Nguyên hàm tích phân Full 2016 đầy đủ các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao dành cho học sinh THPT ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Có lời giải chi tiết được biên soạn hết sức kỹ lưỡng và công phu. Phù hợp cho học sinh từ yếu đến trung bình.
ễN THI THPT QUC GIA Chuyờn NGUYấN HM-TCH PHNNG DNG BI TON 1: TNH NGUYấN HM BNG PHNG PHP BNG NGUYấN HM A PHNG PHP PHNG PHP DA VO BNG NGUYấN HM Bc 1: Bin i hm s ó cho thnh tng, hiu ca cỏc hm s n gin cú cụng thc bng nguyờn hm c bn Bc 2: p dng cỏc cụng thc cú bng nguyờn hm tớnh nguyờn hm ca hm s BNG NGUYấN HM Nguyờn hm c bn f ( ax + b ) Nguyờn hm ca hm 1.dx = x +C a dx =ax +C x dx = x +1 +C +1 ( ) , ( ax + b ) ax + b dx = ( ) a +1 +1 dx =2 x + C x dx = ax + b + C a ax + b x dx = ln x +C +C ax + b dx = a ln ax + b +C x dx = ( ax + b ) THPT MONG TH +C x 1 dx = +C a ax + b Page ễN THI THPT QUC GIA MT S CễNG THC THNG S DNG: Hng ng thc ỏng nh (a + b)2 = a + 2ab + b2 (a b)2 = a 2ab + b2 (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab2 + b3 (a + b)(a b) = a b2 A (B + C ) = A B + A C Nhõn phõn phi: Tỏch ly mu chung: A +B A B = + C C C , (Lu ý: A A A + B +C B C ) B CC V D Vớ d 1: Tỡm h nguyờn hm ca cỏc hm s f (x ) = a/ f (x ) = d/ f (x ) = g/ 2x + x2 f (x ) = x ( x + ) b/ 3x x c/ f (x ) = e x (e x 1)2 f (t ) = (1 + sin t ) cos t e/ cos 2x sin x cos x f/ f (x ) = cos2 x f (x ) = sin 3x cos 2x e x f (x ) = e x + ữ cos2 x h/ i/ Bi gii f (x )dx = a/ 2x + 2x 3 dx = ( + )dx = (2x + )dx = x + C 2 x x x x x ( ) f (x )dx = x ( x + ) dx = x x + 4x + dx = (x + 4x + 4x )dx = b/ c/ e x x f ( x ) dx = e + cos2 x x4 + x + 2x + C x )dx = 2e x + t an x + C ữdx = (2e + cos x Page THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA 3x 3x + 4 f (x )dx = x dx = x dx = ( x 1)dx = 3x ln x + C d/ e/ f (x )dx = e x (e x 1)2dx = e x (e 2x 2e x + 1)dx = (e x + e x )dx = e x 2x e x + C f/ g/ f (t )dt = (1 + sin t ) cos t dt = (cos t + sin 2t )dt = sin t cos 2t + C cos2 x sin x f (x )dx = sin x cos2 x dx = sin x cos2 x ữdx = cot x t an x + C h/ 1 f (x )dx = sin 3x cos 2xdx = (sin x + sin 5x )dx = ( cos x cos 5x ) +C f (x )dx = cos x dx = i/ + cos 2x 1 dx = (1 + cos 2x )dx = (x + sin 2x ) + C 2 2 Vớ d 2: Tớnh nguyờn hm I = x (2x 1) dx I = a/ I = dx x ( x 1) d/ g/ b/ x I = dx x + 3x + e/ I = dx x 6x + + te t t dt t h/ + 3x I = x dx e I = ( c/ f/ i/ x +1 2x 3x I = dx x +2 I = t an xdx Bi gii a/ I = x (2x 1)2 dx = x (4x 4x + 1)dx = (4x 4x + x )dx = x x + x +C I = b/ + te t t dt = ( + e t 1)dt = ln t + e t t + C t t I = ( c/ I = + x )dx = x + + x + C = x + + x x + C 3 x +1 x (x 1) 1 dx = dx = ( )dx = ln x ln x +C x ( x 1) x (x 1) x x d/ THPT MONG TH Page + x )dx ễN THI THPT QUC GIA I = x x dx = dx = ( + )dx = ln x + ln x + + C x + 3x + ( x + 1)(x + 2) x + x +1 I = 2x 3x 10 2x dx = (2x 4x + )dx = 2x + 5x 10 ln x + + C x +2 x +2 I = 1 dx = dx = +C x 6x + (x 3) x e/ f/ g/ x x x + 3x 3x I = x dx = ( x + x )dx = e + x ữ ữdx = e x e e e e ữ h/ i/ x 3 e ữ e ữ + +C = x + +C e ln ln ữ e I = t an xdx = ữdx = t an x x + C cos x F (x) Vớ d 3: Tỡm nguyờn hm f (x ) = x 4x + 5; f (x) ca hm s tha iu kin cho trc F (1) = a/ f (x ) = cos x ; F ( ) = x f (x ) = sin ; F ữ= b/ f (x ) = sin 2x cos x ; c/ F ữ= d/ Bi gii F (x ) = f (x )dx = (x 4x + 5)dx = a/ F (1) = Theo cú Vy b/ x4 2x + 5x + C 1 + +C = C = 4 x4 F (x ) = 2x + 5x 4 F (x ) = f (x ) = dx = (3 cos x )dx = 3x sin x + C F ( ) = sin + C = C = Theo cú F (x ) = 3x sin x + Vy Page THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA c/ F (x ) = f (x )dx = sin 2x cos xdx = (sin x + sin 3x ) + C Theo ta cú: Vy d/ 3 F ữ = (sin + sin ) + C = +C = C = 3 2 F (x ) = (sin x + sin 3x ) x cos x x sin x F (x ) = f ( x ) dx = sin dx = dx = +C 2 sin +C = C = F ữ= 2 4 Ta cú F (x ) = Vy x sin x + 2 BI TON 2: TNH NGUYấN HM BNG PHNG PHP I BIN S DNG A PHNG PHP BI TON: Tớnh Bc 1: Bin i J = f ( x ) dx f ( x ) dx = g u ( x ) u ' ( x ) dx t = u (x ) dt = u '(x )dx Bc 2: t (tớnh vi phõn ca u) Bc 3: Thay vo ta c c t = u ( x) g [ u (x )] u '(x )dx = g(t )dt , ú Dng tớch phõn Cỏch t g ( t) c im nhn dng vo nguyờn hm ca hm s g ( t ) dt Bc : Th t '(x ) LU í: S dxtrong trng hp tớch phõn cú mt cỏc dng sau: tdng (x ) t = t (x ) t cha o hm ca mu f ( e ) t '(x )dx t (x ) THPT MONG TH t = t (x ) Page d dng tớnh ễN THI THPT QUC GIA dx f (t an x ) cos x t = t an x dx cos2 x i kốm biu thc theo t an x dx f (cot x ) sin x B CC V D Vớ d 1: Tớnh nguyờn hm a/ d/ x J = dx x +1 J = x x b/ e/ J = J = e cos x sin x dx J = cos3x dx c/ J = x2 x3 +2 dx x dx (1 x )5 f/ Bi gii J = a/ x dx x +1 u = x +1 t Khi ú : I = du = 2x dx x dx = x du x du 1 1 dx = = du = ln u + C = ln x + + C +1 u 2 u 2 Page THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA J = e cos x sin x dx b/ t = cos x dt = sin x dx sin x dx = dt t Khi ú: J = c/ J = e cos x sin x dx = e u ( dt ) = e t dt = e t +C = e cos x + C x2 x3 +2 dx t = x + t = x + 2t dt = 3x dx x dx = t 2tdt 2 x +2 dx = = 1dt = t +C = +C = t 3 3 x3 +2 x J = 2t dt Khi ú: ( x3 +2 ) +C J = x x 2dx = x x x dx d/ t = x t = x 2t dt = 2x dx x dx = t dt t M t = x x = t Khi ú: J = x x x dx = ( t ) t ( t dt ) = ( t t ) dt = e/ t t +C = ( ) J = cos3x dx = cos2 x cos x dx = sin x cos x dx Ta cú t = sin x dt = cos xdx t Khi ú: J = ( t3 sin x t dt = t + C = sin x +C 3 ) x dx (1 x )5 f/ J = cos3x dx J = t t = x dt = dx dx = dt THPT MONG TH v x = t Page ( 1x2 ) ( 1x2 ) +C ễN THI THPT QUC GIA t 1 1 1 J = ( dt ) = ( )dt = + + C = + +C t t t 3t 4t 3(1 x ) 4(1 x )4 Khi ú: Vớ d 2: Tớnh nguyờn hm (x a/ b/ (1 + sin x ) cos xdx d/ x (1 + e g/ x +1 (3 e ) e dx x x + 5) x dx e/ + sin x dx cos2 x c/ f/ e 1+ x x dx )dx h/ e 2x ex dx t an x dx cos2 x ln x x (1 + ln x )dx i/ Bi gii a/ (x + 5)4 x 2dx t = x + dt = 3x 2dx x 2dx = t 4 (x + 5) x dx = t Khi ú: b/ (3 e t dt dt t (x + 5)5 = +C = +C 15 15 x x ) e dx t = e x dt = e x dx e xdx = dt x x 2 (3 e ) e dx = t ( dt ) = t dt = Khi ú: c/ e 2x ex dx = e x e x ex t3 (3 e x )3 +C = +C 3 dx t = e x t = e x 2tdt = e xdx t t = ex ex = t + M Khi ú: (e x 3) (t + 3) 2t dx = 2tdt = (t + 3)dt = + 6t + C = + ex +C x t 3 e e 2x Page THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA d/ (1 + sin x )2 cos xdx t = sin x dt = cos xdx t 4 (1 + sin x ) cos xdx = (1 + t ) dt = (1 + 2t + t )dt = t + Khi ú: = sin x + e/ 2sin x sin x + +C + sin x sin x dx = + 2 cos x cos x cos x B = t = cos x dt = sin xdx sin xdx = dt B = Vy f/ sin x 1 dx = dt = + C = +C 2 cos x t t cos x + Khi ú: + sin x 1 cos2 x dx = t an x +C + cos x + C = t an x + cos x +C t an x dx = (2 t an x ) dx cos x cos2 x t = t an x dt = t Khi ú: g/ sin x ữdx = cos x dx + cos xdx = t an x +C + B sin x dx cos2 x + t 1 dx dx = dt cos x cos x t an x t2 (2 t an x )2 dx = tdt = + C = +C cos2 x 2 x (1 + e x +1 A = xdx = )dx = (x + xe x +1 )dx = xdx + xe x +1dx = A + B x2 +C B = xe x +1dx 2t t + +C t = x + dt = 2xdx xdx = + t THPT MONG TH dt Page ễN THI THPT QUC GIA B = xe x +1dx = e t + Khi ú: dt t = e + C = e x +1 + C 2 2 x (1 + e x +1 Vy e 1+ x x e x +1 )dx = + +C 2 x dx h/ t = + x dt = x dx dx = 2dt x t e 1+ x t t 1+ x dx = e 2dt = 2e +C = 2e x +C Khi ú: ln x ln x x (1 + ln x )dx = + ln x x dx i/ t = + ln x dt = dx x t Khi ú: ln x t x (1 + ln x )dx = t dt = t ữdt = t ln t +C = + ln x ln + ln x +C BI TON 3: TNH NGUYấN HM BNG PHNG PHP I BIN S DNG A PHNG PHP BI TON: Tớnh J = f (x )dx x = ( t ) dx = ' ( t ) dt t [ ; ] Bc 1: t , [ ; ] cho cú o hm liờn tc trờn f (x ) Bc 2: Thay vo ta c J Bc 3: Tớnh (t ) cú cha J = f (xCỏch )dx =i ( t ) ' ( t ) dt = g(t )dt f bin = g(t )dt = F (t ) + C a x dx x =(t) m ú x =nguyờn a sin t ,hmcú mt t cỏc dng LU í: Thng s dng 2 hoc x = a cos t , Page 10 a + x dx 0t THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA P ( x) Khi bc ca : Dựng phộp chia a thc P ( x) < Khi bc ca : Dựng phng phỏp ng nht h s x a ( x a ) ( x b ) dx = a b ln x b +C Cú th s dng cụng thc ax + bx + c = ( mx + n ) Trng hp 3: Mu cú nghim kộp t' Cú th s dng cụng thc: ũt dx = u- n m u = mx + n ị x = Cú th t: - +C t thay vo t Trng hp 4: Mu vụ nghim Bin i mu ax + bx + c = u + k u = k.tan t ị du = t k dt cos t , i cn, thay vo tớch phõn B CC V D 4x + dx x +x+1 I =ũ Vớ d 1: Tớnh tớch phõn 4x + = ( 2x + 1) = ( x + x + 1) ' Bi gii: Nhn xột: u = x + x + ị du = ( 2x + 1) dx t i cn: x = ị u =1 x =1 ị u = , 1 3 4x + 2(2x + 1) dx = dx = du = (2 ln u ) = ln x +x +1 x +x +1 u 0 I = Ta cú: J =ũ Vớ d 2: Tớnh tớch phõn dx x - x- x - x - = ( x - 3) ( x + 2) Bi gii: Nhn xột Page 30 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA J = x 1 1 1 dx = dx = ln ữ = ln ln ữ = ln x x +2 x x x ( )( ) 5 A =ũ Vớ d 3: Tớnh tớch phõn ( x - 1) x2 - x - dx x - x - = ( x - 3) ( x + 2) Bi gii: Nhn xột ( x - 1) x - x- = A ( x + 2) + B ( x - 3) A B + = x- x+2 ( x - 3) ( x + 2) Nhỏp: ng nht t thc ca hai phõn thc u v cui ( x - 1) = A ( x + 2) + B ( x - 3) 5x - = ( A + B ) x + 2A - 2B ỡù A + B = ị ùớ ị ùợù 2A - 3B = - 5 ( x - 1) x - x- = ỡùù A = ùợù B = 3 + x- x+ Vy A = 2 2 ( x 1) dx = + dx = dx + dx ữ x x x +2 x x x +2 = ( 2ln x ) + ( 3ln x + ) = ln 3ln 2 1 K =ũ Vớ d 4: Tớnh tớch phõn dx x - 6x + x - 6x + = ( x - 3) Bi gii: Nhn xột: 1 ổ- ữ 1 K =ũ dx = ũ dx = ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ x x + x x ( ) 0 Ta cú: x + 3x + dx x2 +x I = Vớ d 5: Tớnh tớch phõn Bi gii THPT MONG TH Page 31 ễN THI THPT QUC GIA x + 3x + 2x + = 1+ 2 x +x x +x Bin i hm s thnh dng Khi ú: 2 x + 3x + 2x + I = dx = dx + dx = A + B x +x x +x 1 A = dx = x = 2x + dx = ln x + x x +x B = Vy I = A + B = + ln = ln r I = ( x + 1) dx x2 +1 Vớ d 6: Tớnh tớch phõn Bi gii ( x + 1) x +1 Bin i hm s thnh dng I = ( x + 1) x +1 2 = x + 2x + 2x = 1+ 2 x +1 x +1 2x dx = A + B x +1 dx = dx + Khi ú: A = dx = x = 1 1 2x dx = ln x + = ln x +1 B = Vy I = + ln r 1 dx x 5x + I = Vớ d 7: Tớnh tớch phõn Bi gii Bin i hm s thnh dng Page 32 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA 1 (x 2) (x 3) 1 = = = x 5x + (x 3)(x 2) (x 2)(x 3) x x Khi ú: 1 I = dx = ( ln x ln x ) x x ữ 1 3 x = ln = ln ln = ln ln = ln ữ 2 x I = ln Vy r I = x Vớ d 8: Tớnh tớch phõn dx + 2x + Bi gii Khi ú: 1 I = dx = dx x + 2x + + (x + 1)2 1 [...]... ax 2 + bx + c Ax +B Bc 1: Phõn tớch Ax +B ax 2 + bx + c dx = 1 2ax + b 1 M dx + dx k ax 2 + bx + c k ax 2 + bx + c Bc 2: 1 (m x + n ) ax 2 + bx + c dx DNG 3: Bc 1: t (Vi m a 0 ) 1 1 mx + n = mdx = 2 dt t t Bc 2: i cn Bc 3: Chuyn tớch phõn cn tớnh v tớch phõn dng 1 B CC V D 3 2 I = 1 Vớ d 1: Tớnh tớch phõn dx 2x x 2 Bi gii: 3 2 I = 1 dx 1 (x 1)2 Page 34 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC... CHT CA TCH PHN b a a b f (x )dx = f (x )dx Tớnh cht 1: f (x ) Tớnh cht 2: Nu hai hm s [ a;b] g(x ) v liờn tc trờn b b b a a a thỡ [ f (x ) g(x )] dx = f (x )dx g(x )dx [ a;b] f (x ) Tớnh cht 3: Nu hm s liờn tc trờn b b a a v k l mt hng s thỡ k f (x )dx = k f (x )dx [ a;b] f (x ) Tớnh cht 4: Nu hm s liờn tc trờn b c b a a c v c l mt hng s thỡ f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx [ a;b] Tớnh... ( x ) u ' ( x ) dx t = u (x ) a DNG 1: Tớnh I = bng cỏch t Cỏch thc hin: t = u (x ) dt = u '(x )dx Bc 1: t x = b t = u (b) x = a t = u (a ) Bc 2: i cn : Page 16 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c b I = f [ u (x )] u '(x )dx = a u (b) f (t )dt u (a ) (tip tc tớnh tớch phõn mi) B CC V D ln 2 I = (e x 0 ) 2 1 e x dx Vớ d 1: Tớnh tớch phõn... 0 Vớ d 2: Tớnh tớch phõn Bi gii t = 2 x 2 t 2 = 2 x 2 2tdt = 2xdx xdx = tdt t x = 1 t = 1; x = 0 t = 2 i cn: 2 2 t3 I = t dt = 3 1 = 2 1 2 2 1 3 Thay vo ta c: I = Vy 2 2 1 3 r e I = Vớ d 3: Tớnh tớch phõn 1 4 + 5 ln x dx x Bi gii THPT MONG TH Page 17 ễN THI THPT QUC GIA 5 1 2 t = 4 + 5 ln x t 2 = 4 + 5 ln x 2tdt = dx dx = tdt x x 5 t x = e t = 3; x = 1 t = 2 i cn: 3 3 2 2 2 3 3... PHP b f (x )dx (t ) a DNG 2: Tớnh I = bng cỏch t x = b a I = f (x )dx = f [ (t )] '(t )dt Cụng thc i bin s dng 2 Cỏch thc hin x = (t ) dx = '(t )dt Bc 1: t Bc 2: i cn : x =b t = x =a t = Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c b a I = f (x )dx = f [ (t )] '(t )dt (tip tc tớnh tớch phõn mi) B CC V D 2 I = 4 x 2 dx 0 Vớ d 1: Tớnh tớch phõn Bi gii x = 2 sin t ; t ... du = u '(x )dx ị ùớ ớ ùù dv = v '(x )dx ùù v = v (x ) ợ ợ Bc 1: t (ủaùo haứ m) (nguyeõ n haứ m) b b udv = [ u v ] a vdu a b a Bc 2: Thay vo cụng thc tớch phõn tng tng phn : b vdu [ u v ] a b a Bc 3: Tớnh v B CC V D 1 I = xe x dx 0 Vớ d 1:Tớnh tớch phõn Bi gii t u = x du = dx x x dv = e dx v = e 1 I = xe dx = xe x 0 x 1 0 1 1 e x dx = (x 1)e x = 1 0 0 r 1 (2e x2 0 Vớ d 2: Tinh tich phõn... x 0 I2 = t u = x du = dx ; dv = e xdx v = e x Page 24 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA 1 1 xe x e x dx 0 0 Suy ra: I2 = I = e 1 +1 = e Võy e e x = 1 0 = 1 .r 1 I = (x 2 + x )e 2x dx 0 Vớ d 3: Tớnh tớch phõn: Bi gii u = x + x 2x dv = e dx du = ( 2x + 1) dx 1 2x v = 2 e 2 t 1 I = e 2 x (x 2 + x ) 2 1 0 1 1 (2x + 1)e 2xdx = e 2 I 1 0 2 1 I 1 = (2x + 1)e 2x dx 0 Tớnh t u = 2x +... phõn tớch: P (x) ( x - a ) ( x - b) ( x - c ) = A B C + + x- a x- b x- c Trng hp 2: Mu cú nghim n v vụ nghim ta phõn tớch P (x) ( x - x 0 ) ( ax + bx + c ) 2 = A Bx + C + 2 x - x 0 ax + bx + c Trng hp 3: Mu cú nghim bi ta phõn tớch: P ( x) 2 ( x - a ) ( x - b) 3 = A ( x - a) 2 + B C D E + + + 3 2 x - a ( x - b) ( x - b) x - b Quy ng sau ú ng nht h s cỏc hng t ca t s hai v tỡm cỏc h s A, B, C, D, E... ( x) 2 Khi bc ca : Dựng phộp chia a thc P ( x) < 2 Khi bc ca : Dựng phng phỏp ng nht h s 1 x a 1 ( x a ) ( x b ) dx = a b ln x b +C Cú th s dng cụng thc ax 2 + bx + c = ( mx + n ) 2 Trng hp 3: Mu cú nghim kộp t' Cú th s dng cụng thc: ũt 2 dx = u- n m u = mx + n ị x = Cú th t: - 1 +C t thay vo t Trng hp 4: Mu vụ nghim Bin i mu ax 2 + bx + c = u 2 + k 2 u = k.tan t ị du = t k dt cos 2... - 3) ( x + 2) Bi gii: Nhn xột Page 30 THPT MONG TH ễN THI THPT QUC GIA 2 J = 2 0 2 1 x 3 1 1 1 1 3 1 1 dx = dx = ln ữ = ln ln ữ = ln 2 0 x 3 x +2 x x 6 5 x 2 ( )( ) 0 5 4 2 5 6 A =ũ 2 1 Vớ d 3: Tớnh tớch phõn 5 ( x - 1) x2 - x - 6 dx x 2 - x - 6 = ( x - 3) ( x + 2) Bi gii: Nhn xột 5 ( x - 1) 2 x - x- 6 = A ( x + 2) + B ( x - 3) A B + = x- 3 x+2 ( x - 3) ( x + 2) Nhỏp: ng nht t thc ca hai