Chuyên đề 1: Ứng dụng của đạo hàm khảo sát hàm số

Chuyên đề 1 về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số được biên soạn hết sức công phu và chi tiết. Phù hợp với học sinh đang ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2016. Với đầy đủ các dạng toán và phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao có thể giúp học sinh nắm chắc được phần khảo sát hàm số từ cơ bản đến nâng cao.

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM - KHẢO SÁT HÀM SỐ

ÔN THI THPT QUỐC GIA

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–;1), (3;+)

 Hàm số đạt cực đại tại xCÑ =3, yCÑ =4, đạt cực tiểu tại x = , 1 yCT =0

 Cho y¢= Û -0 x2- 1 0= vô nghiệm

 Giới hạn: lim ; lim

ÔN THI THPT QUỐC GIA

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 2),(0; 2),

nghịch biến trên các khoảng (- 2;0),( 2;+¥)

x y

ÔN THI THPT QUỐC GIA

-=-

x

-¢= < " Î-

 Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (- ¥;1)

-1 O 1

Ví dụ 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1

x y x

=+

Bài giải

THPT MONG THỌ Page 5

 Tập xác định: D =¡ \ { 1}

1

0,( 1)

x

¢= > " Î+

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ )

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

+ '( )f x =y' 0> Þ Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng……và……

+ '( )f x =y' 0< Þ Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng…và……

é

êê

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a/

1

x y

x

+

=-

-=-

y + +

y

+¥ 3

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

2 2 12

5

12

x

x x

ÔN THI THPT QUỐC GIA

x - ¥ 5- - 2 1 +¥'

x y

x y

 Dựa vào bảng biến thiên:

 Hàm số đã cho đồng biến trên:

;3

cx d

+

=+ , tập xác định \

ÔN THI THPT QUỐC GIA

a/ Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Û f x'( ) > " Î0, x D

b/ Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Û f x'( ) < " Î0, x D

 Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y =' 0 có hữu

hạn nghiệm, nếu phương trình y =' 0 có vô nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.

- = Û ê =ê+ Với m = , ta có 0 y'= > " Î ¡3 0, x , suy ra m = thỏa.0

- ¹ Û íï ¹

ïî , khi đó:

y ³' 0 x" Î ¡ Û

2 2

Suy ra y' luôn có hai nghiệm phân biệt x1=m- 1;x2=m+1

12

x x

ìï £ïí

ìï - £ïí

Dấu của y' là dấu của biểu thức - m2- 7m+ 8

♦ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y >' 0, x" Î D

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Dấu của y' là dấu của biểu thức - m2- 7m+ 8

♦ Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+¥ )

Û y >' 0, " Îx (3;+¥ )

Û

2 7 8 03

tại đó f x ='( ) 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên Kết luận.

Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính f x /( )Giải phương trình f x = và kí hiệu /( ) 0 x i

ÔN THI THPT QUỐC GIA

♦ Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1 và giá trị cực đại y CĐ ( )1 19

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số

THPT MONG THỌ Page 17

a/

3 21

x y

x y

x

-=-

 Hàm số đã cho liên tục và xác định trên: D= ¡ \ 1{ }

-= Û - - + = Û ê =ê ( ) ( )15 012

y y

é - =ê

Þ ê =ê

ÔN THI THPT QUỐC GIA

 Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x=0, x=3.

Suy ra, trên khoảng

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạnéë-ê 2;2ùúû

 Ta có:

2 2

 Hàm số không có đạo hàm tại các điểmx= - 2, x=2.

 Suy ra, trên khoảng

b/ Tìm cực trị của hàm số: y= -3 2cosx- cos2x

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn¡

 y'=2sinx+2sin2x=2sin 1 2cosx( + x)

 Cho y =' 0 Û 2sin (1 2cos )x + x =0

sin 0

Û ê

= - =ê

ê = ± +ê

ÔN THI THPT QUỐC GIA

ìï ¹ïí

m m m m

ìï ¹ïï

3

m m

é < ê

é < ê

a/ Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 Þ y x ='( )0 0 Þ Giá trị của tham số m.

b/ Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y' thử lại Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc

m m

é =ê

ê =ê

b/ Điều kiện đủ:

ÔN THI THPT QUỐC GIA

2

x y

x

é = ê

-= Û ê -=-ê Bảng biến thiên

 Thử lại

+ Với m =3: Ta có y''(2)=6.2 6.3- = - 6 0< nên hàm số đạt cực đại tại x =2

+ Với m =1: Ta có y''(2)=6.2 6.1 6- = >0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x =2

 Để điểm M( )2;0

là điểm cực đại của đồ thị hàm số y= - x3+mx2- 4

khi và chỉ khi:

( ) ( ) ( )

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

a

ìï ¹ï

Û íï D >

ïî

Bước 4: Gọi x x1, 2

là các điểm cực đại và cực tiểu Þ x x1 2,

là nghiệm của phương trình (1)

Bước 3 Lập luận: Hàm số y=ax4+bx2+ có cực đại và cực tiểu (3 cực trị) c

 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

b ab

ìï ¹ï

Û íï <

ïî

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bước 4: Khi đó hàm số có các điểm cực trị là x=0,x=x x1, =x2 trong đó x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1) Nếu tìm được các nghiệm x1 và x2 từ đó ta dựa vào điều kiện cho trước

của đề cho lập luận để tìm giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài cho

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

Û y =' 0 có hai nghiệm dương phân biệt

03

m P

m S

42

12

m m

ìïï < - Ú >

ïïïï

-ïïîTHPT MONG THỌ Page 25

1 2

1 2

2( 1) )3( 2)

m

m m

2

m x

m m x

m

-ï =ïïï

íï - +

ï =ïïïî (5)

m =

và m =2 r

Ví dụ 4 Cho hàm số y=x3- 3mx+ (1), với m là tham số thực Cho điểm 1 A(2;3) Tìm

m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A.

Bài giải

♦ Tập xác định: D = ¡

ÔN THI THPT QUỐC GIA

A(0;2m m B+ 4); (- m m; 4- m2+2 ;m C) ( m m; 4- m2+2m)

Suy ra: ABuuur= -( m m AC;- 2);uuur=( m m;- 2)

♦ Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông tại A

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu x 1 , x 2 Û PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 , x 2

Û x2- 2(m+1)x+ = có hai nghiệm phân biệt là 3 0 x x1, 2

ÔN THI THPT QUỐC GIA

♦ (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung

 PT y¢=0 có 2 nghiệm trái dấu  3(m2- 3m+2)<  10 <m< 2

Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì đỉnh sẽ là A

♦ Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên

để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC

Û uuur= - - uuur= - uuur =

♦ Tam giác ABC vuông khi: BC2=AB2+AC2Û 4m2=m2+m8+(m2+m8)

Bước 1: Tính đạo hàm y'=f x'( ), cho y =' 0 tìm nghiệm

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ( )a b;

Bước 4: So sánh các giá trị tìm được.

♦ Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của f x( ) trên đoạn é ùê úa b;

♦ Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của f x( ) trên đoạn é ùê úa b;

= Û ê = Îê

ÔN THI THPT QUỐC GIA

4'

♦ Vậy min 2 2; max 2

max y=f = m +m+

♦ Theo đề:

2 0;2

1

2max ( )

ê =ê

Ví dụ 6: Tìm max – min của hàm số: 6 ( 2)3

ÔN THI THPT QUỐC GIA

ïïïïî

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

x

= êë- - úû+

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạnéêë- 5; 3- ùúû

 Tìm ( )

2 2

4'

; THPT MONG THỌ Page 33

( ) ( )

khi khi

21

y x

+

¢=

+

( ) ( )

x y

 Cách giải 1 Sử dụng chiều biến thiên, tìm GTLN, GTNN trên khoảng.

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (0;+¥ )

ÔN THI THPT QUỐC GIA

é = ê

-= Û = Û ê =ê

Vậy:

( )( )

x y

-=

- +

 Cách giải 1 (Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2)

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = ¡ .

ïïî

11

 Cách giải 2 Sử dụng chiều biến thiên.

 Hàm số đã cho xác định và liên tục trênD = ¡ .

 Ta có: ( )

2

2 2

2

02

21

1'( )

 Mà m2- m + > với mọi m R1 0 Î nên hàm số luôn đồng biến trên é ùê ú0;1

 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên é ùê ú0;1

 Dựa vào bảng biến thiên: MaxSD =12(cm2)

khi mỗi cạnh còn lại dài5(cm khi x);( = =y 5).

ÔN THI THPT QUỐC GIA

-=+

x

-=+

 Tập xác định

1

\ { }2

y =

-THPT MONG THỌ Page 37

c/ Hàm số

2 2

x =



111

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng y y- 0=f x x x'( )(0 - 0) (*)

là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M x y( 0; 0)

 DẠNG 2: VIẾT PTTT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BIẾT HỆ SỐ GÓC k

Bước 3: Giải phương trình ( )*

tìm được hoành độ tiếp điểm x0

 Tiếp tuyến song song với đường y=ax b+ có hệ số góc bằng k=a.

 Tiếp tuyến vuông góc với đường y=ax b+ có hệ số góc bằng

1

k a

-=

B CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3- 3x+5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):

a/ Tại điểm ( 1;7)A

-b/ Tại điểm có hoành độ bằng 2

c/ Tại điểm có tung độ bằng 5

a/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn f x =''( )0 0

Bài giải: Gọi M x ;y( 0 0)

ÔN THI THPT QUỐC GIA

a/ Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x =2

b/ Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N

Bài giải

a/ Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ x0= Þ2 y0=3

♦ Ta có y x'( )=3x2- 3Þ y x'( )0 =y'(2)=9

♦ Phương trình tiếp tuyến : y=y x x x'( )(0 - 0)+y0Þ y=9x- 15

b/ Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N

x

=-

1 có đồ thị là ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

tạicác giao điểm của ( )C

é =ê

ê =ê

02 Suy ra tọa độ các giao điểm là A ;(0 3- ) (,B ;2 1- )

♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y+ =3 y'(0)(x- 0)Û y= - -x 3

THPT MONG THỌ Page 41

♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y+ =1 y'(2)(x- 2) Û y= - +1x

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y= - - 3x và y= - +1x .r

Ví dụ 5: Cho hàm số y=x3- 3x2+m (1).

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

32

+

=-

♦ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 Û y'( x ) = -0 5

é =ê

ê =ê

0 0

13

ÔN THI THPT QUỐC GIA

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y= - 5x+2 và y= - 5x+22.r

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3- 3x2+1(C) Biết tiếp tuyến

đó song song với đường thẳng y=9x+6

♦ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y=9x+6 (loại)

♦ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y=9(x- 3) 1+ Û y=9x- 26

Ví dụ 8: Cho hàm số y=x3- 3x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp

tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=- 1x

Ví dụ 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y=1x4+2x2

4 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+5y- 2010=0.

Bài giải:

♦ (d) có phương trình: y= - 1x+402

5 nên (d) có hệ số góc là

-15

♦ Gọi Δ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì

♦ Tiếp tuyến có phương trình:

+

=+

2

2 3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếptuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O làgốc tọa độ

y

x

-=+

♦ Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là:

k = ±1

♦ Khi đó gọi M x ; y( 0 0)

là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y( x ) = ± ' 0 1

0 2

0 0

2

1(2 3)

x x x

qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)

♦ Với x = -0 2 thì y = -0 4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y= - - 2x

♦ Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= - - 2x

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ví dụ 11: Cho hàm số

x y x

-=+

2

2 có đồ thị là ( )C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

, biếttiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) :D y= - +x 2.

Bài giải

♦ Ta có: y' =(x+ )2

42

♦ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1

♦ Gọi M x y( ; ) ( )0 0 Î C

là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 Û y x ='( )0 1

Bước 2 Thay nghiệm x x1, 2

vào một trong hai phương trình y=f x( )hoặc y=g x( ) tìm

♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

x ¹

♦ Khi đó: (1) Û 2x+ =1 (2x- 1)(x+2) Û 2x2+ -x 3= Û 0

132

x x

é =êê

ê = ê

Bước 2: Số nghiệm của phương trình ( )2

là số giao điểm của hai đồ thị ( )C : y=f x( )

và ( )d : y=g m( )

Bước 3: Bằng việc tịnh tiến ( )d

theo Oy và song song với Ox ta biện luận số nghiệm

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bước 2: Để phương trình ( )1

có k nghiệm phân biệt Û đường thẳng ( )d y: =g m( ) cắt đồ thị ( )C :y=f x( )

tại k điểm phân biệt

Bước 3: Căn cứ vào đồ thị y=f x( )

♦ Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (- ¥;0) và (2;+¥).

♦ Hàm số đạt cực đại tại x =2,yCÑ =3; hàm số đạt cực tiểu tại x=0,y CT = - 1

♦ Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)

THPT MONG THỌ Page 47

x y

-1 -1

1 3

+ Với m- 1 3> Û m>4: Phương trình có 1 nghiệm

+ Với m- 1 3= Û m=4: Phương trình có 2 nghiệm

+ Với 3>m- 1> - Û1 4>m>0: Phương trình có 3 nghiệm

+ Với m- 1= - Û1 m=0: Phương trình có 2 nghiệm

+ Với m- 1< - Û1 m<0: Phương trình có 1 nghiệm

Ví dụ 2: Cho hàm số y= 1x3- 3x2+5

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Tìm m để phương trình x3- 6x2+m=0 có ba nghiệm phân biệt

Bài giải

a/ Học sinh tự giải

ÔN THI THPT QUỐC GIA

b/ Tìm m để phương trình x3- 6x2+m=0 có ba nghiệm phân biệt

CẮT NHAU TẠI k ĐIỂM PHÂN BIỆT.

tại k điểm phân biệt Û ( )1

có k nghiệm phân biệt

THPT MONG THỌ Page 49

-=

- có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng (d/: y= - + x mcắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

♦ (d/ cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Û

( ) ( ) ( )

x

é = ê

ê

♦ ( )C m

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Û (1) có ba nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2

m m m

ìïï ¹ïïïïï- < <

íïïï

ìï ¹ïïïíï- < <

ïïïî

ÔN THI THPT QUỐC GIA

ìï ¹ïïïíï- < <

ïïïî .r

Ví dụ 3 Cho hàm số y=x4- (3m+4)x2+m2 có đồ thị là ( )C m

Tìm m đồ thị ( )C m

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: x4- (3m+4)x2+m2= (1) 0

Đặt t =x2 (t ³ 0)

, phương trình (1) trở thành: t2- (3m+4)t+m2= (2)0 ♦ ( )C m

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Û (1) có bốn nghiệm phân biệtÛ (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Û

2 2

50

43

m m

ìïï < - Ú > ïï

-ïï ¹íïïï

ï >

450

m m

ìïï ïïí

>-ïï ¹ïïî

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

450

m m

ìïï ïïí

>-ïï ¹ïïî .r

THPT MONG THỌ Page 51