Đại 12 chuyên đề 1 ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số bản 2

CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định K (K ⊂ R khoảng) Ta nói • Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) nhỏ f (xx ), tức x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) lớn f (xx ), tức x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Định lí Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K Nếu f (x) > với x thuộc K hàm số f (x) đồng biến K Nếu f (x) < với x thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K Định lí Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K Nếu f (x) ≥ (f (x) ≤ 0) với x thuộc K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Tìm tập xác định Tính đạo hàm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm không xác định Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG Xét đồng biến - nghịch biến hàm số Phương pháp giải Để xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f (x) ta thực bước giải sau: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số Bước 2: Tính y Tìm điểm thuộc D mà y = y không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số Bước 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x + Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = −x4 + 4x2 − Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x4 − 6x2 + 8x + Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = − 2x x+7 Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x2 − x + x−1 Ví dụ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x + √ 16 − x2 DẠNG Điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng xác định Phương pháp giải A Lý thuyết chung Cho hàm số y = f (x) liên tục K (một khoảng, đoạn nửa khoảng) đồng thời phương trình f (x) vơ nghiệm K có nghiệm rời rạc K Khi Hàm số f (x) đồng biến K ⇔ f (x) 0, ∀x ∈ K Hàm số f (x) nghịch biến K ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K B Kiến thức bổ trợ Cho tam thức bậc hai h(x) = ax2 + bx + c (a = 0) Khi h(x) 0, ∀x ∈ R ⇔ a>0 ∆ ≤ h(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ a 0) (x1 ; x2 ) l Bước 1: Tính y Bước 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến  a = (1) ∆ > Bước 3: Biến đổi |x2 − x1 | = l (2) thành (x1 + x2 )2 − 4x1 · x2 = l2 Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết thỏa mãn Ví dụ 19 Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến đoạn có độ dài BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa Hàm số f (x) xác định D ⊆ R Điểm x0 ∈ D gọi điểm cực đại hàm số f (x) tồn khoảng (a; b) ⊂ D cho x0 ∈ (a; b) f (x0 ) > f (x), ∀x ∈ (a, b) \ {x0 } Điểm x1 ∈ D gọi điểm cực tiểu hàm số f (x) tồn khoảng (a; b) ⊂ D cho x1 ∈ (a; b) f (x1 ) < f (x), ∀x ∈ (a, b) \ {x0 } Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị Định lí (Điều kiện cần) Nếu hàm số f (x) đạt cực trị điểm x0 hàm số có đạo hàm x0 , f (x0 ) = Tuy nhiên hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trị x0 = khơng có đạo hàm Định lí (Điều kiện đủ) Ta có Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) f (x) đạt cực tiểu x0 Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) f (x) đạt cực đại x0 Tức là, đạo hàm hàm số y = f (x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 x x0 −∞ − f (x) +∞ + +∞ +∞ f (x) yCT Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu M (x0 , yCT ) Nếu đạo hàm hàm số y = f (x) đổi dấu từ dương sang âm qua x1 x x0 −∞ + f (x) +∞ − yCĐ f (x) −∞ −∞ Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại M (x0 ; yCĐ ) Chú ý: Không cần xét hàm số y = f (x) có hay khơng đạo hàm x0 Ví dụ Xét hàm số y = |x| =        −x x ∈ (−∞; 0)       x ⇒y = x ∈ (0; +∞)        −1 < x ∈ (−∞; 0)        1>0 x ∈ [0; +∞) Nên hàm số đạt cực tiểu x0 = Định lí Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp (a; b) chứa x0 mà f (x0 ) = y = f (x) có đạo hàm cấp hai khác khơng x0 Khi đó, Nếu f (x0 ) > hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x0 Nếu f (x0 ) < hàm số y = f (x) đạt cực đại x0 Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị hàm số Tính đạo hàm y , tìm điểm mà y = y không xác định Xét dấu y dựa vào định lí để kết luận điểm cực đại, cực tiểu Hoặc xét dấu y (x0 ) (x0 nghiệm y ) dựa vào định lí để kết luận ax + b Chú ý: Hàm số phân thức bậc bậc y = cx + d ß ™ d Ta có D = R \ − c ad − bc y = (cx + d)2 Dấu đạo hàm không phụ thuộc vào x, hay độc lập với x nên hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xác định Do hàm số ln khơng có cực trị Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C) Ta có y = 3ax2 + 2bx + c (a = 0) Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc ba có đạo hàm tam thức bậc hai nên Hàm số có cực trị ⇔ có cực đại ⇔ có cực tiểu ⇔ có cực đại cực tiểu ⇔ có hai cực trị ⇔ phương trình y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > Hàm số khơng có cực trị ⇔ phương trình y = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ ! Đường thẳng qua hai điểm cực trị Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết đường thẳng qua hai điểm cực trị sau: Bước 1: Thực phép chia đa thức: y = ax3 + bx2 + cx + d cho y = 3ax2 + 2bx + c thương q (x) phần dư r (x) = mx + n, ta được: y = y · q (x) + r (x) Bước 2: Chứng minh đường thẳng (d) : y = r (x) = mx + n đường thẳng qua hai điểm cực trị Giả sử hai điểm cực trị M (x1 ; y1 ), N (x2 , y2 ), x1 , x2 nghiệm phương trình y = nên y (x1 ) = y (x2 ) = Khi đó, M , N thuộc (C) nên y1 = y (x1 ) · q (x1 ) + r (x1 ) = r (x1 ) ⇒ y1 = mx1 + n ⇒ M ∈ (d) y2 = y (x2 ) · q (x2 ) + r (x2 ) = r (x2 ) ⇒ y2 = mx2 + n ⇒ N ∈ (d) Tức (d) đường thẳng qua hai cực trị Bài toán cực trị với hàm bậc trùng phương Cho hàm số bậc trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a = 0) có y = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)  x=0  y =0⇔ b x2 = − 2a Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc bốn ln ln có cực trị ! Hàm số có ba cực trị ⇔ có cực đại cực tiểu ⇔ phương trình y = có ba nghiệm phân biệt −b ⇔ > 2a −b Hàm số có cực trị ⇔ phương trình y = có nghiệm ⇔ ≤ 2a Ç… å Ç … å b b Khi hàm số có điểm cực trị A(0; c), B − ; y1 , C − − ; y2 thì: 2a 2a y1 = y2 B C đối xứng qua trục Oy, điểm A nằm trục Oy Do tam giác ABC cân A B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG Cực trị hàm số Phương pháp giải Quy tắc Lập bảng biến thiên suy kết luận cực trị Tìm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, , n) mà f (xi ) = hàm số f liên tục khơng có đạo hàm Lập bảng biến thiên Xét đổi dấu f (x) x qua xi , từ suy cực trị hàm số Quy tắc 2: Dựa vào đạo hàm cấp Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, , n) Tính f (x) f (xi ) (i = 1, 2, , n) + f (xi ) < ⇒ hàm số đạt cực đại xi + f (xi ) > ⇒ hàm số đạt cực tiểu xi Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua điểm M (−1; 1) vng góc với đường thẳng qua điểm cực trị (C) : y = x3 − 6x2 + 9x − Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x4 − 2x2 + Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x2 + x Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = sin x + đoạn [−π; π] DẠNG Cực trị có tham số Phương pháp giải Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 2mx2 + 4mx Xác định m để: Hàm số có cực đại cực tiểu Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu x1 , x2 ∈ [2; +∞) Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Ví dụ Xác định m để: x2 − mx + 1 Hàm số y = đạt cực đại điểm x = 3; x−m Hàm số y = −x4 − mx2 − 2m2 đạt cực tiểu điểm x = Ví dụ 10 Xác định hệ số a, b, c cho hàm số f (x) = −x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị x = đồ thị hàm số qua điểm M (1; 2) Ví dụ 11 Xét hàm số (Cm ) : y = −x2 + mx − m2 (m tham số) x−m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (Cm ) Vì lim + x→−2 x−1 x−1 = −∞ (hoặc lim − = +∞) nên đường thẳng x = −2 tiệm cận đứng (C) x→−2 x + x+2 x−1 = nên đường thẳng y = tiệm x→±∞ x + cận ngang (C) Vì lim Đồ thị hàm số cho hình bên Ví dụ Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Vì limé+ Đ đứng đồ thị hàm số cho ! Lời giải 2x2 + x + lim = −∞) nên đường thẳng x = tiệm cận Ñ é− 2x − 3 2x2 + x + = +∞ (hoặc 2x − x→ 2x2 + x + · 2x − x→ Tiệm cận cắt đồ thị hàm số Ví dụ Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x2 x · +x+1 Lời giải x Ta có lim = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x→+∞ x + x + x y= · x +x+1 Ta thấy đồ thị hàm số qua điểm A(0; 0) ⇒ tiệm cận ngang y = cắt đồ thị điểm A(0; 0) y O −1 −1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= 2x + x−1 y= 3x − x−2 Bài Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số y= x−2 x2 + x2 − y= − x2 x y= 2x + 1−x y= 4x − 3x + y= x+2 x y= 2x + x+2 Bài Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (nếu có) đồ thị hàm số 2x + x2 − (x − 1)2 y= x −4 (x − 2)(3 − x) x2 − 2x2 − 3x − y= x − 2x − y= y= Bài Tìm đường tiệm cận ngang (nếu có) đồ thị hàm số √ x2 + − √ x2 − 2x − √ √ y = x2 + 2x + − x2 − 4x + y= √ y = √x2 + − x y= 4x2 − + 3x2 + x2 − x Bài Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số sau có hai đường tiệm cận y= x+m x−1 y= x + m2 x+4 Bài Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số sau có ba đường tiệm cận y= x2 + mx + m y= x2 x−2 + mx + m BÀI KHẢO SÁT HÀM SỐ A CÁC DẠNG TOÁN DẠNG Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm bậc ba Phương pháp giải y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) Ví dụ Khảo sát dự biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + Lời giải Tập xác định: R Sự biến thiên y = 3x2 − 6x, xác định với ∀x ∈ R; x=0 y =0⇔ x = y > ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞); y < ⇔ x ∈ (0; 2) Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (2; +∞); nghịch biến (0; 2) Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = y(0) = Hàm số đạt cực tiểu Å lim y = lim x3 − x→−∞ x→−∞ Å lim y = lim x − x→+∞ x→+∞ x = 2; yãCT = y(2) = −3 + = −∞ x x ã + = +∞ x x Bảng biến thiên x −∞ + y − y Đồ thị + +∞ −∞ +∞ −3 Đồ thị cắt trục Oy (0; 1) Đồ thị qua điểm (2; −3), (−1; −3), (3; 1) Đồ thị nhận điểm I(1; −1) làm tâm đối xứng Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4x − Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = − x3 Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = −x3 − 3x2 + 2 Sử dụng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình −x3 − 3x2 + = m DẠNG Khảo sát hàm số bậc trùng phương toán liên quan Phương pháp giải Các dạng đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a = 0) f a>0 Dấu a a ⇔ x ∈ (−∞; 0) y < ⇔ x ∈ (0; +∞) Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) nghịch biến khoảng (0; +∞) + Cực trị Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = Hàm số khơng có điểm cực tiểu + Giới hạn vô cực lim y = −∞ x→±∞ + Bảng biến thiên x −∞ +∞ + y − y −∞ −∞ • Đồ thị: y −1 x Ví dụ Khảo sát hàm số y = x4 − 2x2 − Ví dụ Khảo sát hàm số y = −x4 + 2x2 Ví dụ Khảo sát hàm số y = x4 + x2 − DẠNG Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ ax + b Phương pháp giải Xét hàm số y = với c = 0, ad − bc = ß ™ cx + d d Tập xác định D = R \ − c ad − bc Đạo hàm y = (cx + d)2 d Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = − tiệm cận ngang đường thẳng c a y= c x+1 x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Ví dụ Cho hàm số y = Tìm tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : 3x + y = Lời giải Tập xác định D = R \ {2} Giới hạn tiệm cận lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang x→±∞ lim y = +∞ lim− y = −∞ nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x→2+ x→2 Sự biến thiên hàm số −3 Ta có y = > 0, ∀x = (x − 2)2 Bảng biến thiên x −∞ +∞ − y − +∞ y −∞ Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) Hàm số khơng có cực trị Đồ thị Å ã Đồ thị hàm số qua điểm A(−1; 0), B 0; − y −2 −1 O x −1 −2 −3 Đường thẳng ∆ viết lại y = −3x Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến song song với ∆ nghiệm phương trình y = −3 ⇔ x=1 −3 = −3 ⇔ (x − 2)2 x=3 Với x = y = −2, nên phương trình tiếp tuyến y = −3(x − 1) + (−2) hay y = −3x + Với x = y = 4, nên phương trình tiếp tuyến y = −3(x − 3) + hay y = −3x + x+3 (1) x+1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Ví dụ 10 Cho hàm số y = Chứng minh đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Xác định m để đoạn AB nhỏ x−1 x+1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Ví dụ 11 Cho hàm số y = Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ điểm M0 (x0 ; y0 ) bết kì thuộc (C) đến hai tiệm cận (C) số ... 2x2 đoạn [? ?2; 3] Ví dụ 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Ví dụ 14 Cho hàm số y = x2 − 2x − đoạn − 12 ; x +1 x+m 16 với m tham số thực Tìm m để max y + y = [1; 2] [1; 2] x +1 x +1 Ví dụ 15 ... −∞ −∞ • Đồ thị: y ? ?1 x Ví dụ Khảo sát hàm số y = x4 − 2x2 − Ví dụ Khảo sát hàm số y = −x4 + 2x2 Ví dụ Khảo sát hàm số y = x4 + x2 − DẠNG Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ... Tìm số lớn M , số nhỏ m số Khi M = max f (x), m = f (x) [a;b] [a;b] Ví dụ 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2x3 + 3x2 − 12 x + đoạn [? ?1; 2] Ví dụ 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y