Chuyên đề 1 về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số được biên soạn hết sức công phu và chi tiết. Phù hợp với học sinh đang ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2016. Với đầy đủ các dạng toán và phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao có thể giúp học sinh nắm chắc được phần khảo sát hàm số từ cơ bản đến nâng cao.
ÔN THI THPT QUỐC GIA Chuyên đề DỤNG CỦA ĐẠO HÀM - KHẢO 1SÁTỨNG HÀM SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ A HÀM SỐ BẬC BA Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = - x + 6x - 9x + Bài giải Tập xác định: Đạo hàm: Cho D=¡ y ¢ = - 3x + 12x - éx = y ¢ = Û - 3x + 12x - = Û ê êx = ê ë ; lim y = + ¥ Giới hạn: x ®- ¥ lim y = - ¥ x ®+ ¥ Bảng biến thiên x – y¢ – + + – y + – Hàm số đồng biến khoảng (1;3), nghịch biến khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại Bảng giá trị: x CÑ = y CÑ = x = y CT = , , đạt cực tiểu , x y 4 Đồ thị: THPT MONG THỌ Page ÔN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x - 3x + 3x Bài giải Tập xác định: Đạo hàm: Cho D=¡ y ¢ = 3x - 6x + y ¢ = Û 3x - 6x + = Û x = ; lim y = - ¥ Giới hạn: x ®- ¥ Bảng biến thiờn x lim y = + Ơ x đ+ Ơ y + + + +Ơ y - ¥ Hàm số đồng biến tập xác định R y ¢¢ = 6x - = Û x = Þ y = Bảng giá trị: x y 0 Điểm uốn I(1;1) 1 2 Đồ thị: y =Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số x - x+2 Bài giải Tập xác định: Đạo hàm: D=¡ y ¢= - x2 - Page THPT MONG THỌ ƠN THI THPT QUỐC GIA Cho y¢= Û - x2 - = vô nghiệm ; lim y = + ¥ Giới hạn: x ®- ¥ lim y = - ¥ x ®+ ¥ Bng bin thiờn x + - y +Ơ y - ¥ Hàm số nghịch biến tập xác định R y ¢¢ = - 2x = Û x = Þ y = Bảng giá trị: x -1 y 10 Điểm uốn I(0;2) Đồ thị: B HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = - x + 4x Bài giải Tập xác định: Đạo hàm: D=¡ y ¢ = - 4x + 8x éx = Û - 4x + 8x = Û 4x (- x + 2) = Û ê ê x =± ê y ¢= ë Cho lim y = - Ơ Gii hn: x đ- Ơ ; lim y = - Ơ x đ+ Ơ Bảng biến thiên THPT MONG THỌ Page ÔN THI THPT QUỐC GIA x - – y¢ + 0 – + + – y 4 – – Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - nghịch biến khoảng Hàm số đạt cực đại Bảng giá trị: x x =± - y - (- , 2; 0),( 2; + ¥ ) x =0 , yCĐ = 4, đạt cực tiểu 2),(0; 2) , yCT = Đồ thị: y= Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số x + x2 + Bài giải Tập xác định: Đạo hàm: D=¡ y ¢ = x + 2x éx = Û x + 2x = Û x (x + 2) = Û ê êx + = Û x = ê y ¢= ë Cho ; lim y = + ¥ Gii hn: x đ- Ơ lim y = + ¥ x ®+ ¥ Bảng biến thiên x – Page + THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUC GIA y + +Ơ +Ơ y Hàm số nghịch biến khoảng (- ¥ ; 0) , đồng biến khoảng (0; + ¥ ) x = yCT = Hàm số đạt cực tiểu , x Bảng giá trị: -1 11 y 11 Đồ thị: C HÀM NHẤT BIẾN y= Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2x - x- Bài giải Tập xác định: D = ¡ \ {1} y¢= Đạo hàm: - (x - 1)2 < 0, " x Ỵ D Hàm số cho nghịch biến khoảng lim y = Tim cn: x đ- Ơ lim y = - Ơ x đ1- ; Ơ ;1) v ( 1;+ Ơ ) lim y = ị y = x đ+ ¥ tiệm cận ngang ; lim y = + Ơ x đ1+ ị x =1 l tim cn ng Bảng biến thiên THPT MONG THỌ (- Page ÔN THI THPT QUỐC GIA x y¢ – + – – y + – Bảng giá trị: x y –1 3/2 || 5/2 y= Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số x x+1 Bài giải Tập xác định: D = ¡ \ {- 1} y¢= Đạo hàm: (x + 1)2 > 0, " x Ỵ D Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - 1) (- 1; + ¥ ) Giới hạn tim cn: lim y = x đ- Ơ lim y = + Ơ x đ(- 1)- ; ; ị y =1 lim y = x đ+ Ơ l tim cn ngang lim y = - Ơ x đ( - 1)+ Þ x =- tiệm cận đứng Bảng biến thiên x y¢ y - – + + + +¥ - ¥ Page THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA - Bảng giá trị: x y - - || 1,5 0,5 BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Thường gặp trường hợp sau: y= y= P (x ) Þ¹ T X Ð : Q (x ) Q (x ) P (x ) Q (x ) ; y = Q (x ) Þ³ T X Ð : Q (x ) ; Þ T X Ð : Q (x ) > Bước 2: + Tính đạo hàm + Cho y ' = f '(x ) y ' = f '(x ) = + Tìm điểm xi tìm nghiệm xi y ' = f '(x ) với ( i = 1;2; 3; ; n ) không xác định Bước 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên để xét dấu y ' = f '(x ) Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số + + f '(x ) = y ' > Þ f '(x ) = y ' < Þ Hàm số đồng biến (tăng) khoảng……và…… Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng…và…… B VÍ DỤ Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu các hàm số: a/ y = - x + 4x - b/ Bài giải THPT MONG THỌ Page y = x - 6x + 8x + ÔN THI THPT QUỐC GIA a/ Hàm số y = - x + 4x - Hàm số đã cho xác định y ' = - 4x + 8x Tính D=¡ éx = é4x = ê Û ê Û ê ê- x + = x =± ê ê y ' = Û - 4x + 8x = Û 4x (- x + 2) = ë ë Cho Bảng xét dấu: x - – y' + 0 – + + – y 1 – –3 – Dựa vào bảng biến thiên: Hàm sớ đờng biến trên: ( - ¥ ; - ) ( 0; ) Hàm số nghịch biến trên: b/ Hàm số: (- 2; và ) ( 2;+ ¥ và y = x - 6x + 8x + Hàm số đã cho xác định Tính ) D=¡ y ' = 4x - 12x + = = ( x - 1) y ' = Û ( x - 1) Cho ( x + 2) = Û ( x + 2) éx = - ê êx = ê ë Bảng xét dấu: Page THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA x - ¥ - y' - +¥ + + y +¥ +¥ Hàm sớ nghịch biến (- ¥ ; - 2) và đờng biến đờng biến khoảng (- 2; + ¥ ) Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu các hàm số: a/ y = - x + 6x - 9x + b/ y = x + 3x + 3x + Bài giải a/ Hàm số: y = - x + 6x - 9x + D=¡ Hàm số đã cho xác định Tính y ' = - 3x + 12x - Cho éx = ¢ y = Û - 3x + 12x - = Û ê êx = ê ë Bảng biến thiên: x - ¥ y' - y Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên: b/ Hàm số ( - ¥ ;1) ( 1; 3) và ( 3;+ ¥ ) y = x + 3x + 3x + Hàm số đã cho xác định THPT MONG THỌ + +¥ - +¥ Hàm sớ nghịch biến trên: D=¡ Page - ¥ ÔN THI THPT QUỐC GIA Tìm y ' = 3x + 6x + Cho y ' = Û 3x + 6x + = Û x = - Bảng biến thiên: x - ¥ +¥ - y' + + y = f (x ) +¥ Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến Hay hàm số đồng biến tập xác định D=¡ (- é- 1; + ¥ ¥ ; - 1ù ú ûÈ ê ë ) Ví dụ 3: Tìm khoảng đơn điệu các hàm số: y= a/ 2x - x- y= b/ 3x + 1- x Bài giải y= a/ Hàm số: 2x - x- Hàm số đã cho xác định trên: y'= ( - 1) - ( - 1) Ta có: (x - 1)2 D = ¡ \ {1} = - (x - 1)2 < 0, " x Ỵ D Bảng biến thiên: x - ¥ +¥ y' y Page 10 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA ù é- 1;2ù D=é ê- 1;2û ú ê ú ë ë û ♦ Hàm số liên tục éx = - Ï D y'=0Û ê êx = Ỵ D y ' = 6x + 6x - 12 ê ë ♦ Ta có: Do y = - 5; max y = 15 y ( - 1) = 15; y ( 2) = 6; y ( 1) = - Þ xỴ D xỴ D y = - 5; max y = 15 ♦ Vậy xỴ D xỴ D r ( ) y = ex x - x - Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn é0;2ù ê û ú ë Bài giải ù é0;2ù D=é ê ú ê ú ë0;2û ë û ♦ Hàm số liên tục ( y ' = ex x + x - ♦ Ta có: Do ) éx = - Ï D y'=0Û ê êx = Ỵ D ê ë y = - e; max y = e y ( 0) = - 1; y ( 2) = e ; y ( 1) = - e ị xẻ D xẻ D y = - e; max y = e ♦ Vậy xỴ D xỴ D r Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y =x - - x2 Bài giải ♦ ù D=é ê ë- 2;2ú û y'= ♦ Ta có: - x2 + x - x2 y'=0 Û x =- 2Ỵ D ( y ( - 2) = - 2; y ( 2) = 2; y Do ) =- 2 y = - 2; max y = ♦ Vậy xỴ D THPT MONG THỌ xỴ D r Page 37 Þ y = - 2; max y = xỴ D xỴ D ƠN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x - cos x + Bài giải ♦ Tập xác định: ♦ Đặt t = cos x Ta có: Do D=¡ với ù tỴ é ê ë- 1;1ú û y ' = - 4t - , hàm số trở thành: y'=0 Û t =; æ y ( - 1) = 2; y ( 1) = 0; y ỗ ỗỗ ố y = - 2t - t + é Ỵ ë- 1;1ù ú û ê 25 1÷ 25 ÷ = ÷ y = 0; max y = 4ữ ứ ị xỴ D xỴ D y = - 2; max y = ♦ Vậy xỴ D xỴ D r Ví dụ 5: Xác định m để giá trị lớn hàm số é0;2ù ê û ú ë y = x + x + (m + 1)x + m đoạn 15 Bài giải ♦ ♦ y ' = 3x + 2x + (m + 1) y ' = Û 3x + 2x + m + = D ' = - 3(m + 1) = - 3m - < y'=0 vô nghiệm nên ♦ Hàm đồng biến ♦ Theo đề: y ' > 0, " x é0;2ù ê ë ú û max y = f (2) = 2m + m + 14 nên [0;2] ém = - ê max f (x ) = 15 Û 2m + m + 14 = 15 Û ê êm = é0;2ù ê ê ú ë û ë ( y = x6 + 1- x2 Ví dụ 6: Tìm max – của hàm số: ) ù é ê- 1;1û ú ë (Trích đề dự bị Đại học khối B – 2003) Bài giải Page 38 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA Đặt t = x2 - ÊÊịÊÊẻ x 1 hay t t , vì ( é0;1ù ê û ú ë ) y = t + - t = - 3t + 12t - 12t - Khi đó, Xét hàm số Tìm: y = f ( t ) = - 3t + 12t - 12t - é0;1ù ê ë ú û liên tục và xác định đoạn f ' ( t ) = - 6t + 24t - 12 é êt = Ï f ' ( t ) = Û - 6t + 24t - 12 = Û ê ê t =2Ỵ ê ë é0;1ù ( L ) ê ë ú û é0;1ù ( N ) ê û ú ë ( 3) = 49 f ( 0) = 4; f ( 1) = 1; f Tính: Þ max y = x = 0; y = éê ë 1;1ù ú û éê ë 1;1ù ú û x = Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y = f (x) = x + a/ x y = f (x) = é2; ù ê ë ú û đoạn b/ 3x - x- é0;2ù ê ë ú û đoạn Bài giải y = f (x) = x + a/ Tìm max – của hàm số: é2; 4ù ê û ú ë Hàm số đã cho liên tục và xác định y ' = 1 Tính: max f ( x ) = x2 = x2 - x2 Ta có: f ( 2) = é2;4ù ê ë ú û éx = - Ï é2; ù ( L ) ê ë ú û Þ y ' = Û x2 - = Û ê êx = Ỵ é2; 4ù N ê ê û ú ( ) ë ë 11 25 ; f ( 4) = ; f ( 3) = 11 x = 2; f ( x ) = x = é2;4 ù ê ë ú û y = f (x) = b/ Tìm max – của hàm số: ù é ê ë2; 4ú û x 3x - é 0;2ù ê ú ë û x- é0;2ù ê ë ú û Hàm số đã cho xác định và liên tục đoạn THPT MONG THỌ Page 39 ÔN THI THPT QUỐC GIA y'= Tìm: Do đó: - 10 ( x - 3) ù < 0, " x Ỵ é ê ú ë0;2û Þ ìï max y = f = ïï ( ) ï éëê0;2ùûú í ïï y = f ( 2) = - ïï éê0;2ùú ïỵ ë û é0;2ù ê û ú ë Hàm số nghịch biến đoạn x = x = Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ b/ x2 y = f (x) = x+2 é- 5; - 3ù ê ú ë û đoạn x + 2x + y = f (x) = x+1 é ù ê- ;2ú ê ú ë û đoạn Bài giải y= a/ Tìm max – min: x2 ù é ê ú ë- 5; - 3û x+2 Hàm số đã cho xác định và liên tục đoạn x + 4x y'= ( x + 2) Tìm ; é- 5; ê ë 3ù ú û éx = Ï é- 5; - 3ù ( L ) ê ú ë û y ' = Û x + 4x = Û ê êx = - Ỵ é- 5; - 3ù N ê ê ú( ) ë û ë ïìï f ( - 5) = - 25 ïï ïí f ( - 3) = - ïï ïï f ( - 4) = - ïỵ ìï max f ( x ) = - x = - ïï ï é- 5;- 3ùúû Þ ïí êë ïï f ( x ) = - x = - ï é ù ỵïï êë- 5;- 3úû y = f (x) = b/ Tìm max – của hàm số: é ù x + 2x + ê- ;2ú ê ú x+1 ë û é- ;2ù ê ú ë û Hàm số xác định và liên tục đoạn Ta có: x + 2x ị y  = x + 2x = Û y ¢= ( x + 1) Page 40 é é ù êx = Ỵ ê- ;2ú ( N ) ë û ê ê é ù êx = - Ï ê- ;2ú ( L ) ë û ë THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA ( f ( 0) = 2, f - Tính )2 = 25 , f ( 2) = 103 y = x = 0; max y = é ;2ù êú ê ë ú û é ;2ù êú ê ë ú û 10 x = Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y =x + a/ , ( x > 0) x y= b/ x- x2 - x + Bài giải y =x + a/ Tìm max – của hàm số: , ( x > 0) x Cách giải Sử dụng chiều biến thiên, tìm GTLN, GTNN khoảng Hàm số đã cho xác định và liên tục y ' = 1- x Ta có: Bảng biến thiên: x y' = x2 - x - , " x Ỵ ( 0; + ¥ )Þ y ' = Û x - = Û x = ±2 + ( 0; + ¥ ) +¥ - + y Dựa vào bảng biến thiên Þ f ( x ) = x = ( 0;+ ¥ ) và hàm sớ khơng có giá trị lớn nhất Cách giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy "x > 0:x + ∗ Ta có: x Cauchy ³ x = Û³ y x x = ∗ ∗ Dấu Vậy: "=" xảy và chỉ khi: f ( x ) = x = ( 0;+ ¥ ) THPT MONG THỌ éx = - ( L ) Û x2 = Û ê êx = x ê ë Page 41 ÔN THI THPT QUỐC GIA y= b/ Tìm max – của hàm số: x- x - x+1 Cách giải (Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2) D=¡ Hàm số đã cho xác định và liên tục x- y= Để x - x+1 có nghiệm thì: Vậy: ¡ ( *) ìï y ¹ ïï í ïï D = ( y + 1) - 4y ( y + 1) = - 3y - 2y + ³ ïỵ Û - 1£ y £ max y = ) Û y x - x + = x - Û yx - ( y + 1) x + y + = Ta có: ( *) ( x = 3 y = - x = ¡ và Cách giải Sử dụng chiều biến thiên Hàm số đã cho xác định và liên tục y'= Ta có: - x + 2x (x ) - x+1 D=¡ éx = Þ y ' = Û - x + 2x = Û ê êx = ê ë Bảng biến thiên: x y' - ¥ - + +¥ - y max y = Dựa vào bảng biến thiên, ta được: ¡ x = y = và ¡ x = Ví dụ 10: Bài toán định lượng Page 42 THPT MONG THỌ ƠN THI THPT QUỐC GIA a/ Tìm y= m cho hàm số x - m2 + m x+1 có giá trị nhỏ đoạn [0;1] - 16 ( cm ) ( cm ) b/ Chu vi của một tam giác là , độ dài của một cạnh tam giác là Tìm hai cạnh còn lại của tam giác cho tam giác có diện tích lớn nhất Bài giải y= a/ Trên đoạn Mà x - m2 + m x+1 é0;1ù ê ë ú û f '(x ) = m2 - m + (x + 1)2 ta có m2 - m + 1> với m Î R nên hàm số đồng biến é0;1ù f (0) = - m + m ê ë ú û Suy giá trị nhỏ hàm số f (x ) = - é0;1ù ê û ú Û - m2 + m = - Û m = - m = ë b/ Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác là ba là ( cm ) x ( cm ) é0;1ù ê û ú ë , cạnh thứ hai có độ dài là y ( cm ) ïìï x > 0, y > Þ í ïï Chu vi D = 2p = x + y + = 16 ỵ Theo đề bài ta có: Công thức tính diện tích Δ theo Hêrơng: ïì y = 10 - x ; " x Ỵ ( 0;10) íï ïï p = 16 ỵ S D ( x ) = ( - x ) ( - y ) ( - 6) = - x + 10x - 16 S D' = Ta có: S D' = ÛÛ4 (5 - x) - x + 10x - 16 (5 - x) - x + 10x - 16 Bảng biến thiên: x S D' - ¥ ; " x Ỵ ( 0;10) x = 5; " x Ỵ ( 0;10) + S D (x ) THPT MONG THỌ Page 43 10 – +¥ và cạnh thứ ƠN THI THPT QUỐC GIA 12 Dựa vào bảng biến thiên: MaxS D = 12(cm ) mỗi cạnh còn lại dài 5(cm );(khi x = y = 5) BÀI TOÁN TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP lim y = ±¥ 1) Tiệm cận đứng : Nếu x ®x 0+ x = x0 lim y = ±¥ tiệm cận đứng lim y = y 2) Tiệm cận ngang : Nếu x ®x 0- x ® ±¥ y = y0 (C ) tiệm cận ngang (C ) B CÁC VÍ DỤ Ví dụ Tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: y= a/ 2x - x+2 y= b/ 3- x 2x + y= c/ 2x - x + x2 - y= d/ x2 + x Bài giải y= a/ Hàm số Tập xác định 2x - x+2 D = R \ { - 2} ỉ 2x - 1ư ÷ ÷ lim- f (x ) = lim- ỗ =+Ơ ỗ ữ ữ x đ- x đ- ỗ x + ố ứ ị ; ổ 2x - ữ ữ lim+ f (x ) = lim- ỗ =- Ơ ỗ ữ ữ x đ- x đ- ỗ x + è ø x =- Tiệm cận đứng ỉ 2x - 1ư ÷ ÷ lim f (x ) = lim ỗ = lim f (x ) = lim ỗ ữ x đ- Ơ x đ- Ơ ỗ x đ+ Ơ x đ+ Ơ ữ x + è ø ; y =2 Þ Tiệm cận ngang y= b/ Hm s ổ 2x - 1ử ữ ỗ ữ =2 ỗ ữ ỗ ữ x + ố ø 3- x 2x + Page 44 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA D =R \ { Tập xác định - } æ3 - x ÷ ÷ lim - f (x ) = lim - ỗ =- Ơ ỗ ữ ữ ỗ ổ ỉ x + 1÷ è ứ ữ ỗ ỗ ữ ữ x đỗ- ữ x đỗ- ữ ỗ 2ữ ỗ ố ứ ỗ 2ữ ç è ø x =- Tiệm cận đứng æ3 - x ÷ ÷ lim f (x ) = lim ỗ =ỗ ữ x đ- Ơ x đ- Ơ ỗ ữ ố2x + 1ứ ị c/ Hm s Tập xác định ỉ3 - x ÷ ữ lim f (x ) = lim ỗ =ỗ ữ x đ+ Ơ x đ+ Ơ ỗ ữ è2x + ø 2x - x + x2 - D = R \ { 3; - 3} æ 2x - x + lim- f (x ) = lim- ỗ ỗ x đ3 x đ3 ỗ ỗ ố x - ị 1ử ữ ÷ =- ¥ ÷ ÷ ø ; ỉ 2x - x + lim+ f (x ) = lim- ỗ ç x ®3 x ®3 ç ç è x - 1ữ ữ = +Ơ ữ ữ ứ x =3 Tiệm cận đứng æ 2x - x + lim- f (x ) = lim- ỗ ỗ x đ- x đ- ỗ ỗ ố x - ị ỗ 2ữ ỗ ố ứ ; y =2 Tim cn ngang y= ỗ 2ữ ç è ø ; Þ ỉ3 - x ÷ ÷ lim + f (x ) = lim + ỗ = +Ơ ỗ ữ ữ ỗ ổ ổ ö x + 1÷ è ø ÷ ỗ ỗ ữ ữ x đỗ- ữ x đỗ- ữ Tim cn ng 1ử ữ ữ =+Ơ ữ ữ ứ ; æ 2x - x + lim+ f (x ) = lim+ ỗ ỗ x đ- x đ- ỗ ỗ ố x - 1ử ữ ÷ =- ¥ ÷ ÷ ø x =- ỉ 1ử ữ ỗ ữ + ỗ ổ ữ ỗ 2x - x + 1ữ ữ x ç x ç ÷ ÷ lim f (x ) = lim ỗ = lim ỗ ữ= ữ ỗ x đƠ x đƠ ỗ x đ Ơ ữ ỗ x - ứ ữ ỗ ố ữ ỗ 1- ữ ữ ỗ ố ứ x Þ Tiệm cận ngang d/ Hàm số Tập xác định y =2 x2 + y= x D = R \ { 0} ổ ỗ x + lim- f (x ) = lim- ỗ ỗ x đ0 x đ0 ỗ ỗ ố x THPT MONG TH 1ữ ữ =- Ơ ữ ữ ữ ứ ; ổ ỗ x + lim+ f (x ) = lim+ ç ç x ®0 x ®0 ç ç è x Page 45 1ữ ữ =+Ơ ữ ữ ữ ứ Þ Tiệm cận đứng x =0 ÔN THI THPT QUỐC GIA ổ ỗ x + lim f (x ) = lim ỗ ỗ x đ- Ơ x đ- Ơ ç ç x è 1÷ ÷ = lim ÷ ữ ữ x đ- Ơ ứ ổ ữ ỗ ữ ỗ + ỗ ữ ữ ỗ x ữ ỗ ữ =- ỗ ữ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø Þ y =- ỉ ữ ỗ ỗ 1+ ữ ữ ổ ç ÷ ÷ ç x + 1÷ ç x ÷ ç ÷ lim f (x ) = lim ç = lim =1 ữ ỗ ỗ ữ ữ x đ+ Ơ x đ+ Ơ ỗ x đ + Ơ ỗ ữ ữ x ỗ ữ ỗ ố ứ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ị y =1 l tiệm cận ngang tiệm cận ngang BÀI TOÁN 10 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP DẠNG 1: VIẾT PTTT ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f (x) TẠI ĐIỂM M ( x 0;y ) Phương pháp: Bước 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng Bước 2: Tìm giá trị x , y = f (x ) y - y0 = f '( x0 ) ( x - x0 ) k = f '( x0 ) thay vào (*) ( *) rút gọn Chú ý: Nếu có Nếu có f '( x0) x0 Þ y0 = f ( x ) y0 , giải phương trình y0 = f ( x0 ) Þ hệ số góc tiếp tuyến điểm hoành độ tiếp điểm x0 M ( x 0; y ) DẠNG 2: VIẾT PTTT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BIẾT HỆ SỐ GÓC k Phương pháp: Bước 1: Gọi M ( x 0;y ) Bước 2: Hệ số góc tiếp điểm k Bước 3: Giải phương trình Þ f '( x0) = k ( *) (*) hay (y ' ( x ) = k ) tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy y = f (x ) Page 46 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA f '( x0) y - y0 = f '( x ) ( x - x0 ) x y0 Bước 4: Thay , vào phương trình: Chú ý: y = ax + b Tiếp tuyến song song với đường có hệ số góc y = ax + b Tiếp tuyến vng góc với đường k =a k= có hệ số góc - a B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hàm số y = x - 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): A (- 1; 7) a/ Tại điểm b/ Tại điểm có hồnh độ c/ Tại điểm có tung độ Bài giải y ' = 3x - a/ Ta có: x0 = - y0 = f ' ( x ) = y '( - 1) = Phương trình tiếp tuyến có dạng b/ Gọi M (x ; y ) y - y = f '(x )(x - x ) Û y - = Û y = tiếp điểm x0 = Þ y0 = f ' ( x ) = f '( 2) = Phương trình tiếp tuyến (C) c/ Gọi Ta có: M (x ; y ) ( 2; 7) y - = 9x - 18 Û y = 9x - 11 tiếp điểm y = Û x 03 - 3x + = Û x 03 - 3x = Û x = 0, x = 3, x = - x = y = f ' ( 0) = - Với , , Phương trình tiếp tuyến (C) (0; 5) là: THPT MONG THỌ Page 47 y - = - 3(x - 0) Û y = - 3x + ÔN THI THPT QUỐC GIA x0 = y0 = f ' Với , , ( 3) = Phương trình tiếp tuyến (C) ( 3;5) là: Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y = 6x + + (- y = x - 2x + 2x - 3; 5) là: y = 6x - + a/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung x0 f ''(x ) = c/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm thỏa mãn Bài giải: Gọi M ( x 0; y ) y ' = 3x - 4x + tiếp điểm Ta có Phương trình tiếp tuyến có dạng: a/ Theo đề ta có x0 = Û f ' ( x0) = Với Phương trình tiếp tuyến b/ Theo đề ta có ( 2; 0) y = 6(x - 2) x = Þ y = y (0) = - Phương trình tiếp tuyến c/ Ta có: ( 0; - 4) y = 2x - y '(x ) = y '(0) = f ''(x ) = 6x - y '' ( x ) = Û 6x - = Û x = (1) y = Û x 03 - 2x 02 + 2x - = Û x = y = y '(x )(x - x ) + y ổử 2ữ 88 ữ = x ị y0 = y ỗ = ỗ ữ ỗ ữ 27 è3 ø ; ỉư 2÷ ÷ y '( x ) = y ' ỗ = ỗ ữ ç ÷ è3 ø ỉ - 88 ữ ỗ 100 ữ ; ỗ ữ ỗ ữ y= xè3 27 ø 27 Phương trình tiếp tuyến Ví dụ 3: Cho hàm số y = x - 3x + (C) Page 48 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA a/ Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hồnh độ x =2 b/ Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Bài giải x0 = Þ y0 = a/ Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hồnh độ ♦ Ta có y '(x ) = 3x - Þ y '(x ) = y '(2) = ♦ Phương trình tiếp tuyến : y = y '(x )(x - x ) + y Þ y = 9x - 15 b/ Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N ♦ Xét phương trình x - 3x + = 9x - 15 Û x - 12x + 16 = ( ) Û ( x - 2) x + 2x - = Û x = 2, x = - ♦ Vậy N ( - 4; - 51) điểm cần tìm y= Ví dụ 4: Cho hàm số giao điểm (C ) - 2x + x- có đồ thị đường thẳng (C ) Viết phương trình tiếp tuyến y =x - Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: Khi đó: - 2x + =x - x- (1) Điều kiện: x¹ (1) Û - 2x + = (x - 3)(x - 1) éx = ê êx = Û x - 2x = Û ê ë Suy tọa độ giao điểm y' = ♦ Ta có: A ( 0; - 3) , B ( 2; - 1) - ( x - 1) ♣ Phương trình tiếp tuyến A ♣ Phương trình tiếp tuyến B ♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề THPT MONG THỌ y + = y '(0)(x - 0) Û y = - x - y + = y '(2)(x - 2) Û y = - x + y = - x- Page 49 y =- x + r (C ) ÔN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ 5: Cho hàm số y = x - 3x + m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Bài giải ♦ Với x0 = Þ y0 = m - Þ ♦ Tiếp tuyến M d: M(1 ; m – 2) y = (3x 02 - 6x )(x - x ) + m - Þ y = - 3x + m + = - 3x A + m + Û x A = ♦ d cắt trục Ox A: ♦ d cắt trục Oy B: S OA B = ♦ yB = m + Þ m+2 ị ổ m+2 ữ Aỗ ; 0ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ B (0 ; m + 2) 3 Û | OA || OB |= Û | OA || OB |= 2 Û m+2 m + = Û (m + 2)2 = ém + = ém = ê Û ê Û êm + = - êm = - ê ê ë ë ♦ Vậy m =1 m =5 y= Ví dụ 6: Cho hàm số 2x + x- có đồ thị - biết hệ số góc tiếp tuyến (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , Bài giải ♦ Gọi M (x ; y ) Ỵ (C ) y' = ♦ Ta có: tiếp điểm tiếp tuyến với (C) - ( x - 2) ♦ Hệ số góc tiếp tuyến - Û y '( x ) = - Page 50 THPT MONG THỌ ÔN THI THPT QUỐC GIA - Û ♣ Với ♣ Với x0 = Þ y0 = - x = Þ y0 = : : (x - 2) M 1(1; - 3) Þ M (3;7) ♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề =- pttt: Þ pttt: y = - 5x+ éx = ê0 êx = Û ê ë0 y = - 5x+ y = - x + 22 y = - x + 22 Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 9x + song song với đường thẳng r y = x - 3x + (C) Biết tiếp tuyến Bài giải: ♦ Ta có: ♦ Gọi y ' = 3x - 6x M( x ; y ) tiếp điểm Þ Tiếp tuyến M có hệ số góc ♦ Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng Þ tiếp tuyến có hệ số góc k = k = f ' ( x ) = 3x 02 - 6x y = 9x + éx = - Þ M( - 1; - 3) 3x 02 - 6x = Û x 02 - 2x - = Û ê êx = Þ M( 3; 1) ê Þ ë0 ♦ Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: Ví dụ 8: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp y= tuyến vng góc với đường thẳng (loại) y = 9(x - 3) + Û y = 9x - 26 ♦ Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y = x - 3x + y = 9x + - x Bài giải: ♦ Ta có y= y ' = 3x - - x ♦ Do Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng nên hệ số góc tiếp tuyến k = y ' = k Û 3x - = Û x = Û x = ±2 +) Với x = Þ y =4 THPT MONG THỌ Pttt điểm có hồnh độ x = là: Page 51 ... Cho hàm số Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: ♦ Đạo hàm: D=¡ y '' = 3x - 2(2m - 1)x + - m y''=0 Û 3x - 2(2m - 1)x + - m = ♦ Hàm. .. tham số thực Cho điểm Tìm B C A BC A m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị cho tam giác cân Ví dụ Cho hàm số Bài giải ♦ Tập xác định: D=¡ y '' = 3x - 3m y '' = Û ♦ Đạo hàm: ; ♦ Đồ thị hàm số (1)... NHẤT CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP ( a ;b ) DẠNG 1: TÌM GTLN VÀ GTNN TRÊN KHOẢNG Phương pháp: Bước 1: Tính đạo hàm y '' = f ''(x ) , cho y''=0 tìm nghiệm ( a;b ) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số