m z z z2 z2 để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 Hỏi khoảng 0;20 có giá trị m0 � ? A 20 B 11 C 12 D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 13 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Điều kiện để phương trình – Chun đề: Số phúc – 1 có hai nghiệm phân biệt là: �۹ m Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu m 1 phải có nghiệm phức Suy z z z z Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 0�m9 0; 20 có 10 số m0 Vậy khoảng Câu 40 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A điểm biểu diễn số phức z 2i , B điểm thuộc đường thẳng y cho tam giác OAB cân O Tìm số z biểu diễn B A z 2i B z 1 2i C z 2i, z 3 2i Lời giải Chọn B A 1; , B x; , x �1 Ta có, Để OAB cân O OA OB D z 1 2i, z 2i x 1 � � 12 22 x 22 � x � x � � x 1 � Do B 1; � z 1 2i z 2i z Câu 41 Xét số phức z thỏa mãn số ảo Biết tập hợp tất điểm biễu diễn z đường tròn, tâm đường trịn có tọa độ 1; 1 1;1 1;1 1; 1 A B C D Lời giải Chọn D z x yi, x, y �� M x; y Gọi Điểm biểu diễn cho z z 2i z x yi 2i x yi Ta có: x x 2 y y 2 i � x y xy � � �là số ảo � x x 2 y y � x 1 y 1 2 I 1; 1 Vậy tập hợp tất điểm biễu diễn z đường tròn có tâm M , N z i ; z ' i Tìm số phức có điểm Câu 42 Gọi điểm biểu diễn số phức uuuu r uuuu r r Q MN MQ biểu diễn cho 2 i i i i 3 3 3 A B C D Lời giải Chọn D M 1;1 , N 2;3 Q x; y Vì Gọi uuuu r uuuu r uuuu r MN 1; ; MQ x 1; y 1 � 3MQ 3x 3;3 y Ta có � �x 3x � � �� � �2 y �y � Ta có hệ phương trình Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 14 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Câu 43 Trên mặt phẳng phức, gọi A,B điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình z z 13 Diện tích tam giác OAB A 16 B C D Lời giải Chọn C z 3i z 3i Phương trình z z 13 có nghiệm Giả sử A(2; 3) , B (2; 3) 1 S OAB AB.d (O, AB ) 6.2 2 Ta có ( đvdt ) Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: A z = 12 - 32 B ( 2- i ) ( 1+ i ) + z = 4- 2i Tính mơđun z ? z = 12 + 32 C z = 12 + 3i D z = 12 - 3i Lời giải Chọn B ( 2- i ) ( 1+ i ) + z = 4- 2i � z = ( 4- 2i ) - ( 2- i ) ( 1+ i ) = 1- 3i Câu 45 Cho hình bình hành ABCD Bốn đỉnh A, B, C , D biểu diễn số phức a = 2- 2i , b = - 1+ i , c = 5+ mi , d = + ( m - 3) i ; m �R Định m cho ABCD hình chữ nhật m A m 1 B C m = D m = � Lời giải Chọn C ABCD hình chữ nhật � AC = BD � c - a = d - b � 5+ mi - 2+ 2i = 8+ ( m - 3) i + 1- i � 3+ ( m + 2) i = 9+ ( m - 4) i � 12m = 84 � m = MỨC ĐỘ Câu Cho số phức z a bi ( a, b ��) thoả mãn z i | z | (1 i) | z | Tính P a b A P 1 B P 5 C P D P Lời giải z i z i � a bi i a b i 2 � a a b b 1 a b � a a b2 � i0� � � a b 1 � b a 1 2 � b 1 a b � a �2 � � � a a a 1 � a 2a 2a � �2 a 4a 2a 2a � � a 3 � a �2 � � � a �2 b4 � � � � a tm � � � �2 � �� � a 1 a 2a � � �� � a tm � � � b0 � � a3 � z � z 4i � � � P a b 3 b � Vì Tổ Tốn – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 15 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu z Câu Xét số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức A w iz z đường trịn có bán kính 34 B 26 Chọn A w C 34 Lời giải 26 D iz � w(1 z ) iz � z w i w � w i w 1 z Ta có w x yi x, y �� Đặt y � x y y 1 x x 16 y Ta có 2 � x y x y 14 � x y 34 x y 1 x 4 Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w đường trịn có bán kính z +3 = z - 2i = z - 2- 2i z Câu Cho số phức z thỏa mãn Tính z =5 z = z =2 A B C Lời giải Chọn D z = a + bi , ( a, b �R ) Đặt Ta có: gz + = � a + bi + = � ( a + 3) + b2 = 25 D 34 z = 10 (*) gz - 2i = z - 2- 2i � a + bi - 2i = a + bi - 2- 2i � a + (b - 2)2 = ( a - 2)2 + (b - 2)2 � a = (a - 2)2 � a - 2= a �� � a - 2= - a � � a =1 2 � z = 12 + = 10 Thế a =1vào (*) ta 16+ b = 25 � b = Câu Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực A B z +1 = 5 Khi mơ đun z là: C D Lời giải Chọn C z = a + bi với a ��, b �� Do z có phần ảo gấp hai phần thực nên b = 2a Đặt 5 � a + 2ai + = � ( a + 12 ) + ( 2a ) = 5 � 5a + 2a + 1= � a = - � b = 5 z +1 = Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 16 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 z =- Do – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu - i� z = 5 z - ( 2+ i ) = 10 Câu Cho số phức z có phần ảo khác thỏa mãn z.z = 25 Tìm mơ đun số phức w = 1+ i - z A w =5 w = 29 B C Lời giải Chọn A z = a + bi ( a ι �, b 0) Đặt �z - ( 2+ i ) = 10 �a + bi - ( 2+ i ) = 10 � � �� �r � � ( a + bi ) ( a - bi ) = 25 �z.z = 25 � � Ta có: � w = 13 D w = 17 2 � � 2a + b = 10 a = 3; b = ( a - 2) + ( b - 1) = 10 � � �� �� �� � z = 3+ 4i � 2 2 � � � a = 5; b = a + b = 25 a + b = 25 � � � � � w = 1+ i - z = 1+ i - ( 3+ 4i ) = - 2- 3i � w = 13 i- m 2- m z.z = 1- m(m - 2i ) i đơn vị ảo Câu Tìm tất số thực m biết A m = 0; m = B m = - C m = 0; m = - D " m z= Lời giải Chọn A Phân tích: Vì z cịn phức tạp, đặc biệt mẫu nghĩ việc làm đơn giản dạng chuẩn z = a + bi (a, b ��) sau tìm z thay vào biểu thức z.z z= Ta có i- m (1- m)(1- m2 - 2mi ) - m(1- m2 ) + 2m + i (1- m2 + 2m2 ) = = 1- m(m - 2i ) (1- m2 )2 + 4m2 (1+ m2 )2 m(1+ m2 ) + i (1+ m2 ) m i = = + 2 (1+ m ) 1+ m 1+ m2 m i 1+ m 1+ m2 Như vậy: �z= 2- m m2 + 1 z z = � = - (m - 2) � = - (m - 2) 2 (m + 1) m2 + � m =0 � m3 - 2m2 + m = � � � m = � z + = z ( z + 2i ) z +i Câu Cho số phức z thỏa điều kiện Giá trị nhỏ A B C D Lời giải Chọn B z = x + yi ( x, y ��) Giã sử Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 17 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu z + = z ( z + 2i ) � z - ( 2i ) = z ( z + 2i ) � ( z - 2i ) ( z + 2i ) = z ( z + 2i ) � z + 2i = (1) �� � z - 2i = z (2) � z + i = - 2i + i = - i = (1) � z = - 2i Suy (2) � x + yi - 2i = x + yi � x2 + ( y - 2) = x2 + y � x2 + y - 4y + = x2 + y 2 2 � y = Suy z + i = x - yi + i = x + ( 1- y ) = x �0 , " x �� Vậy giá trị nhỏ z +i Câu Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2z + i = 2z - 3i + � 3� � A� 1; � � � 4� � MA ngắn nhất, với � � - 5� � � - 9� M� - 1; � M� 0; � � � � � � � � � � � 8� A B Lời giải Chọn D z x yi Gọi � � - � M� ; 0� � � � C �4 � 2z i 2z 3i � 4x 8y 0 d 8x 4y Tìm điểm M biểu diễn số phức z để �1 23� � M� ; � � � � � � 20 20 D , đường thẳng qua A vng góc với d có pt: Tọa độ điểm M nghiệm hệ: �4x 8y �1 23 � � M � ; � � 8x 4y � �20 20 � 2020 w i i i i Câu Phần ảo số phức 1010 1010 1010 1010 A 2 (1 )i B i bằng: 1011 1010 C D i Lời giải: u = 1; q = 1+ i Số phức w tổng 2020 số hạng cấp số nhân với S2020 = u1 ( 1- q 2020) 1- q � 1- ( 1+ i ) � = � 1- ( 1+ i ) 2020 1010 � 1- ( 1+ i ) � 1+ i ) � ( � � � � � � = - 1+ 1+ i ( 2i ) 1010 = -i i i = i +( 1- i ) 21010.i 4.252+2 = i +( 1- i ) 21010 (- i ) = i - ( 1+ i ) 21010 =- 21010 +( 1- 21010 ) i z2 z2 8 Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: A x2 y x2 y 2 2 1 E : 1 C : x y 64 C : x 2 y 2 16 12 12 16 B C D Lời giải Chọn A M x; y F1 (2;0) F2 (2; 0) Gọi , , E : Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 18 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 Ta có – Chuyên đề: Số phúc – x 2 z z � ( x 2)2 y Do điểm M x; y nằm elip E Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu y � MF1 MF2 F F 2c � 2c � c có 2a � a 4, ta có Ta 2 có b a c 16 12 Vậy tập hợp điểm M elip E : x2 y 16 12 Câu 11 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: z i z z 2i A Một đường thẳng hình gì? B Một đường Parabol C Một đường Elip Bài giải: D Một đường tròn Chọn B z i z z 2i � x y 1 y 2 � y x2 z + 3i = z + - i Câu 12 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện , số phức z có mođun bé là: 1 z= - i z= - i 5 5 A z = + i B z = 1- i C D Bài giải: Chọn D ( d ) : x - y = Modun z nhỏ Tập hợp M điểm biểu diễn z đường thẳng có phương trình M hình chiếu O lên ( d) z= - i 5 Suy i z 5i 2 số phức z thỏa mãn z 2i z i Tính Câu 13 Cho số phức z1 thỏa mãn tích giá trị lớn giá trị nhỏ 61 41 A B Lời giải Chọn B z1 z 61 C 41 D Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 , z mặt phẳng 5i 2 i z 5i 2 � i z i Từ � z 3i � M � C có tâm I 2;3 , bán kính R = z x yi; x; y �� Gọi z 2i z i � x y � N � : x y từ Ta có: z1 z MN � MN d I; R d I; 2 7 4 2 2 Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 19 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu 7 4 2 2 41 � MN max d I; R Vậy � MN MN max z 3i z 3i z 2i z 4i M x; y Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn Biết , x z điểm biểu diễn số phức , thuộc khoảng 0; 1;3 4;8 2; A B C D Lời giải Chọn D z 3i z 3i � ( x 2)2 ( y 3) ( x 2) ( y 3) � y z 2i z 4i � ( x 1) ( x 7) 16 � ( x 1) ( x 7) 16 � x 11 x 28 x 130 � �x �11 �x �11 �� � �2 2 x 11 x 28x 130 �x x � x Thử lại thấy thỏa � Câu 15 Cho số phức P z1 z2 ? A Pmax z1 , z2 thỏa mãn B z1 z2 6i Pmax 26 z1 z2 P 4 C max Lời giải Chọn B z z 6i � z1 z2 10 Ta có 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 1 Ta có: 12 z1 z2 2 � z � 104 z z2 Tính giá trị lớn biểu thức 2 z2 � z1 z2 2 Pmax 34 D � 52 z z2 �104 � z1 z2 � 104 26 Dấu đẳng thức xảy z1 z2 z 4i Câu 16 Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa z số ảo Biết điểm M thuộc C Tìm tâm I bán kính R đường trịn đường trịn I 0; I 0; A Tâm , bán kính R 2 B Tâm , bán kính R I 2; I 2; C Tâm , bán kính R 2 D Tâm , bán kính R Lời giải Chọn A Đặt z x yi ( x, y ��) Với z �2 , ta có: Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 20 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu x y 4 i� z 4i x yi 4i � � x yi � z2 x yi x 2 y x2 y2 y x 2 y 4 x y x 2 y2 i x2 y y z 4i � x2 y2 y 2 x 2 y Vì z số ảo nên C có tâm I 0; , bán kính R 2 Vậy đường tròn z i z 7i Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip Khi phương trình elip x y2 x2 y2 x2 y x2 y2 1 1 1 1 A 32 14 B 27 22 C 14 32 D 124 56 Lời giải Chọn A Gọi Đặt M x; y điểm biểu diễn số phức z uuu r A 2;1 , B 4; � AB 6; � AB z i z 7i � MA MB AB Ta có: z Do tập hợp điểm biểu diễn số phức đường elip có: + Tiêu cự: 2c AB � c + Độ dài trục lớn: 2a � a 2 2 + b a c 32 18 14 � b 14 x2 y 1 Vậy phương trình elip có dạng: 32 14 z 3i z 3i 10 Câu 18 Cho số phức z thỏa mãn Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện có mơđun lớn nhỏ Gọi M (a; b) trung điểm đoạn Sab AB điểm biểu diễn cho số phức w Khi S S 2 A B C S D S a 2, b � S 2 , chọn B Giải: Do z nằm (E) có a b nên a b c 1 Câu 19 Cho số phức a, b, c thỏa mãn a b c Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho số phức a, b c Tính diện tích S tam giác ABC A S B S C S 3 D S 3 Bài giải Cách 1: (Tự luận) Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 21 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu + Trước hết ta chứng minh tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính Thực vậy: từ giả thiết a b c � A, B, C thuộc đường tròn (O; R 1) + Ta chứng minh tam giác ABC Để chứng minh điều trước hết ta dễ chứng minh a b AB (học sinh tự chứng minh) a b c � a b c � b c c a a b 1 + Từ Mặt khác theo đẳng thức hình bình hành ta có 2 a b a b 2( a b ) a b 2.2 � a b � AB nên ta có Tương tự ta tính BC CA Do tam S nên có diện tích giác ABC với cạnh a2 3 4 3 a 1; b i; c i 2 2 Khi ta dễ thấy số Cách 2: Chuẩn hóa số phức phức thỏa mãn điều kiện toán AB b a + 1 3 i 1 i 2 2 Câu 20 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn , từ ta tìm diện tích tam giác ABC z i �3 z �5 Gọi z1 ; z �T số z1 z2 phức có mơdun nhỏ lớn Tìm số phức A 12 2i B 2 12i C 4i Bài giải z i �3 z �5 Do nên tập hợp điểm M điểm nằm ngồi đường trịn I 0;1 ; R D 12 4i nằm đường tròn I 1;0 ; R OM1 �z OM �OM Dựa vào hình vẽ ta chứng minh z 2i; z � z1 2z 2i 12 Khi Câu 21 Cho số phức z thỏa mãn A B z 3 z z Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ C 13 D Bài giải Đặt: a z z ( a 0) Với giả thiết ta có: z ( z z ) z.z z z z z2 � �� � � � � 1� a �z � �z � �z � z 2 �z � z.z 2 z z zz � z �� z � � z � � z� z z z 2 Từ ta 4 a z z ( z z ) z � z (2 a ) z ( z z ) �0 (chú ý z z �R ) Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 22 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu � a a a a � (2 a ) z �0 � z �� ; � 2 � � � � Nên ta Từ cách thay a cụ thể ta đáp án C z 2 Câu 22 Có số phức z thỏa mãn A B z 2 zz 4 z i z 3i ? D C Lời giải Chọn B x; y �� Gọi z x yi � x y x 0, x �0 1 � �2 z z z � x2 y x x y x 0, x � � 2 2 z i z 3i � x 1 y 1 x 3 y 3 � x y 16 � x y 3 + Thay 3 vào 1 ta được: 24 � y � x n �� � y y y � y y �y 2 � x n + Thay 3 vào 2 ta được: � y 2 � x l � � 14 � y � x n 2 y y y � y 24 y 28 � 5 Vậy có số phức thỏa điều kiện z 1 Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P với P 1 z2 1 z A Bài giải Ta có P 1 z2 z ? B 2 C 1 2 z z z z x ( x 1) y x x Khảo sát hàm số f ( x) x x với x �D 1;1 f '( x) D 2 x y 2 2x 1 2x 2x + Với x �0 ta có f ( x) x x ta có f '( x ) � x � x nên ta có max P P(1) 0; P P (0) + Với 1 �x �0 ta f ( x) 2 x x f '( x) 2 0 1; 0 Từ ta 2x tập điều kiện Hàm số nghịch biến max P P( 1) 2; P P(0) Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 23 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 + Từ ta Chuyên đề: Số phúc – max P P(1) 2; P P(0) 1;1 1;1 C iC C iC L i C L i C n Câu 24 Biết – n n n n k k n n n n Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Vậy kết 32768i , với C k n số tổ hợp chập k n i 1 Đặt Tk 1 i C , giá trị T8 A 330i B 8i C 36i k k n D 120i Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 2n Cn0 iCn1 Cn2 iCn3 L i k Cnk L i nCnn 32768i � 2n Cn0 iCn1 i 2Cn2 i 3Cn3 L i k Cnk L i nCnn 32768i � 2n i 215 i * 1 i Ta có nên khơng thỏa mãn n 2i 1 i 1 i nên n 2k , k ��, n k 1 2k i k i i i 2k i k , nên: Xét n 2k , k ��, * � 22 k.2k.i k 215 i � 23k i k 215 i � k � n 10 n Từ ta có * 2k T8 i 7C87 8i z 3i iz 2i z z Câu 25 Cho hai số phức , thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu T 2iz1 3z2 thức A 313 16 B C 313 Lời giải 313 D 313 Chọn A Ta có z1 3i � 2iz1 10i 1 ; iz2 2i � 3z2 3i 12 1 suy điểm 2iz1 B 3z2 Gọi A điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức Từ A nằm đường tròn tâm I1 6; 10 bán kính R1 ; điểm B nằm đường tròn tâm I 6;3 bán kính Ta có R2 12 T 2iz1 z2 AB �I1I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 Câu 26 Cho số phức A z1 , z2 thỏa z1 , z2 3i z2 6i Tìm giá trị nhỏ z1 z2 B C Lời giải Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội D 24 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Chọn C M M z z Gọi , điểm biểu diễn cho số phức , Ta có M1 C : x 5 thuộc đường tròn y 25 M thuộc đường thẳng : x y 35 M 1M z1 z2 d I, C 15 5R khơng có điểm chung z z M �M M �H Dựa vào hình minh họa, ta suy đạt giá trị nhỏ khi 15 z1 z2 MH d I , R 2 Do đó, Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện T z i z 2i A Tmax z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức B Tmax T 4 C max Lời giải D Tmax Chọn D M x; y I 1; A 0; 1 Gọi điểm biểu diễn số phức z , , B 2;1 C : x 1 y Bài toán trở thành: tìm điểm M thuộc đường trịn cho T MA MB đạt giá trị lớn Ta có C AB 2 , suy AB đường kính Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có T MA MB � 12 12 MA2 MB AB T 4 Vậy max z 2i z 5i , w iz 10 w Câu 28 Cho số phức z , w thỏa mãn Giá trị nhỏ là: 10 � A B 10 � C 10 � Lời giải D 10 � Chọn D + w iz 10 � z w 10 iw 10i i z 2i z 5i � iw 10i 2i iw 10i 5i � iw 12i iw 15i + � w i 12 w 15 1 1 � x yi i 12 x yi 15 + Gọi w x yi Thay vào ta có: Tổ Tốn – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 25 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 � x 12 y 1 – x 15 Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu y2 � x y 40 Suy ra: tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng : x y 40 40 w OM d o , 10 2 1 Vậy Câu 29 Cho số phức z thoả mãn z z1 2 z z2 , đó: B A z1 1 3i, z2 3i z Giá trị lớn là: C Lời giải D Chọn D Gọi A, B, M điểm diễn hình học số phức z1, z2, z CA DA 2; 2 C 2;3 , D 4;3 DB Gọi Khi CB z z1 z z1 MA 2� � 2 z z2 MB z z2 Suy tập hợp điểm M đường trịn đường kính � CD , với C , D chân đường phân giác phân giác ngồi góc CMD tam giác MCD Từ giả thiết: Gọi I trung điểm Suy ra, CD z OM �OI R Giá trị lớn Câu 30 Cho A CD, R z 2z 3i P z z 2i Tìm giá trị lớn ? B C 2 D Lời giải Chọn A Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 26 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Chuyên đề: Số phúc – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu � �� � � � M z �� x � �y � �I ; � �: � � 2� � 2� � � Ta có: Gọi A 1;0 , B 1; Ta có: Chú ý I , A, B thẳng hàng đồng thời ta có IA 3IB Ta tìm max MA 3MB uuu r uu r uuu r uur MA2 3MB MI IA MI IB uuu r uu r uur � MA2 3MB MI IA2 IB MI IA 3IB � MA2 3MB MI IA2 3IB Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: MA 3MB � MA2 3MB 3 ) Chọn đáp ánA Tổ Toán – Trường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội 27 ... (*) gz - 2i = z - 2- 2i � a + bi - 2i = a + bi - 2- 2i � a + (b - 2) 2 = ( a - 2) 2 + (b - 2) 2 � a = (a - 2) 2 � a - 2= a �� � a - 2= - a � � a =1 2 � z = 12 + = 10 Thế a =1vào (*) ta 16+ b = 25 �... b1i ) ( a2 + b2i ) = ( a1a2 - b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i + z1 ( a1 + b1i ) ( a1 + b1i ) ( a2 - b2i ) ( a1a2 + b1b2 ) ( a1b2 - a2b1 ) = = = i z2 ( a2 + b2i ) a 22 + b 22 a 22 + b 22 a 22 + b 22 + z... ( 1- m)( 1- m2 - 2mi ) - m( 1- m2 ) + 2m + i ( 1- m2 + 2m2 ) = = 1- m(m - 2i ) ( 1- m2 )2 + 4m2 (1+ m2 )2 m(1+ m2 ) + i (1+ m2 ) m i = = + 2 (1+ m ) 1+ m 1+ m2 m i 1+ m 1+ m2 Như vậy: �z= 2- m m2